Перевірте, як засвоїли матеріал розділу 5Алгебра 8 клас Тарасенкова 2025 · стор. 314

КЗ №1. Як знайти відсоток числа?

Щоб знайти відсоток числа, треба подати відсоток у вигляді десяткового дробу і помножити число на цей дріб.

Приклад: ${\displaystyle 12\mathrm{\%}}$ числа ${\displaystyle 40}$: ${\displaystyle 40\cdot 0,12=}$${\displaystyle 4,8}$.

КЗ №2. Як знайти число за його відсотком?

Щоб знайти число за його відсотком, треба подати відсоток у вигляді дробу і поділити дане значення на цей дріб.

Приклад: ${\displaystyle 8\mathrm{\%}}$ числа — це ${\displaystyle 24}$; ${\displaystyle 24:0,08=}$${\displaystyle 300}$.

КЗ №3. Як знайти зміну величини у відсотках?

Щоб знайти відсоткову зміну, треба різницю нового і старого значень поділити на старе значення і результат помножити на ${\displaystyle 100\mathrm{\%}}$:

${\displaystyle \frac{\text{нове}-\text{старе}}{\text{старе}}\cdot 100\mathrm{\%}}$.

Приклад: було ${\displaystyle 4}$ год, стало ${\displaystyle 5,2}$ год: ${\displaystyle \frac{5,2-4}{4}\cdot 100\mathrm{\%}=}$${\displaystyle \frac{1,2}{4}\cdot 100\mathrm{\%}=}$${\displaystyle 30\mathrm{\%}}$ — збільшилось на ${\displaystyle 30\mathrm{\%}}$.

КЗ №4. Як знайти відсотковий вміст речовини в розчині?

Треба масу речовини поділити на масу всього розчину і помножити на ${\displaystyle 100\mathrm{\%}}$:

${\displaystyle \frac{m_{\text{речовини}}}{m_{\text{розчину}}}\cdot 100\mathrm{\%}}$.

Приклад: у ${\displaystyle 200}$ г розчину ${\displaystyle 30}$ г солі: ${\displaystyle \frac{30}{200}\cdot 100\mathrm{\%}=}$${\displaystyle 15\mathrm{\%}}$.

КЗ №5. Що називають варіаційним рядом?

Варіаційним рядом називають ряд даних (значень вибірки), упорядкованих за зростанням (або спаданням).

Приклад: ${\displaystyle 2}$; ${\displaystyle 3}$; ${\displaystyle 3}$; ${\displaystyle 5}$; ${\displaystyle 8}$; ${\displaystyle 8}$; ${\displaystyle 8}$; ${\displaystyle 10}$.

КЗ №6. Як знайти середнє значення вибірки?

Середнє значення вибірки — це середнє арифметичне всіх її значень: суму всіх значень ділять на їх кількість (обсяг вибірки):

${\displaystyle x̄=}$${\displaystyle \frac{x_1+x_2+\dots +x_n}{n}}$.

Приклад: ${\displaystyle x̄=}$${\displaystyle \frac{2+4+9}{3}=}$${\displaystyle \frac{15}{3}=}$${\displaystyle 5}$.

КЗ №7. Як знайти моду вибірки?

Мода вибірки (${\displaystyle Mo}$) — це значення, яке трапляється у вибірці найчастіше.

Приклад: у ряду ${\displaystyle 2}$; ${\displaystyle 3}$; ${\displaystyle 5}$; ${\displaystyle 5}$; ${\displaystyle 5}$; ${\displaystyle 7}$ мода ${\displaystyle Mo=}$${\displaystyle 5}$. Вибірка може мати кілька мод або не мати жодної.

КЗ №8. Які є способи подання даних?

Дані можна подавати: рядом чисел (варіаційним рядом), частотною таблицею, стовпчастою діаграмою, круговою діаграмою, графіком (лінійною діаграмою).

КЗ №9. Поясніть, які задачі називають комбінаторними.

Комбінаторними називають задачі, у яких треба знайти, скількома способами можна вибрати або розмістити елементи деякої множини за заданими умовами.

Приклад: скільки трицифрових чисел можна скласти з цифр ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle 3}$?

КЗ №10. Сформулюйте правило додавання для комбінаторних задач.

Правило додавання: якщо елемент ${\displaystyle a}$ можна вибрати ${\displaystyle n}$ способами, а елемент ${\displaystyle b}$ — ${\displaystyle m}$ способами, то вибрати або ${\displaystyle a}$, або ${\displaystyle b}$ можна ${\displaystyle n+m}$ способами.

Приклад: один із ${\displaystyle 8}$ музеїв або один із ${\displaystyle 4}$ парків — ${\displaystyle 8+4=}$${\displaystyle 12}$ способів.

КЗ №11. Сформулюйте правило множення для комбінаторних задач.

Правило множення: якщо елемент ${\displaystyle a}$ можна вибрати ${\displaystyle n}$ способами, а після цього елемент ${\displaystyle b}$ — ${\displaystyle m}$ способами, то пару ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ можна вибрати ${\displaystyle n\cdot m}$ способами.

Приклад: один із ${\displaystyle 8}$ музеїв і один із ${\displaystyle 4}$ парків — ${\displaystyle 8\cdot 4=}$${\displaystyle 32}$ способи.

КЗ №12. Що таке подія?

Подія (випадкова подія) — це подія, що може відбутися чи не відбутися під час здійснення випробування.

Приклад: під час підкидання грального кубика випало ${\displaystyle 6}$ очок.

КЗ №13. Яку подію називають достовірною? А неможливою?

Достовірною називають подію, яка в результаті даного випробування неодмінно станеться (поява від ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle 6}$ очок на кубику).

Неможливою називають подію, яка внаслідок даного випробування не може відбутися (поява ${\displaystyle 7}$ очок на кубику).

КЗ №14. Які події називають несумісними? А рівноможливими?

Несумісними називають події, якщо поява однієї з них виключає появу іншої (випало ${\displaystyle 2}$ очки і випало ${\displaystyle 5}$ очок).

Рівноможливими називають події, якщо поява кожної з них є однаково можливою порівняно з іншими (випадіння герба чи числа під час підкидання монети).

КЗ №15. Що таке ймовірність події? Як її знайти?

Ймовірністю події ${\displaystyle A}$ називається відношення числа ${\displaystyle m}$ сприятливих для ${\displaystyle A}$ подій до числа ${\displaystyle n}$ усіх рівноможливих у даному випробуванні подій:

${\displaystyle P\left(A\right)=}$${\displaystyle \frac{m}{n}}$.

Приклад: ймовірність випадіння непарного числа очок на кубику ${\displaystyle P\left(A\right)=}$${\displaystyle \frac{3}{6}=}$${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

КЗ №16. Яких значень може набувати ймовірність події?

Ймовірність події може набувати значень від 0 до 1: ${\displaystyle 0\le P\left(A\right)\le 1}$;

ймовірність достовірної події дорівнює ${\displaystyle 1}$, неможливої — ${\displaystyle 0}$.

Т №1. У класі навчається 15 дівчат і 12 хлопців. На скільки відсотків дівчат більше, ніж хлопців?

А. На ${\displaystyle 10\mathrm{\%}}$. Б. На ${\displaystyle 15\mathrm{\%}}$.

В. На ${\displaystyle 20\mathrm{\%}}$. Г. На ${\displaystyle 25\mathrm{\%}}$.

${\displaystyle 15-12=}$${\displaystyle 3}$ — на стільки більше дівчат, ніж хлопців;

${\displaystyle \frac{3}{12}\cdot 100\mathrm{\%}=}$${\displaystyle \frac{\stackrel{1}{\cancel{3}}}{\underset{4}{\cancel{12}}}\cdot 100\mathrm{\%}=}$${\displaystyle \frac{1}{4}\cdot 100\mathrm{\%}=}$${\displaystyle 25\mathrm{\%}}$.

Відповідь: Г. на ${\displaystyle 25\mathrm{\%}}$

Т №2. На діаграмі (мал. 63) відображено інформацію про кількість придбаних футболок різного розміру для спортивної команди. Знайдіть моду отриманих даних.

А. M. Б. L. В. S. Г. XL.

Найбільша кількість придбаних футболок — ${\displaystyle 15}$ (розмір M), тому ${\displaystyle Mo=}$${\displaystyle M}$.

Відповідь: А. M

Т №3. Трикутник, квадрат і круг зафарбували випадковим чином в один із кольорів веселки, причому різні фігури зафарбували в різні кольори. Яка ймовірність того, що круг буде зеленого кольору?

А. ${\displaystyle \frac{1}{3}}$. Б. ${\displaystyle \frac{1}{7}}$. В. ${\displaystyle \frac{3}{7}}$. Г. ${\displaystyle \frac{1}{210}}$.

${\displaystyle n=}$${\displaystyle 7}$ — кількість кольорів веселки, у який може бути зафарбований круг;

${\displaystyle m=}$${\displaystyle 1}$ — сприятлива подія (круг зеленого кольору);

${\displaystyle P\left(A\right)=}$${\displaystyle \frac{m}{n}=}$${\displaystyle \frac{1}{7}}$.

Відповідь: Б. ${\displaystyle \frac{1}{7}}$

Т №4. Скільки двоцифрових чисел, більших за 50, можна скласти із цифр 2, 4, 5, 8, якщо всі цифри в записі числа — різні?

А. ${\displaystyle 8}$. Б. ${\displaystyle 6}$. В. ${\displaystyle 3}$. Г. ${\displaystyle 2}$.

Цифри: ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle 4}$, ${\displaystyle 5}$, ${\displaystyle 8}$. Першою цифрою можуть бути ${\displaystyle 5}$ або ${\displaystyle 8}$ (${\displaystyle 2}$ варіанти);

якщо перша цифра ${\displaystyle 5}$, то друга — будь-яка з трьох інших (${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle 4}$, ${\displaystyle 8}$): ${\displaystyle 52}$, ${\displaystyle 54}$, ${\displaystyle 58}$;

якщо перша цифра ${\displaystyle 8}$, то друга — будь-яка з трьох інших (${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle 4}$, ${\displaystyle 5}$): ${\displaystyle 82}$, ${\displaystyle 84}$, ${\displaystyle 85}$;

${\displaystyle 2\cdot 3=}$${\displaystyle 6}$ (сп.) — двоцифрових чисел, більших за ${\displaystyle 50}$, з різними цифрами.

Відповідь: Б. ${\displaystyle 6}$

Т №5. До сплаву масою 600 г додали 40 г міді, після чого відсотковий вміст міді у сплаві збільшився на 5 %. Скільки грамів міді містив початковий сплав?

А. ${\displaystyle 60}$ г. Б. ${\displaystyle 100}$ г.

В. ${\displaystyle 120}$ г. Г. ${\displaystyle 160}$ г.

Нехай у початковому сплаві було ${\displaystyle x}$ г міді:

Складаємо рівняння (${\displaystyle 5\mathrm{\%}=}$${\displaystyle 0,05}$):

${\displaystyle \frac{{x+40}^{\mathrm{\setminus }600}}{640}-\frac{x^{\mathrm{\setminus }640}}{600}=}$${\displaystyle {0,05}^{\mathrm{\setminus }640\cdot 600}}$ | ${\displaystyle \cdot \left(640\cdot 600\right)}$

${\displaystyle \frac{(x+40)\cdot \cancel{640}\cdot 600}{\cancel{640}}-\frac{x\cdot 640\cdot \cancel{600}}{\cancel{600}}=}$${\displaystyle 0,05\cdot 640\cdot 600}$;

${\displaystyle 600\cdot (x+40)-640x=}$${\displaystyle 0,05\cdot 384000}$;

${\displaystyle 600x+24000-640x=}$${\displaystyle 19200}$;

${\displaystyle -40x=}$${\displaystyle 19200-24000}$;

${\displaystyle -40x=}$${\displaystyle -4800}$ | ${\displaystyle :\left(-40\right)}$

${\displaystyle x=}$${\displaystyle 120}$ (г) — міді містив початковий сплав.

Відповідь: В. ${\displaystyle 120}$ г