Тематичне оцінювання № 2: відповідіАлгебра 8 клас Бевз 2025 · стор. 83

Самостійна робота. Варіант I. 1. Перемнож дроби.

а) ${\displaystyle \frac{2ax}{3x^3}\cdot \frac{5a{x}^2}{4x^3}=}$${\displaystyle \frac{2ax\cdot 5a{x}^2}{3x^3\cdot 4x^3}=}$${\displaystyle \frac{\cancel{2}a\cancel{x}\cdot 5a\cancel{x^2}}{3\cancel{x^3}\cdot 2\cdot \cancel{2}{x}^3}=}$${\displaystyle \frac{5a^2}{6x^3}}$;

б) ${\displaystyle \frac{9x{y}^3}{x^2-y^2}\cdot \frac{x+y}{6y^2}=}$${\displaystyle \frac{9x{y}^3\cdot (x+y)}{(x^2-y^2)\cdot 6y^2}}$=

=${\displaystyle \frac{3\cdot \cancel{3}x\cancel{y^2}y\cancel{\left(x+y\right)}}{2\cdot \cancel{3}\cancel{y^2}\cancel{\left(x+y\right)}(x-y)}=}$${\displaystyle \frac{3xy}{2\left(x-y\right)}}$.

Самостійна робота. Варіант I. 2. Виконай дії.

а) ${\displaystyle \frac{8ab}{a^2-3a}:\frac{4ab}{3a-9}=}$${\displaystyle \frac{8ab}{a^2-3a}\cdot \frac{3a-9}{4ab}=}$${\displaystyle \frac{8ab\cdot (3a-9)}{(a^2-3a)\cdot 4ab}}$=

=${\displaystyle \frac{6\cdot \cancel{4}\cancel{a}\cancel{b}\cancel{\left(a-3\right)}}{\cancel{4}\cancel{a}a\cancel{b}\cancel{\left(a-3\right)}}=}$${\displaystyle \frac{6}{a}}$;

б) ${\displaystyle \frac{a^2-2a+1}{a^2-1}:\frac{a}{a+1}=}$${\displaystyle \frac{a^2-2a+1}{a^2-1}\cdot \frac{a+1}{a}}$=

=${\displaystyle \frac{(a^2-2a+1)\cdot (a+1)}{(a^2-1)\cdot a}=}$${\displaystyle \frac{\cancel{\left(a+1\right)}\cancel{\left(a-1\right)}(a-1)}{a\cancel{\left(a+1\right)}\cancel{\left(a-1\right)}}=}$${\displaystyle \frac{a-1}{a}}$.

Самостійна робота. Варіант I. 3. Розв’яжи рівняння 3/(x − 2) = 10/x − 7/(x + 2).

${\displaystyle \frac{3}{x-2}=}$${\displaystyle \frac{10}{x}-\frac{7}{x+2}}$;

${\displaystyle \frac{3^{\mathrm{\setminus }x\left(x+2\right)}}{x-2}-\frac{{10}^{\mathrm{\setminus }\left(x-2\right)\left(x+2\right)}}{x}+\frac{7^{\mathrm{\setminus }x\left(x-2\right)}}{x+2}=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle \frac{3x(x+2)-10(x-2)(x+2)+7x(x-2)}{x(x-2)(x+2)}}$=

=${\displaystyle \frac{3x^2+6x-10x^2+40+7x^2-14x}{x(x-2)(x+2)}=}$${\displaystyle \frac{40-8x}{x(x-2)(x+2)}}$=0;

${\displaystyle \{\begin{array}{rl}& 40-8x=0\\ & x(x-2)(x+2)\ne 0\end{array}}$;

${\displaystyle \{\begin{array}{rl}& x=5\\ & x\ne -2,x\ne 0,x\ne 2\end{array}}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle 5}$.

Самостійна робота. Варіант I. 4. Спрости вираз.

а) ${\displaystyle \frac{9a{x}^3}{x^2-a^2}\cdot \frac{a+x}{6x^2}-\frac{3a^2}{2x-2a}}$;

1) ${\displaystyle \frac{9a{x}^3}{x^2-a^2}\cdot \frac{a+x}{6x^2}=}$${\displaystyle \frac{9a{x}^3\cdot (a+x)}{(x^2-a^2)\cdot 6x^2}}$=

=${\displaystyle -\frac{3\cdot \cancel{3}a\cancel{x^2}x\cancel{\left(a+x\right)}}{2\cdot \cancel{3}\cancel{x^2}\cancel{\left(a+x\right)}(a-x)}=}$${\displaystyle \frac{3ax}{2(x-a)}}$;

2) ${\displaystyle \frac{3ax}{2(x-a)}-\frac{3a^2}{2x-2a}=}$${\displaystyle \frac{3ax}{2(x-a)}-\frac{3a^2}{2(x-a)}}$=

=${\displaystyle \frac{3ax-3a^2}{2(x-a)}=}$${\displaystyle \frac{3a\cancel{\left(x-a\right)}}{2\cancel{\left(x-a\right)}}=}$${\displaystyle \frac{3a}{2}}$;

б) ${\displaystyle (n+\frac{1}{2+n}):\frac{n+1}{n+2}-n}$;

1) ${\displaystyle n+\frac{1}{2+n}=}$${\displaystyle \frac{n^{\mathrm{\setminus }n+2}}{1}+\frac{1}{n+2}=}$${\displaystyle \frac{n(n+2)+1}{n+2}}$=

=${\displaystyle \frac{n^2+2n+1}{n+2}=}$${\displaystyle \frac{{(n+1)}^2}{n+2}}$;

2) ${\displaystyle \frac{{(n+1)}^2}{n+2}:\frac{n+1}{n+2}=}$${\displaystyle \frac{{(n+1)}^2}{n+2}\cdot \frac{n+2}{n+1}=}$${\displaystyle \frac{{(n+1)}^2\cdot (n+2)}{(n+2)\cdot (n+1)}}$=

=${\displaystyle \frac{\cancel{\left(n+1\right)}(n+1)\cancel{\left(n+2\right)}}{\cancel{\left(n+1\right)}\cancel{\left(n+2\right)}}=}$${\displaystyle n+1}$;

3) ${\displaystyle n+1-n=}$${\displaystyle 1}$.

Самостійна робота. Варіант II. 1. Перемнож дроби.

а) ${\displaystyle \frac{2x{y}^2}{3y^3}\cdot \frac{9x}{4y}=}$${\displaystyle \frac{2x{y}^2\cdot 9x}{3y^3\cdot 4y}=}$${\displaystyle \frac{\cancel{2}x\cancel{y^2}\cdot 3\cdot \cancel{3}x}{\cancel{3}y\cancel{y^2}\cdot 2\cdot \cancel{2}y}=}$${\displaystyle \frac{3x^2}{2y^2}}$;

б) ${\displaystyle \frac{5a}{a-3b}\cdot \frac{a^2-9b^2}{10a^2}=}$${\displaystyle \frac{5a\cdot (a^2-9b^2)}{(a-3b)\cdot 10a^2}}$=

=${\displaystyle \frac{\cancel{5}\cancel{a}(a+3b)\cancel{\left(a-3b\right)}}{2\cdot \cancel{5}\cancel{a}a\cancel{\left(a-3b\right)}}=}$${\displaystyle \frac{a+3b}{2a}}$.

Самостійна робота. Варіант II. 2. Виконай дії.

а) ${\displaystyle \frac{2a}{a^2-3a}:\frac{4a^2}{a-3}=}$${\displaystyle \frac{2a}{a^2-3a}\cdot \frac{a-3}{4a^2}=}$${\displaystyle \frac{2a\cdot (a-3)}{(a^2-3a)\cdot 4a^2}}$=

=${\displaystyle \frac{\cancel{2}\cancel{a}\cancel{\left(a-3\right)}}{2\cdot \cancel{2}\cancel{a}{a}^2\cancel{\left(a-3\right)}}=}$${\displaystyle \frac{1}{2a^2}}$;

б) ${\displaystyle \frac{m+2}{m}:\frac{m^2-4}{m^2-4m+4}=}$${\displaystyle \frac{m+2}{m}\cdot \frac{m^2-4m+4}{m^2-4}}$=

=${\displaystyle \frac{(m+2)\cdot (m^2-4m+4)}{m\cdot (m^2-4)}=}$${\displaystyle \frac{\cancel{\left(m+2\right)}\cancel{\left(m-2\right)}(m-2)}{m\cancel{\left(m+2\right)}\cancel{\left(m-2\right)}}=}$${\displaystyle \frac{m-2}{m}}$.

Самостійна робота. Варіант II. 3. Розв’яжи рівняння 9/x − 2/(x − 1) = 7/(x + 1).

${\displaystyle \frac{9}{x}-\frac{2}{x-1}=}$${\displaystyle \frac{7}{x+1}}$;

${\displaystyle \frac{9^{\mathrm{\setminus }\left(x-1\right)\left(x+1\right)}}{x}-\frac{2^{\mathrm{\setminus }x\left(x+1\right)}}{x-1}-\frac{7^{\mathrm{\setminus }x\left(x-1\right)}}{x+1}=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle \frac{9(x-1)(x+1)-2x(x+1)-7x(x-1)}{x(x-1)(x+1)}}$=

=${\displaystyle \frac{9x^2-9-2x^2-2x-7x^2+7x}{x(x-1)(x+1)}=}$${\displaystyle \frac{5x-9}{x(x-1)(x+1)}}$=0;

${\displaystyle \{\begin{array}{rl}& 5x-9=0\\ & x(x-1)(x+1)\ne 0\end{array}}$;

${\displaystyle \{\begin{array}{rl}& x=\frac{9}{5}\\ & x\ne -1,x\ne 0,x\ne 1\end{array}}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle 1,8}$.

Самостійна робота. Варіант II. 4. Спрости вираз.

а) ${\displaystyle \frac{6a{c}^2}{a^2-c^2}\cdot \frac{a+c}{4c}-\frac{3a^2}{2a-2c}}$;

1) ${\displaystyle \frac{6a{c}^2}{a^2-c^2}\cdot \frac{a+c}{4c}=}$${\displaystyle \frac{6a{c}^2\cdot (a+c)}{(a^2-c^2)\cdot 4c}}$=

=${\displaystyle \frac{3\cdot \cancel{2}a\cancel{c}c\cancel{\left(a+c\right)}}{2\cdot \cancel{2}\cancel{c}\cancel{\left(a+c\right)}(a-c)}=}$${\displaystyle \frac{3ac}{2(a-c)}}$;

2) ${\displaystyle \frac{3ac}{2(a-c)}-\frac{3a^2}{2a-2c}=}$${\displaystyle \frac{3ac}{2(a-c)}-\frac{3a^2}{2(a-c)}}$=

=${\displaystyle \frac{3ac-3a^2}{2(a-c)}=}$${\displaystyle \frac{-3a\cancel{\left(a-c\right)}}{2\cancel{\left(a-c\right)}}=}$${\displaystyle -\frac{3a}{2}}$;

б) ${\displaystyle (1+\frac{a^2}{2a+1}):\frac{a+1}{2a+1}-a}$;

1) ${\displaystyle \frac{1^{\mathrm{\setminus }2a+1}}{1}+\frac{a^2}{2a+1}=}$${\displaystyle \frac{2a+1+a^2}{2a+1}}$=

=${\displaystyle \frac{a^2+2a+1}{2a+1}=}$${\displaystyle \frac{{(a+1)}^2}{2a+1}}$;

2) ${\displaystyle \frac{{(a+1)}^2}{2a+1}:\frac{a+1}{2a+1}=}$${\displaystyle \frac{{(a+1)}^2}{2a+1}\cdot \frac{2a+1}{a+1}}$=

=${\displaystyle \frac{{(a+1)}^2\cdot (2a+1)}{(2a+1)\cdot (a+1)}=}$${\displaystyle \frac{\cancel{\left(2a+1\right)}\cancel{\left(a+1\right)}(a+1)}{\cancel{\left(2a+1\right)}\cancel{\left(a+1\right)}}=}$${\displaystyle a+1}$;

3) ${\displaystyle a+1-a=}$${\displaystyle 1}$.

Самостійна робота. Варіант III. 1. Перемнож дроби.

а) ${\displaystyle \frac{3a^{2}b}{5b^3}\cdot \frac{10ab}{6b^3}=}$${\displaystyle \frac{3a^{2}b\cdot 10ab}{5b^3\cdot 6b^3}=}$${\displaystyle \frac{\cancel{3}{a}^2\cancel{b}\cdot \cancel{5}\cdot \cancel{2}a\cancel{b}}{\cancel{5}b\cancel{b^2}\cdot \cancel{3}\cdot \cancel{2}{b}^3}=}$${\displaystyle \frac{a^3}{b^4}}$;

б) ${\displaystyle \frac{3xy}{4x^2+4xy+y^2}\cdot \frac{2x+y}{xy}=}$${\displaystyle \frac{3xy\cdot (2x+y)}{(4x^2+4xy+y^2)\cdot xy}}$=

=${\displaystyle \frac{3\cancel{x}\cancel{y}\cancel{\left(2x+y\right)}}{\cancel{x}\cancel{y}\cancel{\left(2x+y\right)}(2x+y)}=}$${\displaystyle \frac{3}{2x+y}}$.

Самостійна робота. Варіант III. 2. Виконай дії.

а) ${\displaystyle \frac{3ab}{ab+b^2}:\frac{6b^2}{2a+2b}=}$${\displaystyle \frac{3ab}{ab+b^2}\cdot \frac{2a+2b}{6b^2}}$=

=${\displaystyle \frac{3ab\cdot (2a+2b)}{(ab+b^2)\cdot 6b^2}=}$${\displaystyle \frac{\cancel{6}a\cancel{b}\cancel{\left(a+b\right)}}{\cancel{6}\cancel{b}{b}^2\cancel{\left(a+b\right)}}=}$${\displaystyle \frac{a}{b^2}}$;

б) ${\displaystyle \frac{a+3}{2a}:\frac{a^2+6a+9}{a^2-9}=}$${\displaystyle \frac{a+3}{2a}\cdot \frac{a^2-9}{a^2+6a+9}}$=

=${\displaystyle \frac{(a+3)\cdot (a^2-9)}{2a\cdot (a^2+6a+9)}=}$${\displaystyle \frac{\cancel{{\left(a+3\right)}^2}(a-3)}{2a\cancel{{\left(a+3\right)}^2}}=}$${\displaystyle \frac{a-3}{2a}}$.

Самостійна робота. Варіант III. 3. Розв’яжи рівняння 1/x + 4/(x − 3) = 5/(x − 2).

${\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{4}{x-3}=}$${\displaystyle \frac{5}{x-2}}$;

${\displaystyle \frac{1^{\mathrm{\setminus }\left(x-3\right)\left(x-2\right)}}{x}+\frac{4^{\mathrm{\setminus }x\left(x-2\right)}}{x-3}-\frac{5^{\mathrm{\setminus }x\left(x-3\right)}}{x-2}=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle \frac{(x-3)(x-2)+4x(x-2)-5x(x-3)}{x(x-3)(x-2)}}$=

=${\displaystyle \frac{x^2-5x+6+4x^2-8x-5x^2+15x}{x(x-3)(x-2)}=}$${\displaystyle \frac{2x+6}{x(x-3)(x-2)}}$=0;

${\displaystyle \{\begin{array}{rl}& 2x+6=0\\ & x(x-3)(x-2)\ne 0\end{array}}$;

${\displaystyle \{\begin{array}{rl}& x=-3\\ & x\ne 0,x\ne 2,x\ne 3\end{array}}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle -3}$.

Самостійна робота. Варіант III. 4. Спрости вираз.

а) ${\displaystyle \frac{8c{n}^2}{c^2-n^2}\cdot \frac{n+c}{4n}-\frac{2n^2}{c-n}}$;

1) ${\displaystyle \frac{8c{n}^2}{c^2-n^2}\cdot \frac{n+c}{4n}=}$${\displaystyle \frac{8c{n}^2\cdot (n+c)}{(c^2-n^2)\cdot 4n}}$=

=${\displaystyle \frac{2\cdot \cancel{4}c\cancel{n}n\cancel{\left(c+n\right)}}{\cancel{4}\cancel{n}\cancel{\left(c+n\right)}(c-n)}=}$${\displaystyle \frac{2cn}{c-n}}$;

2) ${\displaystyle \frac{2cn}{c-n}-\frac{2n^2}{c-n}=}$${\displaystyle \frac{2cn-2n^2}{c-n}=}$${\displaystyle \frac{2n\cancel{\left(c-n\right)}}{\cancel{\left(c-n\right)}}=}$${\displaystyle 2n}$;

б) ${\displaystyle (\frac{a^2+c^2}{c}-2a):\frac{a-c}{c}-a}$;

1) ${\displaystyle \frac{a^2+c^2}{c}-\frac{{2a}^{\mathrm{\setminus }c}}{1}=}$${\displaystyle \frac{a^2+c^2-2ac}{c}=}$${\displaystyle \frac{{(a-c)}^2}{c}}$;

2) ${\displaystyle \frac{{(a-c)}^2}{c}:\frac{a-c}{c}=}$${\displaystyle \frac{{(a-c)}^2}{c}\cdot \frac{c}{a-c}=}$${\displaystyle \frac{{(a-c)}^2\cdot c}{c\cdot (a-c)}}$=

=${\displaystyle \frac{\cancel{c}\cancel{\left(a-c\right)}(a-c)}{\cancel{c}\cancel{\left(a-c\right)}}=}$${\displaystyle a-c}$;

3) ${\displaystyle a-c-a=}$${\displaystyle -c}$.

Тестові завдання № 2. 1. Спрости вираз 2a/3 : a і знайди його значення, якщо a = −3.

${\displaystyle \frac{2a}{3}:a=}$${\displaystyle \frac{2a}{3}\cdot \frac{1}{a}=}$${\displaystyle \frac{2\cancel{a}}{3\cdot \cancel{a}}=}$${\displaystyle \frac{2}{3}}$;

вираз не залежить від ${\displaystyle a}$, при ${\displaystyle a=}$${\displaystyle -3}$ його значення ${\displaystyle \frac{2}{3}}$.

Відповідь: А.

Тестові завдання № 2. 2. Виконай піднесення до степеня (a³/(3b²))³.

${\displaystyle {\left(\frac{a^3}{3b^2}\right)}^3=}$${\displaystyle \frac{{\left(a^3\right)}^3}{{\left(3b^2\right)}^3}=}$${\displaystyle \frac{a^9}{27b^6}}$.

Відповідь: Г.

Тестові завдання № 2. 3. Скільки розв’язків має рівняння (x − 3)/(6 − 3x) = 0?

${\displaystyle \{\begin{array}{rl}& x-3=0,\\ & 6-3x\ne 0;\end{array}}$ ${\displaystyle \{\begin{array}{rl}& x=3,\\ & x\ne 2;\end{array}}$ — один розв’язок ${\displaystyle x=}$${\displaystyle 3}$.

Відповідь: А.

Тестові завдання № 2. 4. Добутком дробів 3x/(x − 2) і (x − 2)²/(x² − 4) є дріб:

${\displaystyle \frac{3x}{x-2}\cdot \frac{{(x-2)}^2}{x^2-4}=}$${\displaystyle \frac{3x\cdot {(x-2)}^2}{(x-2)\cdot (x^2-4)}=}$${\displaystyle \frac{3x\cancel{{\left(x-2\right)}^2}}{(x+2)\cancel{{\left(x-2\right)}^2}}=}$${\displaystyle \frac{3x}{x+2}}$.

Відповідь: А.

Тестові завдання № 2. 5. Виконай ділення 1 : (a − 2)/(a + 2).

${\displaystyle 1:\frac{a-2}{a+2}=}$${\displaystyle 1\cdot \frac{a+2}{a-2}=}$${\displaystyle \frac{a+2}{a-2}}$.

Відповідь: Г.

Тестові завдання № 2. 6. Виконай дії 2a/(3b²) · 3a/(ab) : a/b³.

1) ${\displaystyle \frac{2a}{3b^2}\cdot \frac{3a}{ab}=}$${\displaystyle \frac{2\cancel{a}\cdot \cancel{3}a}{\cancel{3}{b}^2\cdot \cancel{a}b}=}$${\displaystyle \frac{2a}{b^3}}$;

2) ${\displaystyle \frac{2a}{b^3}:\frac{a}{b^3}=}$${\displaystyle \frac{2a}{b^3}\cdot \frac{b^3}{a}=}$${\displaystyle \frac{2\cancel{a}\cdot \cancel{b^3}}{\cancel{b^3}\cdot \cancel{a}}=}$${\displaystyle 2}$.

Відповідь: В.

Тестові завдання № 2. 7. Вираз (x³ + 1)/(x + 1) : (x² − x + 1) тотожно дорівнює:

${\displaystyle \frac{x^3+1}{x+1}:(x^2-x+1)=}$${\displaystyle \frac{x^3+1}{x+1}\cdot \frac{1}{x^2-x+1}}$=

=${\displaystyle \frac{x^3+1}{(x+1)\cdot (x^2-x+1)}=}$${\displaystyle \frac{\cancel{\left(x+1\right)}\cancel{\left(x^2-x+1\right)}}{\cancel{\left(x+1\right)}\cancel{\left(x^2-x+1\right)}}=}$${\displaystyle 1}$.

Відповідь: Б.

Тестові завдання № 2. 8. Укажи корені рівняння (x² − 3x)/(x² − 9) = 0.

${\displaystyle \{\begin{array}{rl}& x(x-3)=0,\\ & (x-3)(x+3)\ne 0;\end{array}}$ ${\displaystyle \{\begin{array}{rl}& x=0\text{або }x=3,\\ & x\ne \pm 3;\end{array}}$ ${\displaystyle x=}$${\displaystyle 0}$.

Відповідь: А.

Тестові завдання № 2. 9. Спрости вираз (a/b − b/a) : (a − b)/(ab).

1) ${\displaystyle \frac{a^{\mathrm{\setminus }a}}{b}-\frac{b^{\mathrm{\setminus }b}}{a}=}$${\displaystyle \frac{a^2-b^2}{ab}=}$${\displaystyle \frac{(a-b)(a+b)}{ab}}$;

2) ${\displaystyle \frac{(a-b)(a+b)}{ab}:\frac{a-b}{ab}=}$${\displaystyle \frac{(a-b)(a+b)}{ab}\cdot \frac{ab}{a-b}}$=

=${\displaystyle \frac{\cancel{a}\cancel{b}(a+b)\cancel{\left(a-b\right)}}{\cancel{a}\cancel{b}\cancel{\left(a-b\right)}}=}$${\displaystyle a+b}$.

Відповідь: А.

Тестові завдання № 2. 10. При яких значеннях a рівняння x/(x − 5) − a/(x − 5) = 0 не має коренів?

${\displaystyle \frac{x-a}{x-5}=}$${\displaystyle 0}$; ${\displaystyle \{\begin{array}{rl}& x=a,\\ & x\ne 5;\end{array}}$

коренів немає, якщо ${\displaystyle a=}$${\displaystyle 5}$.

Відповідь: А.

Типові завдання № 2. 1. Виконай ділення 24a³b²/(7m²) : (8ab²).

${\displaystyle \frac{24a^3{b}^2}{7m^2}:8a{b}^2=}$${\displaystyle \frac{24a^3{b}^2}{7m^2}\cdot \frac{1}{8a{b}^2}=}$${\displaystyle \frac{24a^3{b}^2}{7m^2\cdot 8a{b}^2}}$=

=${\displaystyle \frac{3\cdot \cancel{8}{a}^2\cancel{a}\cancel{b^2}}{7m^2\cdot \cancel{8}\cancel{a}\cancel{b^2}}=}$${\displaystyle \frac{3a^2}{7m^2}}$.

Відповідь: В.

Типові завдання № 2. 2. Подай у вигляді дробу вираз 3x²/y⁷ · y⁸/(6x³).

${\displaystyle \frac{3x^2}{y^7}\cdot \frac{y^8}{6x^3}=}$${\displaystyle \frac{3x^2\cdot y^8}{y^7\cdot 6x^3}=}$${\displaystyle \frac{\cancel{3}\cancel{x^2}\cdot y\cancel{y^7}}{\cancel{y^7}\cdot 2\cdot \cancel{3}x\cancel{x^2}}=}$${\displaystyle \frac{y}{2x}}$.