Тематичне оцінювання № 4: відповідіАлгебра 8 клас Бевз 2025 · стор. 166

Самостійна робота. Варіант I. 1. Обчисли: а) 2√81 − 3√25; б) √5 · √45; в) √(68² − 32²).

а) ${\displaystyle 2\sqrt{81}-3\sqrt{25}=}$${\displaystyle 2\cdot 9-3\cdot 5=}$${\displaystyle 18-15=}$${\displaystyle 3}$;

б) ${\displaystyle \sqrt{5}\cdot \sqrt{45}=}$${\displaystyle \sqrt{5\cdot 45}=}$${\displaystyle \sqrt{225}=}$${\displaystyle 15}$;

в) ${\displaystyle \sqrt{68^2-32^2}=}$${\displaystyle \sqrt{(68-32)(68+32)}}$=

=${\displaystyle \sqrt{36\cdot 100}=}$${\displaystyle 6\cdot 10=}$${\displaystyle 60}$.

Самостійна робота. Варіант I. 2. Спрости вираз: а) (4 − √3)(4 + √3); б) (1 + √5)² − √20; в) √12 + √75 − 6√3.

а) ${\displaystyle (4-\sqrt{3})(4+\sqrt{3})=}$${\displaystyle 4^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2=}$${\displaystyle 16-3=}$${\displaystyle 13}$;

б) ${\displaystyle {(1+\sqrt{5})}^2-\sqrt{20}=}$${\displaystyle 1+2\sqrt{5}+5-2\sqrt{5}=}$${\displaystyle 6}$;

в) ${\displaystyle \sqrt{12}+\sqrt{75}-6\sqrt{3}=}$${\displaystyle \sqrt{4\cdot 3}+\sqrt{25\cdot 3}-6\sqrt{3}}$=

=${\displaystyle 2\sqrt{3}+5\sqrt{3}-6\sqrt{3}=}$${\displaystyle \sqrt{3}}$.

Самостійна робота. Варіант I. 3. Скороти дріб (a + √a)/(√a + 1).

${\displaystyle \frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}=}$${\displaystyle \frac{\sqrt{a}\cancel{\left(\sqrt{a}+1\right)}}{\cancel{\sqrt{a}+1}}=}$${\displaystyle \sqrt{a}}$.

Самостійна робота. Варіант I. 4. Розв’яжи графічно рівняння √x = 0,5x.

Будуємо графіки ${\displaystyle y=}$${\displaystyle \sqrt{x}}$ і ${\displaystyle y=}$${\displaystyle 0,5x}$.

Функція ${\displaystyle y=}$${\displaystyle \sqrt{x}}$ — таблиця значень:

Пряма ${\displaystyle y=}$${\displaystyle 0,5x}$ — таблиця значень:

абсциси спільних точок: ${\displaystyle x=}$${\displaystyle 0,x=}$${\displaystyle 4}$;

перевірка: ${\displaystyle \sqrt{0}=}$${\displaystyle 0,5\cdot 0,\sqrt{4}=}$${\displaystyle 2=}$${\displaystyle 0,5\cdot 4}$;

корені: ${\displaystyle 0;4}$.

Самостійна робота. Варіант II. 1. Обчисли: а) 3√100 − 2√36; б) √7 · √28; в) √(82² − 18²).

а) ${\displaystyle 3\sqrt{100}-2\sqrt{36}=}$${\displaystyle 3\cdot 10-2\cdot 6}$=

=${\displaystyle 30-12=}$${\displaystyle 18}$;

б) ${\displaystyle \sqrt{7}\cdot \sqrt{28}=}$${\displaystyle \sqrt{7\cdot 28}=}$${\displaystyle \sqrt{196}=}$${\displaystyle 14}$;

в) ${\displaystyle \sqrt{82^2-18^2}=}$${\displaystyle \sqrt{(82-18)(82+18)}}$=

=${\displaystyle \sqrt{64\cdot 100}=}$${\displaystyle 8\cdot 10=}$${\displaystyle 80}$.

Самостійна робота. Варіант II. 2. Спрости вираз: а) (6 + √5)(6 − √5); б) (3 − √2)² + √72; в) √20 + √125 − 8√5.

а) ${\displaystyle (6+\sqrt{5})(6-\sqrt{5})=}$${\displaystyle 36-5=}$${\displaystyle 31}$;

б) ${\displaystyle {(3-\sqrt{2})}^2+\sqrt{72}=}$${\displaystyle 9-6\sqrt{2}+2+6\sqrt{2}=}$${\displaystyle 11}$;

в) ${\displaystyle \sqrt{20}+\sqrt{125}-8\sqrt{5}}$=

=${\displaystyle \sqrt{4\cdot 5}+\sqrt{25\cdot 5}-8\sqrt{5}}$=

=${\displaystyle 2\sqrt{5}+5\sqrt{5}-8\sqrt{5}=}$${\displaystyle -\sqrt{5}}$.

(${\displaystyle \sqrt{72}=}$${\displaystyle \sqrt{36\cdot 2}=}$${\displaystyle 6\sqrt{2}}$)

Самостійна робота. Варіант II. 3. Скороти дріб (x − 6√x)/(√x − 6).

${\displaystyle \frac{x-6\sqrt{x}}{\sqrt{x}-6}=}$${\displaystyle \frac{\sqrt{x}\cancel{\left(\sqrt{x}-6\right)}}{\cancel{\sqrt{x}-6}}=}$${\displaystyle \sqrt{x}}$.

Самостійна робота. Варіант II. 4. Розв’яжи графічно рівняння √x = x − 6.

Будуємо графіки ${\displaystyle y=}$${\displaystyle \sqrt{x}}$ і ${\displaystyle y=}$${\displaystyle x-6}$.

Функція ${\displaystyle y=}$${\displaystyle \sqrt{x}}$ — таблиця значень:

Пряма ${\displaystyle y=}$${\displaystyle x-6}$ — таблиця значень:

абсциси спільних точок: ${\displaystyle x=}$${\displaystyle 9}$;

перевірка: ${\displaystyle \sqrt{9}=}$${\displaystyle 3=}$${\displaystyle 9-6}$;

корень: ${\displaystyle 9}$.

Самостійна робота. Варіант III. 1. Обчисли: а) 5√16 + 2√64; б) √3 · √75; в) √(58² − 42²).

а) ${\displaystyle 5\sqrt{16}+2\sqrt{64}=}$${\displaystyle 5\cdot 4+2\cdot 8=}$${\displaystyle 20+16=}$${\displaystyle 36}$;

б) ${\displaystyle \sqrt{3}\cdot \sqrt{75}=}$${\displaystyle \sqrt{225}=}$${\displaystyle 15}$;

в) ${\displaystyle \sqrt{58^2-42^2}=}$${\displaystyle \sqrt{(58-42)(58+42)}}$=

=${\displaystyle \sqrt{16\cdot 100}=}$${\displaystyle 4\cdot 10=}$${\displaystyle 40}$.

Самостійна робота. Варіант III. 2. Спрости вираз: а) (√44 − 6)(√44 + 6); б) (2 + √3)² − √48; в) √8 + √50 − 6√2.

а) ${\displaystyle (\sqrt{44}-6)(\sqrt{44}+6)=}$${\displaystyle {\left(\sqrt{44}\right)}^2-6^2}$=

=${\displaystyle 44-36=}$${\displaystyle 8}$;

б) ${\displaystyle {(2+\sqrt{3})}^2-\sqrt{48}=}$${\displaystyle 4+4\sqrt{3}+3-4\sqrt{3}=}$${\displaystyle 7}$;

в) ${\displaystyle \sqrt{8}+\sqrt{50}-6\sqrt{2}=}$${\displaystyle \sqrt{4\cdot 2}+\sqrt{25\cdot 2}-6\sqrt{2}}$=

=${\displaystyle 2\sqrt{2}+5\sqrt{2}-6\sqrt{2}=}$${\displaystyle \sqrt{2}}$.

(${\displaystyle \sqrt{48}=}$${\displaystyle \sqrt{16\cdot 3}=}$${\displaystyle 4\sqrt{3}}$)

Самостійна робота. Варіант III. 3. Скороти дріб (a + 2√a)/(√a + 2).

${\displaystyle \frac{a+2\sqrt{a}}{\sqrt{a}+2}=}$${\displaystyle \frac{\sqrt{a}\cancel{\left(\sqrt{a}+2\right)}}{\cancel{\sqrt{a}+2}}=}$${\displaystyle \sqrt{a}}$.

Самостійна робота. Варіант III. 4. Розв’яжи графічно рівняння √x = 6 − x.

Будуємо графіки ${\displaystyle y=}$${\displaystyle \sqrt{x}}$ і ${\displaystyle y=}$${\displaystyle 6-x}$.

Функція ${\displaystyle y=}$${\displaystyle \sqrt{x}}$ — таблиця значень:

Пряма ${\displaystyle y=}$${\displaystyle 6-x}$ — таблиця значень:

абсциси спільних точок: ${\displaystyle x=}$${\displaystyle 4}$;

перевірка: ${\displaystyle \sqrt{4}=}$${\displaystyle 2=}$${\displaystyle 6-4}$;

корень: ${\displaystyle 4}$.

Тестові завдання № 4. 1. Скільки коренів має рівняння x² = 4? А один; Б два; В безліч; Г жодного.

${\displaystyle 2^2=}$${\displaystyle 4}$ і ${\displaystyle {(-2)}^2=}$${\displaystyle 4}$ — корені ${\displaystyle x=}$${\displaystyle \pm 2}$.

Відповідь: Б.

Тестові завдання № 4. 2. Число √51 міститься між числами: А 5 і 6; Б 6 і 7; В 7 і 8; Г 8 і 9.

${\displaystyle 49<51<64}$, тому ${\displaystyle 7<\sqrt{51}<8}$.

Відповідь: В.

Тестові завдання № 4. 3. Укажи, яке число є ірраціональним. А √25; Б −1,7; В 3,14; Г √5.

${\displaystyle \sqrt{25}=}$${\displaystyle 5}$, ${\displaystyle -1,7}$, ${\displaystyle 3,14}$ — раціональні; 5 — не квадрат раціонального числа, тому ${\displaystyle \sqrt{5}}$ — ірраціональне.

Відповідь: Г.

Тестові завдання № 4. 4. Значення виразу 2√25 − 4 дорівнює: А 5; Б 6; В 4; Г 2.

${\displaystyle 2\sqrt{25}-4=}$${\displaystyle 2\cdot 5-4=}$${\displaystyle 6}$.

Відповідь: Б.

Тестові завдання № 4. 5. Рівність (√x)² = −x виконується, якщо: А x > 0; Б x = 0; В x < 0; Г x — будь-яке.

${\displaystyle \sqrt{x}}$ існує при ${\displaystyle x\ge 0}$, і тоді ${\displaystyle {\left(\sqrt{x}\right)}^2=}$${\displaystyle x}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle -x}$;

${\displaystyle 2x=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle 0}$.

Відповідь: Б.

Тестові завдання № 4. 6. Графіком якої функції є парабола? А y = √x; Б y = x²; В y = 5/x; Г y = x/5.

${\displaystyle y=}$${\displaystyle x^2}$ — парабола; ${\displaystyle y=}$${\displaystyle \sqrt{x}}$ — лише вітка параболи; ${\displaystyle y=}$${\displaystyle \frac{5}{x}}$ — гіпербола; ${\displaystyle y=}$${\displaystyle \frac{x}{5}}$ — пряма.

Відповідь: Б.

Тестові завдання № 4. 7. Знайди корені рівняння √x = 3. А √3; Б 3; В 9; Г 9 або −9.

${\displaystyle x=}$${\displaystyle 3^2=}$${\displaystyle 9}$ (${\displaystyle \sqrt{-9}}$ не існує).

Відповідь: В.

Тестові завдання № 4. 8. Значення √(11 1/9) дорівнює: А 1 1/3; Б 3/10; В 3 1/3; Г 11 1/3.

${\displaystyle \sqrt{11\frac{1}{9}}=}$${\displaystyle \sqrt{\frac{100}{9}}=}$${\displaystyle \frac{10}{3}=}$${\displaystyle 3\frac{1}{3}}$.

Відповідь: В.

Тестові завдання № 4. 9. Спрости вираз √(27x²), якщо x < 0. А 9x√3; Б 3x√3; В −9x√3; Г −3x√3.

${\displaystyle \sqrt{27x^2}=}$${\displaystyle \sqrt{9x^2\cdot 3}=}$${\displaystyle 3\left|x\right|\sqrt{3}=}$${\displaystyle -3x\sqrt{3}}$.

(при ${\displaystyle x<0}$: ${\displaystyle \left|x\right|=}$${\displaystyle -x}$)

Відповідь: Г.

Тестові завдання № 4. 10. Графік функції y = √x проходить через точку: А (2; 4); Б (1; 2); В (4; 2); Г (4; −2).

${\displaystyle \sqrt{4}=}$${\displaystyle 2}$ — точка (4; 2); ${\displaystyle \sqrt{2}\ne 4}$, ${\displaystyle \sqrt{1}\ne 2}$, ${\displaystyle -2<0}$.

Відповідь: В.

Типові завдання № 4. 1. Знайди значення функції y = √(2x² + 1), якщо значення аргументу дорівнює −2. А √−7; Б √8; В 3; Г 3 або −3.

${\displaystyle \sqrt{2\cdot {\left(-2\right)}^2+1}=}$${\displaystyle \sqrt{2\cdot 4+1}=}$${\displaystyle \sqrt{9}=}$${\displaystyle 3}$.

Відповідь: В.

Типові завдання № 4. 2. Внеси множник під знак кореня 5√3. А √8; Б √15; В √75; Г √125.

${\displaystyle 5\sqrt{3}=}$${\displaystyle \sqrt{25\cdot 3}=}$${\displaystyle \sqrt{75}}$.

Відповідь: В.

Типові завдання № 4. 3. Який знак потрібно поставити замість * у виразі 3√5 * 2√11? А >; Б <; В =; Г не можна встановити.

${\displaystyle 3\sqrt{5}=}$${\displaystyle \sqrt{9\cdot 5}=}$${\displaystyle \sqrt{45}}$;

${\displaystyle 2\sqrt{11}=}$${\displaystyle \sqrt{4\cdot 11}=}$${\displaystyle \sqrt{44}}$;

${\displaystyle 45>44}$, тому ${\displaystyle 3\sqrt{5}>2\sqrt{11}}$.

Відповідь: А.

Типові завдання № 4. 4. Установи відповідність між виразами (1–3) та їх значеннями (А–Д). 1) √225 − 2√144; 2) √2 · (√32 + √8); 3) √55 · √11 / √5. А −9; Б 1; В 5; Г 11; Д 12.

1) ${\displaystyle \sqrt{225}-2\sqrt{144}=}$${\displaystyle 15-2\cdot 12}$=

=${\displaystyle 15-24=}$${\displaystyle -9}$ — А;

2) ${\displaystyle \sqrt{2}(\sqrt{32}+\sqrt{8})=}$${\displaystyle \sqrt{64}+\sqrt{16}}$=

=${\displaystyle 8+4=}$${\displaystyle 12}$ — Д;

3) ${\displaystyle \frac{\sqrt{55}\cdot \sqrt{11}}{\sqrt{5}}=}$${\displaystyle \sqrt{\frac{55\cdot 11}{5}}=}$${\displaystyle \sqrt{11\cdot 11}=}$${\displaystyle 11}$ — Г.

Відповідь: 1 — А, 2 — Д, 3 — Г.

Типові завдання № 4. 5. Розв’яжи графічно рівняння x² = √x.

Будуємо графіки ${\displaystyle y=}$${\displaystyle x^2}$ і ${\displaystyle y=}$${\displaystyle \sqrt{x}}$:

Функція ${\displaystyle y=}$${\displaystyle \sqrt{x}}$ — таблиця значень:

Парабола ${\displaystyle y=}$${\displaystyle x^2}$ — таблиця значень:

спільні точки ${\displaystyle (0;0)}$ і ${\displaystyle (1;1)}$;

перевірка: ${\displaystyle 0^2=}$${\displaystyle \sqrt{0}}$;

${\displaystyle 1^2=}$${\displaystyle \sqrt{1}}$;

корені: ${\displaystyle 0;1}$.

Типові завдання № 4. 6. Виконай дії: а) √10(√20 − 2√45 + √125) − 5√2; б) (√(9 − 6√2) + √(9 + 6√2))²; в) 3/(2√7 − 1) − 3/(2√7 + 1); г) √((6 − √47)²) + √((6 + √47)²).

а) ${\displaystyle \sqrt{10}(\sqrt{20}-2\sqrt{45}+\sqrt{125})-5\sqrt{2}}$=

=${\displaystyle \sqrt{200}-2\sqrt{450}+\sqrt{1250}-5\sqrt{2}}$=

=${\displaystyle 10\sqrt{2}-30\sqrt{2}+25\sqrt{2}-5\sqrt{2}=}$${\displaystyle 0}$;

б) ${\displaystyle {(\sqrt{9-6\sqrt{2}}+\sqrt{9+6\sqrt{2}})}^2}$=

=${\displaystyle 9-6\sqrt{2}+2\sqrt{(9-6\sqrt{2})(9+6\sqrt{2})}+9+6\sqrt{2}}$=

=${\displaystyle 18+2\sqrt{81-72}=}$${\displaystyle 18+2\cdot 3=}$${\displaystyle 24}$;

в) ${\displaystyle \frac{3}{2\sqrt{7}-1}-\frac{3}{2\sqrt{7}+1}=}$${\displaystyle \frac{3(2\sqrt{7}+1)-3(2\sqrt{7}-1)}{{\left(2\sqrt{7}\right)}^2-1}}$=

=${\displaystyle \frac{6}{27}=}$${\displaystyle \frac{2}{9}}$;

г) ${\displaystyle 6-\sqrt{47}<0}$, бо ${\displaystyle 6=}$${\displaystyle \sqrt{36}<\sqrt{47}}$;

${\displaystyle \sqrt{{(6-\sqrt{47})}^2}+\sqrt{{(6+\sqrt{47})}^2}}$=

=${\displaystyle |6-\sqrt{47}|+|6+\sqrt{47}|}$=

=${\displaystyle \sqrt{47}-6+6+\sqrt{47}=}$${\displaystyle 2\sqrt{47}}$.

Типові завдання № 4. 7. Звільнися від ірраціональності в знаменнику дробу: а) 15/√5; б) 8/(√6 + √2).

а) ${\displaystyle \frac{15}{\sqrt{5}}=}$${\displaystyle \frac{15\cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=}$${\displaystyle \frac{15\sqrt{5}}{5}=}$${\displaystyle 3\sqrt{5}}$;

б) ${\displaystyle \frac{8}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=}$${\displaystyle \frac{8\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}{6-2}=}$${\displaystyle 2\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}$.

Типові завдання № 4. 8. Спрости вираз: а) ab√(a³b) − 5a²√(ab³), якщо a > 0; б) ab²√(9a⁶b³) − 5a²b√(a⁴b⁵), якщо a < 0.

а) вирази під коренями існують, якщо ${\displaystyle ab\ge 0}$; оскільки ${\displaystyle a>0}$, то ${\displaystyle b\ge 0}$;

${\displaystyle \sqrt{a^{3}b}=}$${\displaystyle \sqrt{a^2\cdot ab}=}$${\displaystyle a\sqrt{ab}}$;

${\displaystyle \sqrt{a{b}^3}=}$${\displaystyle \sqrt{b^2\cdot ab}=}$${\displaystyle b\sqrt{ab}}$;

${\displaystyle ab\cdot a\sqrt{ab}-5a^2\cdot b\sqrt{ab}}$=

=${\displaystyle a^{2}b\sqrt{ab}-5a^{2}b\sqrt{ab}=}$${\displaystyle -4a^{2}b\sqrt{ab}}$;

б) вирази під коренями існують, якщо ${\displaystyle b\ge 0}$;

${\displaystyle \sqrt{9a^6{b}^3}=}$${\displaystyle 3\left|a^3\right|b\sqrt{b}}$; при ${\displaystyle a<0}$: ${\displaystyle \left|a^3\right|=}$${\displaystyle -a^3}$, тому ${\displaystyle \sqrt{9a^6{b}^3}=}$${\displaystyle -3a^{3}b\sqrt{b}}$;

${\displaystyle \sqrt{a^4{b}^5}=}$${\displaystyle a^2{b}^2\sqrt{b}}$;

${\displaystyle a{b}^2\cdot (-3a^{3}b\sqrt{b})-5a^{2}b\cdot a^2{b}^2\sqrt{b}}$=

=${\displaystyle -3a^4{b}^3\sqrt{b}-5a^4{b}^3\sqrt{b}=}$${\displaystyle -8a^4{b}^3\sqrt{b}}$.

Типові завдання № 4. 9. Додаткове завдання. Розв’яжи рівняння √(5 + √(4 + √x)) = 3.

Підносимо до квадрата, «знімаючи» корені по одному:

${\displaystyle \sqrt{5+\sqrt{4+\sqrt{x}}}=}$${\displaystyle 3}$;

${\displaystyle 5+\sqrt{4+\sqrt{x}}=}$${\displaystyle 9}$;

${\displaystyle \sqrt{4+\sqrt{x}}=}$${\displaystyle 4}$;

${\displaystyle 4+\sqrt{x}=}$${\displaystyle 16}$;

${\displaystyle \sqrt{x}=}$${\displaystyle 12}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle 12^2}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle 144}$.

Перевірка: ${\displaystyle \sqrt{5+\sqrt{4+12}}=}$${\displaystyle \sqrt{5+4}=}$${\displaystyle 3}$.