Тематичне оцінювання № 3: відповідіАлгебра 8 клас Бевз 2025 · стор. 112

Самостійна робота. Варіант I. 1. Обчисли 2⁻³ · (4/7)⁰ + (1/3)⁻².

Пам’ятаємо: ${\displaystyle a^{-n}=}$${\displaystyle \frac{1}{a^n}}$;

${\displaystyle a^0=}$${\displaystyle 1}$.

${\displaystyle 2^{-3}\cdot {\left(\frac{4}{7}\right)}^0+{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}=}$${\displaystyle \frac{1}{2^3}\cdot 1+3^2=}$${\displaystyle \frac{1}{8}+9=}$${\displaystyle 9\frac{1}{8}}$.

Самостійна робота. Варіант I. 2. Запиши число у стандартному вигляді та вкажи порядок числа.

Стандартний вигляд: ${\displaystyle a\cdot 10^n}$, де ${\displaystyle 1\le a<10}$.

а) ${\displaystyle 48000000000}$=

=${\displaystyle 4,8\cdot 10000000000=}$${\displaystyle 4,8\cdot 10^{10}}$;

порядок числа ${\displaystyle 10}$;

б) ${\displaystyle 0,00000021=}$${\displaystyle 2,1\cdot 0,0000001=}$${\displaystyle 2,1\cdot 10^{-7}}$;

порядок числа ${\displaystyle -7}$.

Самостійна робота. Варіант I. 3. Знайди значення виразу.

а) ${\displaystyle 5^{-3}\cdot 5^5=}$${\displaystyle 5^{-3+5}=}$${\displaystyle 5^2=}$${\displaystyle 25}$;

б) зведемо всі степені до основи 3: ${\displaystyle 9=}$${\displaystyle 3^2}$;

${\displaystyle 27=}$${\displaystyle 3^3}$;

${\displaystyle \frac{3^2\cdot 9^{-6}}{{27}^{-3}}=}$${\displaystyle \frac{3^2\cdot {\left(3^2\right)}^{-6}}{{\left(3^3\right)}^{-3}}=}$${\displaystyle \frac{3^2\cdot 3^{-12}}{3^{-9}}=}$${\displaystyle 3^{2-12+9}}$=

=${\displaystyle 3^{-1}=}$${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

Самостійна робота. Варіант I. 4. Розв’яжи графічно рівняння 4/x = x − 3.

Побудуємо графіки ${\displaystyle y=}$${\displaystyle \frac{4}{x}}$ і ${\displaystyle y=}$${\displaystyle x-3}$.

Гіпербола ${\displaystyle y=}$${\displaystyle \frac{4}{x}}$ — таблиця значень:

Пряма ${\displaystyle y=}$${\displaystyle x-3}$ — таблиця значень:

Точки перетину мають абсциси ${\displaystyle x=}$${\displaystyle -1,x=}$${\displaystyle 4}$.

Перевірка (підставляємо в обидві функції):

${\displaystyle \frac{4}{(-1)}=}$${\displaystyle -4}$ і ${\displaystyle (-1)-3=}$${\displaystyle -4}$;

${\displaystyle \frac{4}{4}=}$${\displaystyle 1}$ і ${\displaystyle 4-3=}$${\displaystyle 1}$;

Корені: ${\displaystyle x=}$${\displaystyle -1;x=}$${\displaystyle 4}$.

Самостійна робота. Варіант II. 1. Обчисли 2⁻⁴ · (8/19)⁰ + (1/6)⁻².

${\displaystyle 2^{-4}\cdot {\left(\frac{8}{19}\right)}^0+{\left(\frac{1}{6}\right)}^{-2}=}$${\displaystyle \frac{1}{2^4}\cdot 1+6^2}$=

=${\displaystyle \frac{1}{16}+36=}$${\displaystyle 36\frac{1}{16}}$.

Самостійна робота. Варіант II. 2. Запиши число у стандартному вигляді та вкажи порядок числа.

а) ${\displaystyle 390000000=}$${\displaystyle 3,9\cdot 100000000=}$${\displaystyle 3,9\cdot 10^8}$;

порядок числа ${\displaystyle 8}$;

б) ${\displaystyle 0,0000000042}$=

=${\displaystyle 4,2\cdot 0,000000001=}$${\displaystyle 4,2\cdot 10^{-9}}$;

порядок числа ${\displaystyle -9}$.

Самостійна робота. Варіант II. 3. Знайди значення виразу.

а) ${\displaystyle 7^{-8}:7^{-6}=}$${\displaystyle 7^{-8-\left(-6\right)}=}$${\displaystyle 7^{-8+6}=}$${\displaystyle 7^{-2}}$=

=${\displaystyle \frac{1}{7^2}=}$${\displaystyle \frac{1}{49}}$;

б) зведемо всі степені до основи 4: ${\displaystyle 64=}$${\displaystyle 4^3}$;

${\displaystyle 16=}$${\displaystyle 4^2}$;

${\displaystyle \frac{4^{-4}\cdot {64}^{-2}}{{16}^{-4}}=}$${\displaystyle \frac{4^{-4}\cdot {\left(4^3\right)}^{-2}}{{\left(4^2\right)}^{-4}}=}$${\displaystyle \frac{4^{-4}\cdot 4^{-6}}{4^{-8}}=}$${\displaystyle 4^{-4-6+8}}$=

=${\displaystyle 4^{-2}=}$${\displaystyle \frac{1}{16}}$.

Самостійна робота. Варіант II. 4. Розв’яжи графічно рівняння 8/x = 9 − x.

Побудуємо графіки ${\displaystyle y=}$${\displaystyle \frac{8}{x}}$ і ${\displaystyle y=}$${\displaystyle 9-x}$.

Гіпербола ${\displaystyle y=}$${\displaystyle \frac{8}{x}}$ — таблиця значень:

Пряма ${\displaystyle y=}$${\displaystyle 9-x}$ — таблиця значень:

Точки перетину мають абсциси ${\displaystyle x=}$${\displaystyle 1,x=}$${\displaystyle 8}$.

Перевірка (підставляємо в обидві функції):

${\displaystyle \frac{8}{1}=}$${\displaystyle 8}$ і ${\displaystyle 9-1=}$${\displaystyle 8}$;

${\displaystyle \frac{8}{8}=}$${\displaystyle 1}$ і ${\displaystyle 9-8=}$${\displaystyle 1}$;

Корені: ${\displaystyle x=}$${\displaystyle 1;x=}$${\displaystyle 8}$.

Самостійна робота. Варіант III. 1. Обчисли (1/5)⁻² · (0,245)⁰ + 4⁻².

${\displaystyle {\left(\frac{1}{5}\right)}^{-2}\cdot {\left(0,245\right)}^0+4^{-2}=}$${\displaystyle 5^2\cdot 1+\frac{1}{4^2}}$=

=${\displaystyle 25+\frac{1}{16}=}$${\displaystyle 25\frac{1}{16}}$.

Самостійна робота. Варіант III. 2. Запиши число у стандартному вигляді та вкажи порядок числа.

а) ${\displaystyle 71000000000000}$=

=${\displaystyle 7,1\cdot 10000000000000=}$${\displaystyle 7,1\cdot 10^{13}}$;

порядок числа ${\displaystyle 13}$;

б) ${\displaystyle 0,000000043}$=

=${\displaystyle 4,3\cdot 0,00000001=}$${\displaystyle 4,3\cdot 10^{-8}}$;

порядок числа ${\displaystyle -8}$.

Самостійна робота. Варіант III. 3. Знайди значення виразу.

а) ${\displaystyle 6^{-13}\cdot 6^{15}=}$${\displaystyle 6^{-13+15}=}$${\displaystyle 6^2=}$${\displaystyle 36}$;

б) зведемо всі степені до основи 2: ${\displaystyle 4=}$${\displaystyle 2^2}$;

${\displaystyle 16=}$${\displaystyle 2^4}$;

${\displaystyle \frac{2^6\cdot 4^{-5}}{{16}^{-2}}=}$${\displaystyle \frac{2^6\cdot {\left(2^2\right)}^{-5}}{{\left(2^4\right)}^{-2}}=}$${\displaystyle \frac{2^6\cdot 2^{-10}}{2^{-8}}=}$${\displaystyle 2^{6-10+8}}$=

=${\displaystyle 2^4=}$${\displaystyle 16}$.

Самостійна робота. Варіант III. 4. Розв’яжи графічно рівняння −12/x = x − 8.

Побудуємо графіки ${\displaystyle y=}$${\displaystyle -\frac{12}{x}}$ і ${\displaystyle y=}$${\displaystyle x-8}$.

Гіпербола ${\displaystyle y=}$${\displaystyle -\frac{12}{x}}$ — таблиця значень:

Пряма ${\displaystyle y=}$${\displaystyle x-8}$ — таблиця значень:

Точки перетину мають абсциси ${\displaystyle x=}$${\displaystyle 2,x=}$${\displaystyle 6}$.

Перевірка (підставляємо в обидві функції):

${\displaystyle -\frac{12}{2}=}$${\displaystyle -6}$ і ${\displaystyle 2-8=}$${\displaystyle -6}$;

${\displaystyle -\frac{12}{6}=}$${\displaystyle -2}$ і ${\displaystyle 6-8=}$${\displaystyle -2}$;

Корені: ${\displaystyle x=}$${\displaystyle 2;x=}$${\displaystyle 6}$.

Тестові завдання № 3. 1. Дріб 1/16 можна записати у вигляді: А 2⁴; Б 2⁶; В 2⁻⁴; Г 2⁻⁶.

${\displaystyle \frac{1}{16}=}$${\displaystyle \frac{1}{2^4}=}$${\displaystyle 2^{-4}}$.

Відповідь: В.

Тестові завдання № 3. 2. Значення виразу (3,75 − 5,75)⁻² дорівнює: А 4; Б −4; В 0,5; Г 0,25.

${\displaystyle {(3,75-5,75)}^{-2}=}$${\displaystyle {(-2)}^{-2}=}$${\displaystyle \frac{1}{{(-2)}^2}=}$${\displaystyle \frac{1}{4}=}$${\displaystyle 0,25}$.

Відповідь: Г.

Тестові завдання № 3. 3. Подай у вигляді дробу вираз 4a⁻²c⁻³.

${\displaystyle 4a^{-2}{c}^{-3}=}$${\displaystyle 4\cdot \frac{1}{a^2}\cdot \frac{1}{c^3}=}$${\displaystyle \frac{4}{a^2{c}^3}}$.

Відповідь: Б.

Тестові завдання № 3. 4. Порядок числа 3,07 · 10⁵ дорівнює: А 3; Б 10; В 7; Г 5.

Число записане в стандартному вигляді ${\displaystyle a\cdot 10^n}$ (${\displaystyle 1\le 3,07<10}$).

Порядок — показник степеня 10: ${\displaystyle n=}$${\displaystyle 5}$.

Відповідь: Г.

Тестові завдання № 3. 5. Яке з чисел записане в стандартному вигляді? А 255 · 10²; Б 0,1 · 10⁵; В 3,5 · 10²¹; Г 35 700.

Потрібно ${\displaystyle a\cdot 10^n}$, де ${\displaystyle 1\le a<10}$:

А ${\displaystyle 255\ge 10}$ — ні;

Б ${\displaystyle 0,1<1}$ — ні;

В ${\displaystyle 1\le 3,5<10}$ — так;

Г немає множника ${\displaystyle 10^n}$ — ні.

Відповідь: В.

Тестові завдання № 3. 6. Скільки коренів має рівняння x⁻² = 0? А один; Б два; В жодного; Г безліч.

${\displaystyle x^{-2}=}$${\displaystyle \frac{1}{x^2}}$;

${\displaystyle \frac{1}{x^2}=}$${\displaystyle 0}$;

дріб дорівнює нулю, лише коли чисельник дорівнює нулю, а ${\displaystyle 1\ne 0}$ — коренів немає.

Відповідь: В.

Тестові завдання № 3. 7. Вираз a⁻¹ + b⁻¹ тотожно дорівнює виразу: А a + b; Б −a − b; В (a + b)/(ab); Г ab/(a + b).

${\displaystyle a^{-1}+b^{-1}=}$${\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=}$${\displaystyle \frac{1^{\mathrm{\setminus }b}}{a}+\frac{1^{\mathrm{\setminus }a}}{b}=}$${\displaystyle \frac{b+a}{ab}=}$${\displaystyle \frac{a+b}{ab}}$.

Відповідь: В.

Тестові завдання № 3. 8. Подай вираз (a⁻⁵)⁻³ · a⁻¹⁷ : a⁻⁸ у вигляді степеня.

${\displaystyle {\left(a^{-5}\right)}^{-3}\cdot a^{-17}:a^{-8}=}$${\displaystyle a^{15}\cdot a^{-17}:a^{-8}}$=

=${\displaystyle a^{15-17+8}=}$${\displaystyle a^6}$.

Відповідь: А.

Тестові завдання № 3. 9. Графіком якої з функцій є гіпербола? А y = 5; Б y = 5x; В y = 5/x; Г y = x/5.

Гіпербола — графік оберненої пропорційності ${\displaystyle y=}$${\displaystyle \frac{k}{x}}$:

А ${\displaystyle y=}$${\displaystyle 5}$ — пряма;

Б ${\displaystyle y=}$${\displaystyle 5x}$ — пряма;

В ${\displaystyle y=}$${\displaystyle \frac{5}{x}}$ — гіпербола;

Г ${\displaystyle y=}$${\displaystyle \frac{x}{5}}$ — пряма.

Відповідь: В.

Тестові завдання № 3. 10. Графік функції y = 2/x проходить через точку: А (0; 2); Б (1; 2); В (2; 2); Г (3; 2).

Підставляємо абсцису точки у формулу:

А ${\displaystyle x=}$${\displaystyle 0}$ — не входить в область визначення;

Б ${\displaystyle \frac{2}{1}=}$${\displaystyle 2}$ — проходить;

В ${\displaystyle \frac{2}{2}=}$${\displaystyle 1\ne 2}$ — ні;

Г ${\displaystyle \frac{2}{3}\ne 2}$ — ні.

Відповідь: Б.

Типові завдання № 3. 1. Спрости вираз (1/3 · a²)⁻² : a⁻⁷.

${\displaystyle {\left(\frac{1}{3}{a}^2\right)}^{-2}:a^{-7}=}$${\displaystyle {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}\cdot {\left(a^2\right)}^{-2}:a^{-7}}$=

=${\displaystyle 9a^{-4}:a^{-7}=}$${\displaystyle 9a^{-4-(-7)}=}$${\displaystyle 9a^{-4+7}=}$${\displaystyle 9a^3}$.

Відповідь: А.

Типові завдання № 3. 2. Обчисли значення виразу (1 1/6)⁻².

${\displaystyle {\left(1\frac{1}{6}\right)}^{-2}=}$${\displaystyle {\left(\frac{7}{6}\right)}^{-2}=}$${\displaystyle {\left(\frac{6}{7}\right)}^2=}$${\displaystyle \frac{36}{49}}$.

Відповідь: Г.

Типові завдання № 3. 3. 0,00000000028 м — діаметр молекули води. Знайди радіус цієї молекули. Відповідь подай у стандартному вигляді.

Діаметр у стандартному вигляді:

${\displaystyle 0,00000000028}$=

=${\displaystyle 2,8\cdot 0,0000000001=}$${\displaystyle 2,8\cdot 10^{-10}}$ (м);

радіус удвічі менший за діаметр:

${\displaystyle 2,8\cdot 10^{-10}:2}$=

=${\displaystyle (2,8:2)\cdot 10^{-10}=}$${\displaystyle 1,4\cdot 10^{-10}}$ (м).

Відповідь: В.

Типові завдання № 3. 4. Установи відповідність між функцією (1–3) та точкою (А–Д), через яку проходить графік цієї функції. 1) y = 2/x; 2) y = −5/x; 3) y = 6/x. А (1; 5); Б (−2; −1); В (−6; 1); Г (−2; 2,5); Д (−1; −6).

Для ${\displaystyle y=}$${\displaystyle \frac{k}{x}}$ добуток координат точки ${\displaystyle xy=}$${\displaystyle k}$. Знайдемо ${\displaystyle xy}$ для кожної точки:

А ${\displaystyle 1\cdot 5=}$${\displaystyle 5}$;

Б ${\displaystyle (-2)\cdot (-1)=}$${\displaystyle 2}$;

В ${\displaystyle (-6)\cdot 1=}$${\displaystyle -6}$;

Г ${\displaystyle (-2)\cdot 2,5=}$${\displaystyle -5}$;

Д ${\displaystyle (-1)\cdot (-6)=}$${\displaystyle 6}$.

Отже:

1) ${\displaystyle k=}$${\displaystyle 2}$ — точка Б;

2) ${\displaystyle k=}$${\displaystyle -5}$ — точка Г;

3) ${\displaystyle k=}$${\displaystyle 6}$ — точка Д.

Відповідь: 1 — Б, 2 — Г, 3 — Д.

Типові завдання № 3. 5. Швидкість світла становить 3 · 10⁵ км/с. Яку відстань світло проходить за: а) 7 с; б) 5 хв?

Відстань ${\displaystyle s=}$${\displaystyle v\cdot t}$.

а) ${\displaystyle t=}$${\displaystyle 7}$ с:

${\displaystyle 3\cdot 10^5\cdot 7=}$${\displaystyle \left(3\cdot 7\right)\cdot 10^5=}$${\displaystyle 21\cdot 10^5}$=

=${\displaystyle 2,1\cdot 10^1\cdot 10^5=}$${\displaystyle 2,1\cdot 10^6}$ (км);

б) ${\displaystyle t=}$${\displaystyle 5}$ хв;

${\displaystyle 5\cdot 60=}$${\displaystyle 300}$ (с);

${\displaystyle 300=}$${\displaystyle 3\cdot 10^2}$ (с);

${\displaystyle (3\cdot 10^5)\cdot (3\cdot 10^2)=}$${\displaystyle \left(3\cdot 3\right)\cdot \left(10^5\cdot 10^2\right)}$=

=${\displaystyle 9\cdot 10^{5+2}=}$${\displaystyle 9\cdot 10^7}$ (км).

Відповідь: а) 2,1 · 10⁶ км; б) 9 · 10⁷ км.

Типові завдання № 3. 6. Знайди значення виразу.

а) ${\displaystyle \frac{3^5\cdot 3^{-3}}{5^0}=}$${\displaystyle \frac{3^{5-3}}{1}=}$${\displaystyle 3^2=}$${\displaystyle 9}$;

б) зведемо до основи 2: ${\displaystyle 4=}$${\displaystyle 2^2}$;

${\displaystyle 16=}$${\displaystyle 2^4}$;

${\displaystyle 8=}$${\displaystyle 2^3}$;

${\displaystyle \frac{4^{-6}\cdot {16}^{-5}}{8^{-10}}=}$${\displaystyle \frac{{\left(2^2\right)}^{-6}\cdot {\left(2^4\right)}^{-5}}{{\left(2^3\right)}^{-10}}=}$${\displaystyle \frac{2^{-12}\cdot 2^{-20}}{2^{-30}}}$=

=${\displaystyle 2^{-12-20+30}=}$${\displaystyle 2^{-2}=}$${\displaystyle \frac{1}{4}}$;

в) ${\displaystyle {(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})}^{-2}:{\left(\frac{5}{12}\right)}^{-2}-{\left(3\frac{1}{16}\right)}^{-1}}$;

1) ${\displaystyle \frac{1^{\mathrm{\setminus }4}}{3}+\frac{1^{\mathrm{\setminus }3}}{4}=}$${\displaystyle \frac{4+3}{12}=}$${\displaystyle \frac{7}{12}}$;

2) ${\displaystyle {\left(\frac{7}{12}\right)}^{-2}:{\left(\frac{5}{12}\right)}^{-2}=}$${\displaystyle {\left(\frac{12}{7}\right)}^2:{\left(\frac{12}{5}\right)}^2=}$${\displaystyle \frac{144}{49}:\frac{144}{25}}$=

=${\displaystyle \frac{144}{49}\cdot \frac{25}{144}=}$${\displaystyle \frac{\cancel{144}\cdot 25}{49\cdot \cancel{144}}=}$${\displaystyle \frac{25}{49}}$;

3) ${\displaystyle {\left(3\frac{1}{16}\right)}^{-1}=}$${\displaystyle {\left(\frac{49}{16}\right)}^{-1}=}$${\displaystyle \frac{16}{49}}$;

4) ${\displaystyle \frac{25}{49}-\frac{16}{49}=}$${\displaystyle \frac{9}{49}}$;

г) ${\displaystyle (2,8\cdot 10^{-12})\cdot (4,5\cdot 10^7)}$=

=${\displaystyle \left(2,8\cdot 4,5\right)\cdot \left(10^{-12}\cdot 10^7\right)=}$${\displaystyle 12,6\cdot 10^{-12+7}}$=

=${\displaystyle 12,6\cdot 10^{-5}=}$${\displaystyle 1,26\cdot 10^1\cdot 10^{-5}=}$${\displaystyle 1,26\cdot 10^{-4}}$.

Відповідь: а) 9; б) 1/4; в) 9/49; г) 1,26 · 10⁻⁴.

Типові завдання № 3. 7. Розв’яжи графічно рівняння 6/x = 6x.

Побудуємо графіки ${\displaystyle y=}$${\displaystyle \frac{6}{x}}$ і ${\displaystyle y=}$${\displaystyle 6x}$.

Гіпербола ${\displaystyle y=}$${\displaystyle \frac{6}{x}}$ — таблиця значень:

Пряма ${\displaystyle y=}$${\displaystyle 6x}$ — таблиця значень:

Точки перетину мають абсциси ${\displaystyle x=}$${\displaystyle -1,x=}$${\displaystyle 1}$.

Перевірка (підставляємо в обидві функції):

${\displaystyle \frac{6}{(-1)}=}$${\displaystyle -6}$ і ${\displaystyle 6\cdot (-1)=}$${\displaystyle -6}$;

${\displaystyle \frac{6}{1}=}$${\displaystyle 6}$ і ${\displaystyle 6\cdot 1=}$${\displaystyle 6}$;

Корені: ${\displaystyle x=}$${\displaystyle -1;x=}$${\displaystyle 1}$.

Типові завдання № 3. 8. Доведи, що для всіх допустимих значень змінних значення виразу a⁻⁵/(a⁻² − b⁻²) · (a⁻¹ − b⁻¹)/a⁻⁴ + b⁻¹/(a⁻¹ + b⁻¹) є сталим.

Знаменник першого дробу — різниця квадратів:

${\displaystyle a^{-2}-b^{-2}}$=

=${\displaystyle {\left(a^{-1}\right)}^2-{\left(b^{-1}\right)}^2=}$${\displaystyle \left(a^{-1}-b^{-1}\right)\left(a^{-1}+b^{-1}\right)}$;