Тематичне оцінювання № 5: відповідіАлгебра 8 клас Бевз 2025 · стор. 189

Самостійна робота. Варіант I. 1. Розв’яжи рівняння. а) 3x² − 27 = 0; б) 4z² + z = 0.

а) ${\displaystyle 3x^2-27=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle 3x^2=}$${\displaystyle 27}$;

${\displaystyle x^2=}$${\displaystyle 9}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle \pm 3}$;

б) ${\displaystyle 4z^2+1z=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle z(4z+1)=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle z=}$${\displaystyle 0}$ або ${\displaystyle 4z+1=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle z_1=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle z_2=}$${\displaystyle -0,25}$.

Самостійна робота. Варіант I. 2. Знайди корені рівняння. а) y² − 9y + 14 = 0; б) (15 − 2x²)/(x + 3) = (x² + 4x)/(x + 3).

а) ${\displaystyle y^2-9y+14=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle a=}$${\displaystyle 1,b=}$${\displaystyle -9,c=}$${\displaystyle 14}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle b^2-4ac=}$${\displaystyle {(-9)}^2-4\cdot 1\cdot 14=}$${\displaystyle 81-56=}$${\displaystyle 25}$;

${\displaystyle D>0}$, два корені:

${\displaystyle y_{1,2}=}$${\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=}$${\displaystyle \frac{9\pm \sqrt{25}}{2}=}$${\displaystyle \frac{9\pm 5}{2}}$;

${\displaystyle y_1=}$${\displaystyle \frac{9+5}{2}=}$${\displaystyle 7}$;

${\displaystyle y_2=}$${\displaystyle \frac{9-5}{2}=}$${\displaystyle 2}$;

б) ${\displaystyle \frac{15-2x^2}{x+3}=}$${\displaystyle \frac{x^2+4x}{x+3}\mid \cdot \left(x+3\right)}$;

ОДЗ: ${\displaystyle x\ne -3}$;

${\displaystyle 15-2x^2=}$${\displaystyle x^2+4x}$;

${\displaystyle 0=}$${\displaystyle x^2+4x+2x^2-15}$;

${\displaystyle 3x^2+4x-15=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle a=}$${\displaystyle 3,b=}$${\displaystyle 4,c=}$${\displaystyle -15}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle b^2-4ac=}$${\displaystyle 4^2-4\cdot 3\cdot (-15)=}$${\displaystyle 16+180=}$${\displaystyle 196}$;

${\displaystyle D>0}$, два корені:

${\displaystyle x_{1,2}=}$${\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=}$${\displaystyle \frac{-4\pm \sqrt{196}}{6}=}$${\displaystyle \frac{-4\pm 14}{6}}$;

${\displaystyle x_1=}$${\displaystyle \frac{-4+14}{6}=}$${\displaystyle \frac{5}{3}}$;

${\displaystyle x_2=}$${\displaystyle \frac{-4-14}{6}=}$${\displaystyle -3}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle -3}$ — не входить в ОДЗ (сторонній корінь);

Отже, ${\displaystyle x=}$${\displaystyle \frac{5}{3}}$.

Самостійна робота. Варіант I. 3. Розв’яжи біквадратне рівняння x⁴ − 6x² + 8 = 0.

${\displaystyle x^4-6x^2+8=}$${\displaystyle 0}$;

заміна ${\displaystyle x^2=}$${\displaystyle t}$, ${\displaystyle t\ge 0}$:

${\displaystyle t^2-6t+8=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle a=}$${\displaystyle 1,b=}$${\displaystyle -6,c=}$${\displaystyle 8}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle b^2-4ac=}$${\displaystyle {(-6)}^2-4\cdot 1\cdot 8=}$${\displaystyle 36-32=}$${\displaystyle 4}$;

${\displaystyle D>0}$, два корені:

${\displaystyle t_{1,2}=}$${\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=}$${\displaystyle \frac{6\pm \sqrt{4}}{2}=}$${\displaystyle \frac{6\pm 2}{2}}$;

${\displaystyle t_1=}$${\displaystyle \frac{6+2}{2}=}$${\displaystyle 4}$;

${\displaystyle t_2=}$${\displaystyle \frac{6-2}{2}=}$${\displaystyle 2}$;

${\displaystyle x^2=}$${\displaystyle 4}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle \pm 2}$;

${\displaystyle x^2=}$${\displaystyle 2}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle \pm \sqrt{2}}$.

Самостійна робота. Варіант I. 4. Розв’яжи рівняння, використовуючи метод заміни змінної. (x² + x − 4)(x² + x − 18) = 32.

${\displaystyle (x^2+x-4)(x^2+x-18)=}$${\displaystyle 32}$;

заміна ${\displaystyle x^2+x=}$${\displaystyle t}$:

${\displaystyle (t-4)(t-18)=}$${\displaystyle 32}$;

${\displaystyle t^2-22t+72-32=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle t^2-22t+40=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle a=}$${\displaystyle 1,b=}$${\displaystyle -22,c=}$${\displaystyle 40}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle b^2-4ac=}$${\displaystyle {(-22)}^2-4\cdot 1\cdot 40=}$${\displaystyle 484-160=}$${\displaystyle 324}$;

${\displaystyle D>0}$, два корені:

${\displaystyle t_{1,2}=}$${\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=}$${\displaystyle \frac{22\pm \sqrt{324}}{2}=}$${\displaystyle \frac{22\pm 18}{2}}$;

${\displaystyle t_1=}$${\displaystyle \frac{22+18}{2}=}$${\displaystyle 20}$;

${\displaystyle t_2=}$${\displaystyle \frac{22-18}{2}=}$${\displaystyle 2}$;

${\displaystyle x^2+x=}$${\displaystyle 20}$:

${\displaystyle x^2+x-20=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle a=}$${\displaystyle 1,b=}$${\displaystyle 1,c=}$${\displaystyle -20}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle b^2-4ac=}$${\displaystyle 1^2-4\cdot 1\cdot (-20)=}$${\displaystyle 1+80=}$${\displaystyle 81}$;

${\displaystyle D>0}$, два корені:

${\displaystyle x_{1,2}=}$${\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=}$${\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{81}}{2}=}$${\displaystyle \frac{-1\pm 9}{2}}$;

${\displaystyle x_1=}$${\displaystyle \frac{-1+9}{2}=}$${\displaystyle 4}$;

${\displaystyle x_2=}$${\displaystyle \frac{-1-9}{2}=}$${\displaystyle -5}$;

${\displaystyle x^2+x=}$${\displaystyle 2}$:

${\displaystyle x^2+x-2=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle a=}$${\displaystyle 1,b=}$${\displaystyle 1,c=}$${\displaystyle -2}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle b^2-4ac=}$${\displaystyle 1^2-4\cdot 1\cdot (-2)=}$${\displaystyle 1+8=}$${\displaystyle 9}$;

${\displaystyle D>0}$, два корені:

${\displaystyle x_{1,2}=}$${\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=}$${\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{9}}{2}=}$${\displaystyle \frac{-1\pm 3}{2}}$;

${\displaystyle x_1=}$${\displaystyle \frac{-1+3}{2}=}$${\displaystyle 1}$;

${\displaystyle x_2=}$${\displaystyle \frac{-1-3}{2}=}$${\displaystyle -2}$;

Відповідь: ${\displaystyle -5;-2;1;4}$.

Самостійна робота. Варіант II. 1. Розв’яжи рівняння. а) 2x² − 50 = 0; б) 9z² − z = 0.

а) ${\displaystyle 2x^2-50=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle 2x^2=}$${\displaystyle 50}$;

${\displaystyle x^2=}$${\displaystyle 25}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle \pm 5}$;

б) ${\displaystyle 9z^2-1z=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle z(9z-1)=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle z=}$${\displaystyle 0}$ або ${\displaystyle 9z-1=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle z_1=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle z_2=}$${\displaystyle \frac{1}{9}}$.

Самостійна робота. Варіант II. 2. Знайди корені рівняння. а) y² + 2y − 15 = 0; б) (3x + x²)/(x − 1) = (3x² + 1)/(x − 1).

а) ${\displaystyle y^2+2y-15=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle a=}$${\displaystyle 1,b=}$${\displaystyle 2,c=}$${\displaystyle -15}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle b^2-4ac=}$${\displaystyle 2^2-4\cdot 1\cdot (-15)=}$${\displaystyle 4+60=}$${\displaystyle 64}$;

${\displaystyle D>0}$, два корені:

${\displaystyle y_{1,2}=}$${\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=}$${\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{64}}{2}=}$${\displaystyle \frac{-2\pm 8}{2}}$;

${\displaystyle y_1=}$${\displaystyle \frac{-2+8}{2}=}$${\displaystyle 3}$;

${\displaystyle y_2=}$${\displaystyle \frac{-2-8}{2}=}$${\displaystyle -5}$;

б) ${\displaystyle \frac{3x+x^2}{x-1}=}$${\displaystyle \frac{3x^2+1}{x-1}\mid \cdot \left(x-1\right)}$;

ОДЗ: ${\displaystyle x\ne 1}$;

${\displaystyle 3x+x^2=}$${\displaystyle 3x^2+1}$;

${\displaystyle 0=}$${\displaystyle 3x^2-x^2-3x+1}$;

${\displaystyle 2x^2-3x+1=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle a=}$${\displaystyle 2,b=}$${\displaystyle -3,c=}$${\displaystyle 1}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle b^2-4ac=}$${\displaystyle {(-3)}^2-4\cdot 2\cdot 1=}$${\displaystyle 9-8=}$${\displaystyle 1}$;

${\displaystyle D>0}$, два корені:

${\displaystyle x_{1,2}=}$${\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=}$${\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{1}}{4}=}$${\displaystyle \frac{3\pm 1}{4}}$;

${\displaystyle x_1=}$${\displaystyle \frac{3+1}{4}=}$${\displaystyle 1}$;

${\displaystyle x_2=}$${\displaystyle \frac{3-1}{4}=}$${\displaystyle 0,5}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle 1}$ — не входить в ОДЗ (сторонній корінь);

Отже, ${\displaystyle x=}$${\displaystyle 0,5}$.

Самостійна робота. Варіант II. 3. Розв’яжи біквадратне рівняння x⁴ − 8x² + 7 = 0.

${\displaystyle x^4-8x^2+7=}$${\displaystyle 0}$;

заміна ${\displaystyle x^2=}$${\displaystyle t}$, ${\displaystyle t\ge 0}$:

${\displaystyle t^2-8t+7=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle a=}$${\displaystyle 1,b=}$${\displaystyle -8,c=}$${\displaystyle 7}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle b^2-4ac=}$${\displaystyle {(-8)}^2-4\cdot 1\cdot 7=}$${\displaystyle 64-28=}$${\displaystyle 36}$;

${\displaystyle D>0}$, два корені:

${\displaystyle t_{1,2}=}$${\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=}$${\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{36}}{2}=}$${\displaystyle \frac{8\pm 6}{2}}$;

${\displaystyle t_1=}$${\displaystyle \frac{8+6}{2}=}$${\displaystyle 7}$;

${\displaystyle t_2=}$${\displaystyle \frac{8-6}{2}=}$${\displaystyle 1}$;

${\displaystyle x^2=}$${\displaystyle 7}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle \pm \sqrt{7}}$;

${\displaystyle x^2=}$${\displaystyle 1}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle \pm 1}$.

Самостійна робота. Варіант II. 4. Розв’яжи рівняння, використовуючи метод заміни змінної. (x² − 2x − 8)(x² − 2x − 6) = 63.

${\displaystyle (x^2-2x-8)(x^2-2x-6)=}$${\displaystyle 63}$;

заміна ${\displaystyle x^2-2x=}$${\displaystyle t}$:

${\displaystyle (t-8)(t-6)=}$${\displaystyle 63}$;

${\displaystyle t^2-14t+48-63=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle t^2-14t-15=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle a=}$${\displaystyle 1,b=}$${\displaystyle -14,c=}$${\displaystyle -15}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle b^2-4ac=}$${\displaystyle {(-14)}^2-4\cdot 1\cdot (-15)=}$${\displaystyle 196+60=}$${\displaystyle 256}$;

${\displaystyle D>0}$, два корені:

${\displaystyle t_{1,2}=}$${\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=}$${\displaystyle \frac{14\pm \sqrt{256}}{2}=}$${\displaystyle \frac{14\pm 16}{2}}$;

${\displaystyle t_1=}$${\displaystyle \frac{14+16}{2}=}$${\displaystyle 15}$;

${\displaystyle t_2=}$${\displaystyle \frac{14-16}{2}=}$${\displaystyle -1}$;

${\displaystyle x^2-2x=}$${\displaystyle 15}$:

${\displaystyle x^2-2x-15=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle a=}$${\displaystyle 1,b=}$${\displaystyle -2,c=}$${\displaystyle -15}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle b^2-4ac=}$${\displaystyle {(-2)}^2-4\cdot 1\cdot (-15)=}$${\displaystyle 4+60=}$${\displaystyle 64}$;

${\displaystyle D>0}$, два корені:

${\displaystyle x_{1,2}=}$${\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=}$${\displaystyle \frac{2\pm \sqrt{64}}{2}=}$${\displaystyle \frac{2\pm 8}{2}}$;

${\displaystyle x_1=}$${\displaystyle \frac{2+8}{2}=}$${\displaystyle 5}$;

${\displaystyle x_2=}$${\displaystyle \frac{2-8}{2}=}$${\displaystyle -3}$;

${\displaystyle x^2-2x=}$${\displaystyle -1}$:

${\displaystyle x^2-2x+1=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle a=}$${\displaystyle 1,b=}$${\displaystyle -2,c=}$${\displaystyle 1}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle b^2-4ac=}$${\displaystyle {(-2)}^2-4\cdot 1\cdot 1=}$${\displaystyle 4-4=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle 0}$, один корінь:

${\displaystyle x=}$${\displaystyle -\frac{b}{2a}=}$${\displaystyle \frac{2}{2}=}$${\displaystyle 1}$;

Відповідь: ${\displaystyle -3;1;5}$.

Самостійна робота. Варіант III. 1. Розв’яжи рівняння. а) 5z² − 20 = 0; б) 9x² + 4x = 0.

а) ${\displaystyle 5z^2-20=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle 5z^2=}$${\displaystyle 20}$;

${\displaystyle z^2=}$${\displaystyle 4}$;

${\displaystyle z=}$${\displaystyle \pm 2}$;

б) ${\displaystyle 9x^2+4x=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle x(9x+4)=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle 0}$ або ${\displaystyle 9x+4=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle x_1=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle x_2=}$${\displaystyle -\frac{4}{9}}$.

Самостійна робота. Варіант III. 2. Знайди корені рівняння. а) y² + y − 12 = 0; б) (9x − x²)/(x − 2) = (3x² + 2)/(x − 2).

а) ${\displaystyle y^2+y-12=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle a=}$${\displaystyle 1,b=}$${\displaystyle 1,c=}$${\displaystyle -12}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle b^2-4ac=}$${\displaystyle 1^2-4\cdot 1\cdot (-12)=}$${\displaystyle 1+48=}$${\displaystyle 49}$;

${\displaystyle D>0}$, два корені:

${\displaystyle y_{1,2}=}$${\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=}$${\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}=}$${\displaystyle \frac{-1\pm 7}{2}}$;

${\displaystyle y_1=}$${\displaystyle \frac{-1+7}{2}=}$${\displaystyle 3}$;

${\displaystyle y_2=}$${\displaystyle \frac{-1-7}{2}=}$${\displaystyle -4}$;

б) ${\displaystyle \frac{9x-x^2}{x-2}=}$${\displaystyle \frac{3x^2+2}{x-2}\mid \cdot \left(x-2\right)}$;

ОДЗ: ${\displaystyle x\ne 2}$;

${\displaystyle 9x-x^2=}$${\displaystyle 3x^2+2}$;

${\displaystyle 0=}$${\displaystyle 3x^2+x^2-9x+2}$;

${\displaystyle 4x^2-9x+2=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle a=}$${\displaystyle 4,b=}$${\displaystyle -9,c=}$${\displaystyle 2}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle b^2-4ac=}$${\displaystyle {(-9)}^2-4\cdot 4\cdot 2=}$${\displaystyle 81-32=}$${\displaystyle 49}$;

${\displaystyle D>0}$, два корені:

${\displaystyle x_{1,2}=}$${\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=}$${\displaystyle \frac{9\pm \sqrt{49}}{8}=}$${\displaystyle \frac{9\pm 7}{8}}$;

${\displaystyle x_1=}$${\displaystyle \frac{9+7}{8}=}$${\displaystyle 2}$;

${\displaystyle x_2=}$${\displaystyle \frac{9-7}{8}=}$${\displaystyle 0,25}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle 2}$ — не входить в ОДЗ (сторонній корінь);

Отже, ${\displaystyle x=}$${\displaystyle 0,25}$.

Самостійна робота. Варіант III. 3. Розв’яжи біквадратне рівняння x⁴ − 11x² + 18 = 0.

${\displaystyle x^4-11x^2+18=}$${\displaystyle 0}$;

заміна ${\displaystyle x^2=}$${\displaystyle t}$, ${\displaystyle t\ge 0}$:

${\displaystyle t^2-11t+18=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle a=}$${\displaystyle 1,b=}$${\displaystyle -11,c=}$${\displaystyle 18}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle b^2-4ac=}$${\displaystyle {(-11)}^2-4\cdot 1\cdot 18=}$${\displaystyle 121-72=}$${\displaystyle 49}$;

${\displaystyle D>0}$, два корені:

${\displaystyle t_{1,2}=}$${\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=}$${\displaystyle \frac{11\pm \sqrt{49}}{2}=}$${\displaystyle \frac{11\pm 7}{2}}$;

${\displaystyle t_1=}$${\displaystyle \frac{11+7}{2}=}$${\displaystyle 9}$;

${\displaystyle t_2=}$${\displaystyle \frac{11-7}{2}=}$${\displaystyle 2}$;

${\displaystyle x^2=}$${\displaystyle 9}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle \pm 3}$;

${\displaystyle x^2=}$${\displaystyle 2}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle \pm \sqrt{2}}$.

Самостійна робота. Варіант III. 4. Розв’яжи рівняння, використовуючи метод заміни змінної. (x² − x − 5)(x² − x − 17) = 45.

${\displaystyle (x^2-x-5)(x^2-x-17)=}$${\displaystyle 45}$;

заміна ${\displaystyle x^2-x=}$${\displaystyle t}$:

${\displaystyle (t-5)(t-17)=}$${\displaystyle 45}$;

${\displaystyle t^2-22t+85-45=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle t^2-22t+40=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle a=}$${\displaystyle 1,b=}$${\displaystyle -22,c=}$${\displaystyle 40}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle b^2-4ac=}$${\displaystyle {(-22)}^2-4\cdot 1\cdot 40=}$${\displaystyle 484-160=}$${\displaystyle 324}$;