Перевірте, як засвоїли матеріал розділу 3Алгебра 8 клас Тарасенкова 2025 · стор. 208

КЗ №1. Поясніть, що таке множина; підмножина. Наведіть приклади.

Множина — сукупність об’єктів, об’єднаних за певною ознакою; ці об’єкти називають елементами множини.

Приклад: ${\displaystyle A}$ = {1; 2; 3; 4; 5} — множина натуральних чисел, менших від 6.

Підмножина: множину ${\displaystyle B}$ називають підмножиною множини ${\displaystyle A}$ (${\displaystyle B\subset A}$), якщо кожен елемент ${\displaystyle B}$ є елементом ${\displaystyle A}$.

Приклад: ${\displaystyle B}$ = {2; 4} — парні числа множини ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B\subset A}$.

Ще приклад: множина дівчат класу — підмножина множини учнів класу.

КЗ №2. Які числа називають ірраціональними; дійсними?

Ірраціональні числа — числа, які записуються нескінченними неперіодичними десятковими дробами.

Приклади: ${\displaystyle \sqrt{2}=}$${\displaystyle 1,4142\dots }$; ${\displaystyle \pi =}$${\displaystyle 3,14159\dots }$; ${\displaystyle \sqrt{5}}$.

Дійсні числа — усі раціональні та ірраціональні числа разом.

Приклади: ${\displaystyle 5}$; ${\displaystyle -\frac{2}{3}}$; ${\displaystyle 0,\left(3\right)}$; ${\displaystyle \sqrt{7}}$; ${\displaystyle \pi }$.

КЗ №3. Як позначають множину натуральних чисел; цілих чисел; раціональних чисел; ірраціональних чисел; дійсних чисел?

натуральні числа — ${\displaystyle N}$;

цілі числа — ${\displaystyle Z}$;

раціональні числа — ${\displaystyle Q}$;

ірраціональні числа — ${\displaystyle I}$;

дійсні числа — ${\displaystyle R}$.

КЗ №4. Як пов’язані між собою раціональні, ірраціональні та дійсні числа?

Раціональні та ірраціональні числа разом утворюють множину дійсних чисел:

${\displaystyle Q\subset R}$, ${\displaystyle I\subset R}$;

кожне дійсне число є або раціональним, або ірраціональним;

спільних елементів множини ${\displaystyle Q}$ і ${\displaystyle I}$ не мають;

${\displaystyle N\subset Z\subset Q\subset R}$.

КЗ №5. Сформулюйте означення квадратного кореня з числа a.

Квадратним коренем з числа ${\displaystyle a}$ називається число, квадрат якого дорівнює ${\displaystyle a}$.

Приклад: ${\displaystyle 5}$ і ${\displaystyle -5}$ — квадратні корені з числа ${\displaystyle 25}$, бо ${\displaystyle 5^2=}$${\displaystyle 25}$ і ${\displaystyle {(-5)}^2=}$${\displaystyle 25}$.

КЗ №6. Що називають арифметичним квадратним коренем із числа a?

Арифметичним квадратним коренем із числа ${\displaystyle a}$ називається невід’ємне число, квадрат якого дорівнює ${\displaystyle a}$.

Позначають ${\displaystyle \sqrt{a}}$; ${\displaystyle \sqrt{a}\ge 0}$, ${\displaystyle {\left(\sqrt{a}\right)}^2=}$${\displaystyle a}$, де ${\displaystyle a\ge 0}$.

Приклад: ${\displaystyle \sqrt{49}=}$${\displaystyle 7}$, бо ${\displaystyle 7\ge 0}$ і ${\displaystyle 7^2=}$${\displaystyle 49}$.

КЗ №7. Як називають дію знаходження арифметичного квадратного кореня з числа?

Дію знаходження арифметичного квадратного кореня з числа називають добуванням квадратного кореня.

Приклад: ${\displaystyle \sqrt{144}=}$${\displaystyle 12}$.

КЗ №8. Які властивості арифметичного квадратного кореня?

1) ${\displaystyle {\left(\sqrt{a}\right)}^2=}$${\displaystyle a}$, якщо ${\displaystyle a\ge 0}$;

2) ${\displaystyle \sqrt{a^2}=}$${\displaystyle \left|a\right|}$ для будь-якого ${\displaystyle a}$;

3) ${\displaystyle \sqrt{ab}=}$${\displaystyle \sqrt{a}\cdot \sqrt{b}}$, якщо ${\displaystyle a\ge 0}$, ${\displaystyle b\ge 0}$;

4) ${\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}=}$${\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}$, якщо ${\displaystyle a\ge 0}$, ${\displaystyle b>0}$.

Приклади: ${\displaystyle \sqrt{{(-3)}^2}=}$${\displaystyle |-3|=}$${\displaystyle 3}$; ${\displaystyle \sqrt{4\cdot 9}=}$${\displaystyle \sqrt{4}\cdot \sqrt{9}=}$${\displaystyle 2\cdot 3=}$${\displaystyle 6}$; ${\displaystyle \sqrt{\frac{16}{25}}=}$${\displaystyle \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}=}$${\displaystyle \frac{4}{5}}$.

КЗ №9. Яка область визначення функції y = √x? А область значень?

Область визначення: ${\displaystyle D\left(y\right):x\ge 0}$ — усі невід’ємні числа;

область значень: ${\displaystyle E\left(y\right):y\ge 0}$ — усі невід’ємні числа.

КЗ №10. Що є графіком функції y = √x?

Графіком функції ${\displaystyle y=}$${\displaystyle \sqrt{x}}$ є вітка параболи, яка виходить із точки ${\displaystyle (0;0)}$ і лежить у першій координатній чверті.

Т №1. Яким є число √(16/23)?

А. Дійсним числом. Б. Раціональним числом.

В. Цілим числом. Г. Натуральним числом.

${\displaystyle \sqrt{\frac{16}{23}}=}$${\displaystyle \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{23}}=}$${\displaystyle \frac{4}{\sqrt{23}}}$;

${\displaystyle \sqrt{23}}$ — ірраціональне число (${\displaystyle 16<23<25}$), тому ${\displaystyle \frac{4}{\sqrt{23}}}$ — ірраціональне, отже, дійсне число.

Відповідь: А. дійсним числом

Т №2. Розв’яжіть рівняння x² = 25.

А. ${\displaystyle 5}$. Б. ${\displaystyle 25}$. В. ${\displaystyle 25}$, ${\displaystyle -25}$. Г. ${\displaystyle 5}$; ${\displaystyle -5}$.

${\displaystyle x^2=}$${\displaystyle 25}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle \sqrt{25}}$ або ${\displaystyle x=}$${\displaystyle -\sqrt{25}}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle 5}$ або ${\displaystyle x=}$${\displaystyle -5}$.

Відповідь: Г. ${\displaystyle 5}$; ${\displaystyle -5}$

Т №3. Яка з точок належить графіку функції y = √x?

А. ${\displaystyle A(4;2)}$. Б. ${\displaystyle B(2;4)}$.

В. ${\displaystyle C(1;0)}$. Г. ${\displaystyle D(-4;2)}$.

А. ${\displaystyle A(4;2)}$: ${\displaystyle 2=}$${\displaystyle \sqrt{4}}$ — так;

Б. ${\displaystyle B(2;4)}$: ${\displaystyle 4\ne \sqrt{2}}$ — ні;

В. ${\displaystyle C(1;0)}$: ${\displaystyle 0\ne \sqrt{1}=}$${\displaystyle 1}$ — ні;

Г. ${\displaystyle D(-4;2)}$: ${\displaystyle \sqrt{-4}}$ не має змісту — ні.

Відповідь: А. ${\displaystyle A\left(4;2\right)}$

Т №4. Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу 1/(2 − √3).

А. ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. Б. ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$. В. ${\displaystyle 2+\sqrt{3}}$. Г. ${\displaystyle \sqrt{3}}$.

${\displaystyle \frac{1^{\mathrm{\setminus }2+\sqrt{3}}}{2-\sqrt{3}}=}$${\displaystyle \frac{1\cdot \left(2+\sqrt{3}\right)}{(2-\sqrt{3})\cdot \left(2+\sqrt{3}\right)}=}$${\displaystyle \frac{2+\sqrt{3}}{2^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=}$${\displaystyle \frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=}$${\displaystyle 2+\sqrt{3}}$.

Відповідь: В. ${\displaystyle 2+\sqrt{3}}$

Т №5. Спростіть вираз (3√a + √27)/(a − 3).

А. ${\displaystyle \frac{3}{\sqrt{a}-\sqrt{3}}}$. Б. ${\displaystyle 3}$.

В. ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a}-3}}$. Г. ${\displaystyle 3(\sqrt{a}+\sqrt{3})}$.

${\displaystyle \sqrt{27}=}$${\displaystyle \sqrt{9\cdot 3}=}$${\displaystyle 3\sqrt{3}}$;

${\displaystyle a-3=}$${\displaystyle {\left(\sqrt{a}\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2=}$${\displaystyle (\sqrt{a}-\sqrt{3})(\sqrt{a}+\sqrt{3})}$;

${\displaystyle \frac{3\sqrt{a}+\sqrt{27}}{a-3}=}$${\displaystyle \frac{3\sqrt{a}+3\sqrt{3}}{(\sqrt{a}-\sqrt{3})(\sqrt{a}+\sqrt{3})}=}$${\displaystyle \frac{3\cancel{\left(\sqrt{a}+\sqrt{3}\right)}}{(\sqrt{a}-\sqrt{3})\cancel{\left(\sqrt{a}+\sqrt{3}\right)}}=}$${\displaystyle \frac{3}{\sqrt{a}-\sqrt{3}}}$.

Відповідь: А. ${\displaystyle \frac{3}{\sqrt{a}-\sqrt{3}}}$