Тематичне оцінювання № 1: відповідіАлгебра 8 клас Бевз 2025 · стор. 44

Самостійна робота. Варіант I. 1. Які значення x допустимі для дробу?

а) ${\displaystyle \frac{2x+3}{3x-12}}$;

${\displaystyle 3x-12\ne 0}$;

${\displaystyle 3x\ne 12}$;

${\displaystyle x\ne 4}$;

допустимі значення: усі числа, крім 4;

б) ${\displaystyle \frac{7x}{x^2-4}}$;

${\displaystyle x^2-4\ne 0}$;

${\displaystyle x^2\ne 4}$;

${\displaystyle x\ne \pm 2}$;

допустимі значення: усі числа, крім −2 і 2.

Самостійна робота. Варіант I. 2. Скороти дріб.

а) ${\displaystyle \frac{8x^{2}c}{12ax{c}^3}=}$${\displaystyle \frac{2x\cdot \cancel{4xc}}{3a{c}^2\cdot \cancel{4xc}}=}$${\displaystyle \frac{2x}{3a{c}^2}}$;

б) ${\displaystyle \frac{5a^2-20}{10a+20}=}$${\displaystyle \frac{5(a-2)\cancel{\left(a+2\right)}}{10\cancel{\left(a+2\right)}}=}$${\displaystyle \frac{\cancel{5}(a-2)}{\cancel{5}\cdot 2}=}$${\displaystyle \frac{a-2}{2}}$;

в) ${\displaystyle \frac{x^2-6x+9}{x^2-3x}=}$${\displaystyle \frac{(x-3)\cancel{\left(x-3\right)}}{x\cancel{\left(x-3\right)}}=}$${\displaystyle \frac{x-3}{x}}$.

Самостійна робота. Варіант I. 3. Знайди суму та різницю дробів (3a + b)/c і (3a − b)/c.

сума: ${\displaystyle \frac{3a+b}{c}+\frac{3a-b}{c}=}$${\displaystyle \frac{3a+b+3a-b}{c}=}$${\displaystyle \frac{6a}{c}}$;

різниця: ${\displaystyle \frac{3a+b}{c}-\frac{3a-b}{c}=}$${\displaystyle \frac{3a+b-(3a-b)}{c}}$=

=${\displaystyle \frac{3a+b-3a+b}{c}=}$${\displaystyle \frac{2b}{c}}$.

Самостійна робота. Варіант I. 4. Спрости вираз.

а) ${\displaystyle \frac{a}{a+3}-\frac{9}{a^2+3a}=}$${\displaystyle \frac{a^{\mathrm{\setminus }a}}{a+3}-\frac{9}{a(a+3)}=}$${\displaystyle \frac{a^2-9}{a(a+3)}}$=

=${\displaystyle \frac{(a-3)\cancel{\left(a+3\right)}}{a\cancel{\left(a+3\right)}}=}$${\displaystyle \frac{a-3}{a}}$;

б) ${\displaystyle \frac{a+2}{a-2}-\frac{8a}{a^2-4}+\frac{4}{a+2}}$=

=${\displaystyle \frac{{a+2}^{\mathrm{\setminus }a+2}}{a-2}-\frac{8a}{(a-2)(a+2)}+\frac{4^{\mathrm{\setminus }a-2}}{a+2}}$=

=${\displaystyle \frac{(a+2)(a+2)-8a+4(a-2)}{(a-2)(a+2)}=}$${\displaystyle \frac{a^2+4a+4-8a+4a-8}{(a-2)(a+2)}}$=

=${\displaystyle \frac{a^2-4}{(a-2)(a+2)}=}$${\displaystyle \frac{\cancel{\left(a-2\right)\left(a+2\right)}}{\cancel{\left(a-2\right)\left(a+2\right)}}=}$${\displaystyle 1}$.

Самостійна робота. Варіант II. 1. Які значення x допустимі для дробу?

а) ${\displaystyle \frac{3x+6}{5x-10}}$;

${\displaystyle 5x-10\ne 0}$;

${\displaystyle 5x\ne 10}$;

${\displaystyle x\ne 2}$;

допустимі значення: усі числа, крім 2;

б) ${\displaystyle \frac{2x-1}{x^2-16}}$;

${\displaystyle x^2-16\ne 0}$;

${\displaystyle x^2\ne 16}$;

${\displaystyle x\ne \pm 4}$;

допустимі значення: усі числа, крім −4 і 4.

Самостійна робота. Варіант II. 2. Скороти дріб.

а) ${\displaystyle \frac{6a^2{x}^3}{18a{x}^2{y}^3}=}$${\displaystyle \frac{ax\cdot \cancel{6a{x}^2}}{3y^3\cdot \cancel{6a{x}^2}}=}$${\displaystyle \frac{ax}{3y^3}}$;

б) ${\displaystyle \frac{3b^2-12}{9b+18}=}$${\displaystyle \frac{3(b-2)\cancel{\left(b+2\right)}}{9\cancel{\left(b+2\right)}}=}$${\displaystyle \frac{\cancel{3}(b-2)}{\cancel{3}\cdot 3}=}$${\displaystyle \frac{b-2}{3}}$;

в) ${\displaystyle \frac{x^2-6x}{x^2-12x+36}=}$${\displaystyle \frac{x\cancel{\left(x-6\right)}}{(x-6)\cancel{\left(x-6\right)}}=}$${\displaystyle \frac{x}{x-6}}$.

Самостійна робота. Варіант II. 3. Знайди суму та різницю дробів (2x − 9y)/(2z) і (2x + 9y)/(2z).

сума: ${\displaystyle \frac{2x-9y}{2z}+\frac{2x+9y}{2z}=}$${\displaystyle \frac{2x-9y+2x+9y}{2z}=}$${\displaystyle \frac{4x}{2z}}$=

=${\displaystyle \frac{2x\cancel{2}}{z\cancel{2}}=}$${\displaystyle \frac{2x}{z}}$;

різниця: ${\displaystyle \frac{2x-9y}{2z}-\frac{2x+9y}{2z}=}$${\displaystyle \frac{2x-9y-(2x+9y)}{2z}}$=

=${\displaystyle \frac{2x-9y-2x-9y}{2z}=}$${\displaystyle \frac{-18y}{2z}=}$${\displaystyle \frac{-9y\cancel{2}}{z\cancel{2}}=}$${\displaystyle -\frac{9y}{z}}$.

Самостійна робота. Варіант II. 4. Спрости вираз.

а) ${\displaystyle \frac{b^2}{9b+27}-\frac{1}{b+3}=}$${\displaystyle \frac{b^2}{9(b+3)}-\frac{1^{\mathrm{\setminus }9}}{b+3}=}$${\displaystyle \frac{b^2-9}{9(b+3)}}$=

=${\displaystyle \frac{(b-3)\cancel{\left(b+3\right)}}{9\cancel{\left(b+3\right)}}=}$${\displaystyle \frac{b-3}{9}}$;

б) ${\displaystyle \frac{2}{m+1}-\frac{4m}{m^2-1}+\frac{m+1}{m-1}}$=

=${\displaystyle \frac{2^{\mathrm{\setminus }m-1}}{m+1}-\frac{4m}{(m-1)(m+1)}+\frac{{m+1}^{\mathrm{\setminus }m+1}}{m-1}}$=

=${\displaystyle \frac{2(m-1)-4m+(m+1)(m+1)}{(m-1)(m+1)}=}$${\displaystyle \frac{2m-2-4m+m^2+2m+1}{(m-1)(m+1)}}$=

=${\displaystyle \frac{m^2-1}{(m-1)(m+1)}=}$${\displaystyle \frac{\cancel{\left(m-1\right)\left(m+1\right)}}{\cancel{\left(m-1\right)\left(m+1\right)}}=}$${\displaystyle 1}$.

Самостійна робота. Варіант III. 1. Які значення x допустимі для дробу?

а) ${\displaystyle \frac{2x+5}{6x-18}}$;

${\displaystyle 6x-18\ne 0}$;

${\displaystyle 6x\ne 18}$;

${\displaystyle x\ne 3}$;

допустимі значення: усі числа, крім 3;

б) ${\displaystyle \frac{7+x}{x^2-25}}$;

${\displaystyle x^2-25\ne 0}$;

${\displaystyle x^2\ne 25}$;

${\displaystyle x\ne \pm 5}$;

допустимі значення: усі числа, крім −5 і 5.

Самостійна робота. Варіант III. 2. Скороти дріб.

а) ${\displaystyle \frac{3x{a}^2}{15a{x}^3{c}^2}=}$${\displaystyle \frac{a\cdot \cancel{3ax}}{5x^2{c}^2\cdot \cancel{3ax}}=}$${\displaystyle \frac{a}{5x^2{c}^2}}$;

б) ${\displaystyle \frac{4a^2-36}{6a-18}=}$${\displaystyle \frac{4\cancel{\left(a-3\right)}(a+3)}{6\cancel{\left(a-3\right)}}=}$${\displaystyle \frac{\cancel{2}\cdot 2(a+3)}{\cancel{2}\cdot 3}=}$${\displaystyle \frac{2\left(a+3\right)}{3}}$;

в) ${\displaystyle \frac{x^2+10x+25}{x^2+5x}=}$${\displaystyle \frac{(x+5)\cancel{\left(x+5\right)}}{x\cancel{\left(x+5\right)}}=}$${\displaystyle \frac{x+5}{x}}$.

Самостійна робота. Варіант III. 3. Знайди суму та різницю дробів (2a + 5b)/(2c) і (2a − 5b)/(2c).

сума: ${\displaystyle \frac{2a+5b}{2c}+\frac{2a-5b}{2c}=}$${\displaystyle \frac{2a+5b+2a-5b}{2c}=}$${\displaystyle \frac{4a}{2c}}$=

=${\displaystyle \frac{2a\cancel{2}}{c\cancel{2}}=}$${\displaystyle \frac{2a}{c}}$;

різниця: ${\displaystyle \frac{2a+5b}{2c}-\frac{2a-5b}{2c}=}$${\displaystyle \frac{2a+5b-(2a-5b)}{2c}}$=

=${\displaystyle \frac{2a+5b-2a+5b}{2c}=}$${\displaystyle \frac{10b}{2c}=}$${\displaystyle \frac{5b\cancel{2}}{c\cancel{2}}=}$${\displaystyle \frac{5b}{c}}$.

Самостійна робота. Варіант III. 4. Спрости вираз.

а) ${\displaystyle \frac{m}{m-5}-\frac{25}{m^2-5m}=}$${\displaystyle \frac{m^{\mathrm{\setminus }m}}{m-5}-\frac{25}{m(m-5)}=}$${\displaystyle \frac{m^2-25}{m(m-5)}}$=

=${\displaystyle \frac{(m+5)\cancel{\left(m-5\right)}}{m\cancel{\left(m-5\right)}}=}$${\displaystyle \frac{m+5}{m}}$;

б) ${\displaystyle \frac{a+3}{a-3}+\frac{6}{a+3}-\frac{12a}{a^2-9}}$=

=${\displaystyle \frac{{a+3}^{\mathrm{\setminus }a+3}}{a-3}+\frac{6^{\mathrm{\setminus }a-3}}{a+3}-\frac{12a}{(a-3)(a+3)}}$=

=${\displaystyle \frac{(a+3)(a+3)+6(a-3)-12a}{(a-3)(a+3)}}$=

=${\displaystyle \frac{a^2+6a+9+6a-18-12a}{(a-3)(a+3)}=}$${\displaystyle \frac{a^2-9}{(a-3)(a+3)}}$=

=${\displaystyle \frac{\cancel{\left(a-3\right)\left(a+3\right)}}{\cancel{\left(a-3\right)\left(a+3\right)}}=}$${\displaystyle 1}$.

Тестові завдання № 1. 1. При якому значенні x не має змісту дріб (5 − x)/(3x − 6)?

${\displaystyle 3x-6=}$${\displaystyle 0}$; ${\displaystyle 3x=}$${\displaystyle 6}$; ${\displaystyle x=}$${\displaystyle 2}$.

Відповідь: В.

Тестові завдання № 1. 2. Укажи спільний знаменник дробів 2/(3x²) і 3/(2xy).

НСК(3; 2) = 6, змінні в найбільших степенях: ${\displaystyle x^2}$, ${\displaystyle y}$;

спільний знаменник ${\displaystyle 6x^{2}y}$.

Відповідь: В.

Тестові завдання № 1. 3. Укажи пропущений член тотожності 5/(xy) = ∗/(3x²y).

${\displaystyle 3x^{2}y:xy=}$${\displaystyle 3x}$ — додатковий множник;

${\displaystyle \square =}$${\displaystyle 5\cdot 3x=}$${\displaystyle 15x}$.

Відповідь: А.

Тестові завдання № 1. 4. Сумою дробів 2/x і x/2 є дріб:

${\displaystyle \frac{2^{\mathrm{\setminus }2}}{x}+\frac{x^{\mathrm{\setminus }x}}{2}=}$${\displaystyle \frac{4+x^2}{2x}}$.

Відповідь: Г.

Тестові завдання № 1. 5. Скороти дріб (x² − x)/(x − 1).

${\displaystyle \frac{x^2-x}{x-1}=}$${\displaystyle \frac{x\cancel{\left(x-1\right)}}{\cancel{x-1}}=}$${\displaystyle x}$.

Відповідь: А.

Тестові завдання № 1. 6. Різниця дробів 2x/(x − 2) і 4/(x − 2) дорівнює:

${\displaystyle \frac{2x}{x-2}-\frac{4}{x-2}=}$${\displaystyle \frac{2x-4}{x-2}=}$${\displaystyle \frac{2\cancel{\left(x-2\right)}}{\cancel{\left(x-2\right)}}=}$${\displaystyle 2}$.

Відповідь: В.

Тестові завдання № 1. 7. Знайди значення виразу (a − 3)/(a + 3), якщо a = −1.

${\displaystyle \frac{-1-3}{-1+3}=}$${\displaystyle \frac{-4}{2}=}$${\displaystyle -2}$.

Відповідь: Б.

Тестові завдання № 1. 8. Скільки коренів має рівняння 7/(x² − 1) = 0?

Чисельник ${\displaystyle 7\ne 0}$, тому дріб ніколи не дорівнює нулю.

Відповідь: Г (жодного).

Тестові завдання № 1. 9. Розв’яжи рівняння (x² + 2x)/(x² − 4) = 0.

${\displaystyle \frac{x^2+2x}{x^2-4}=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle \{\begin{array}{rl}& x(x+2)=0\\ & (x-2)(x+2)\ne 0\end{array}}$;

${\displaystyle \{\begin{array}{rl}& x=0\text{або }x=-2\\ & x\ne 2,x\ne -2\end{array}}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle 0}$.

Відповідь: Б.

Тестові завдання № 1. 10. При якому натуральному значенні n значення дробу (n + 2)/n є цілим числом?

${\displaystyle \frac{n+2}{n}=}$${\displaystyle \frac{n}{n}+\frac{2}{n}=}$${\displaystyle 1+\frac{2}{n}}$;

${\displaystyle n}$ — натуральний дільник числа 2: ${\displaystyle n=}$${\displaystyle 1}$;

${\displaystyle n=}$${\displaystyle 2}$.

Відповідь: В.

Типові завдання № 1. 1. Який із виразів цілий?

Цілий вираз не містить ділення на змінну:

В ${\displaystyle \frac{2x+y}{3}}$ — ділення лише на число 3.

Відповідь: В.

Типові завдання № 1. 2. Скороти дріб 12a²b²/(18a³b).

${\displaystyle \frac{12a^2{b}^2}{18a^{3}b}=}$${\displaystyle \frac{2b\cdot \cancel{6a^{2}b}}{3a\cdot \cancel{6a^{2}b}}=}$${\displaystyle \frac{2b}{3a}}$.

Відповідь: Г.

Типові завдання № 1. 3. При яких значеннях змінних не має змісту дріб 2c/(c² − 2c)?

${\displaystyle c^2-2c=}$${\displaystyle 0}$; ${\displaystyle c(c-2)=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle c=}$${\displaystyle 0}$ або ${\displaystyle c=}$${\displaystyle 2}$.

Відповідь: В.

Типові завдання № 1. 4. Установи відповідність між виразами (1–3) та їх числовими значеннями (А–Д) за умови, що a = 0,3, b = −0,7.

Спочатку скоротимо, потім підставимо ${\displaystyle a=}$${\displaystyle 0,3}$;

${\displaystyle b=}$${\displaystyle -0,7}$.

1) ${\displaystyle \frac{a^2-b^2}{a+b}=}$${\displaystyle \frac{(a-b)\cancel{\left(a+b\right)}}{\cancel{a+b}}=}$${\displaystyle a-b}$=

=${\displaystyle 0,3-(-0,7)=}$${\displaystyle 1}$;

2) ${\displaystyle \frac{a^{2}b-a{b}^2}{a^2-2ab+b^2}=}$${\displaystyle \frac{ab\cancel{\left(a-b\right)}}{(a-b)\cancel{\left(a-b\right)}}=}$${\displaystyle \frac{ab}{a-b}}$=

=${\displaystyle \frac{0,3\cdot (-0,7)}{1}=}$${\displaystyle -0,21}$;

3) ${\displaystyle \frac{a^3-8}{a^2+2a+4}=}$${\displaystyle \frac{(a-2)\cancel{\left(a^2+2a+4\right)}}{\cancel{a^2+2a+4}}=}$${\displaystyle a-2}$=

=${\displaystyle 0,3-2=}$${\displaystyle -1,7}$.

Відповідь: 1 — Г, 2 — В, 3 — А.

Типові завдання № 1. 5. Виконай дії.

а) ${\displaystyle \frac{5x+2}{3-x}-\frac{4-7x}{x-3}=}$${\displaystyle -\frac{5x+2}{x-3}-\frac{4-7x}{x-3}}$=

=${\displaystyle \frac{-(5x+2)-(4-7x)}{x-3}=}$${\displaystyle \frac{-5x-2-4+7x}{x-3}=}$${\displaystyle \frac{2x-6}{x-3}}$=

=${\displaystyle \frac{2\cancel{\left(x-3\right)}}{\cancel{\left(x-3\right)}}=}$${\displaystyle 2}$;

б) ${\displaystyle \frac{a+4}{a-4}+\frac{a-4}{a+4}-\frac{16a}{a^2-16}}$=

=${\displaystyle \frac{{a+4}^{\mathrm{\setminus }a+4}}{a-4}+\frac{{a-4}^{\mathrm{\setminus }a-4}}{a+4}-\frac{16a}{(a-4)(a+4)}}$=

=${\displaystyle \frac{(a+4)(a+4)+(a-4)(a-4)-16a}{(a-4)(a+4)}}$=

=${\displaystyle \frac{a^2+8a+16+a^2-8a+16-16a}{(a-4)(a+4)}=}$${\displaystyle \frac{2a^2-16a+32}{(a-4)(a+4)}}$=

=${\displaystyle \frac{2(a-4)\cancel{\left(a-4\right)}}{(a+4)\cancel{\left(a-4\right)}}=}$${\displaystyle \frac{2\left(a-4\right)}{a+4}}$.

Типові завдання № 1. 6. Розв’яжи рівняння.

а) ${\displaystyle \frac{x^2-9}{x^2+3x}=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle \frac{x^2-9}{x(x+3)}}$=0;

${\displaystyle \{\begin{array}{rl}& (x-3)(x+3)=0\\ & x(x+3)\ne 0\end{array}}$;

${\displaystyle \{\begin{array}{rl}& x=-3\text{або }x=3\\ & x\ne -3,x\ne 0\end{array}}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle 3}$;

б) ${\displaystyle \frac{5}{x+5}+\frac{5}{x-5}+\frac{2x^2}{x^2-25}=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle \frac{5^{\mathrm{\setminus }x-5}}{x+5}+\frac{5^{\mathrm{\setminus }x+5}}{x-5}+\frac{2x^2}{(x-5)(x+5)}=}$${\displaystyle \frac{5(x-5)+5(x+5)+2x^2}{(x-5)(x+5)}}$=

=${\displaystyle \frac{5x-25+5x+25+2x^2}{(x-5)(x+5)}=}$${\displaystyle \frac{2x^2+10x}{(x-5)(x+5)}}$=0;

${\displaystyle \{\begin{array}{rl}& 2x(x+5)=0\\ & (x-5)(x+5)\ne 0\end{array}}$;

${\displaystyle \{\begin{array}{rl}& x=-5\text{або }x=0\\ & x\ne -5,x\ne 5\end{array}}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle 0}$.

Типові завдання № 1. 7. Доведи тотожність (a + 5)/(3a + 9) − (a − 10)/(3a − 9) − (3a + 5)/(a² − 9) = 0.

${\displaystyle \frac{a+5}{3a+9}-\frac{a-10}{3a-9}-\frac{3a+5}{a^2-9}}$=

=${\displaystyle \frac{{a+5}^{\mathrm{\setminus }a-3}}{3(a+3)}-\frac{{a-10}^{\mathrm{\setminus }a+3}}{3(a-3)}-\frac{{3a+5}^{\mathrm{\setminus }3}}{(a-3)(a+3)}}$=

=${\displaystyle \frac{(a+5)(a-3)-(a-10)(a+3)-3(3a+5)}{3(a-3)(a+3)}}$=

=${\displaystyle \frac{a^2+2a-15-a^2+7a+30-9a-15}{3(a-3)(a+3)}=}$${\displaystyle \frac{0}{3(a-3)(a+3)}=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle 0=}$${\displaystyle 0}$ — тотожність доведено.

Типові завдання № 1. 8. Для кожного значення параметра a розв’яжи рівняння (a² − 25)x = a + 5.

${\displaystyle (a-5)(a+5)x=}$${\displaystyle a+5}$;

Якщо ${\displaystyle a=}$${\displaystyle 5}$, то ${\displaystyle 0\cdot x=}$${\displaystyle 10}$ — коренів немає;

якщо ${\displaystyle a=}$${\displaystyle -5}$, то ${\displaystyle 0\cdot x=}$${\displaystyle 0}$ — коренем є будь-яке число;

якщо ${\displaystyle a\ne \pm 5}$, то ${\displaystyle x=}$${\displaystyle \frac{a+5}{(a-5)(a+5)}=}$${\displaystyle \frac{1}{a-5}}$.

Відповідь: якщо ${\displaystyle a=}$${\displaystyle 5}$, коренів немає; якщо ${\displaystyle a=}$${\displaystyle -5}$, x — будь-яке число; якщо ${\displaystyle a\ne \pm 5}$, то ${\displaystyle x=}$${\displaystyle \frac{1}{a-5}}$.

Типові завдання № 1. 9 (додаткове). Обчисли значення виразу (4m² + 2mn − n²)/(8m² + 3n²), якщо m/n = 1/2.

Поділимо чисельник і знаменник на ${\displaystyle n^2}$:

${\displaystyle \frac{4{\left(\frac{m}{n}\right)}^2+2\cdot \frac{m}{n}-1}{8{\left(\frac{m}{n}\right)}^2+3}=}$${\displaystyle \frac{4\cdot \frac{1}{4}+2\cdot \frac{1}{2}-1}{8\cdot \frac{1}{4}+3}=}$${\displaystyle \frac{1+1-1}{2+3}=}$${\displaystyle \frac{1}{5}}$.

Відповідь: 0,2.