Перевірте, як засвоїли матеріал розділу 4Алгебра 8 клас Тарасенкова 2025 · стор. 274

КЗ №1. Що таке квадратне рівняння? Наведіть приклади.

Квадратним рівнянням називається рівняння виду ${\displaystyle a{x}^2+bx+c=}$${\displaystyle 0}$, де ${\displaystyle x}$ — змінна, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ — числа, причому ${\displaystyle a\ne 0}$.

${\displaystyle a}$ — перший коефіцієнт, ${\displaystyle b}$ — другий коефіцієнт, ${\displaystyle c}$ — вільний член.

Приклади: ${\displaystyle 2x^2-5x+3=}$${\displaystyle 0}$; ${\displaystyle x^2-9=}$${\displaystyle 0}$; ${\displaystyle -x^2+4x=}$${\displaystyle 0}$.

КЗ №2. Що називають дискримінантом квадратного рівняння?

Дискримінантом квадратного рівняння ${\displaystyle a{x}^2+bx+c=}$${\displaystyle 0}$ називається вираз ${\displaystyle D=}$${\displaystyle b^2-4ac}$.

Приклад: для ${\displaystyle 2x^2-5x+3=}$${\displaystyle 0}$: ${\displaystyle D=}$${\displaystyle {(-5)}^2-4\cdot 2\cdot 3=}$${\displaystyle 25-24=}$${\displaystyle 1}$.

КЗ №3. Скільки коренів може мати квадратне рівняння?

якщо ${\displaystyle D>0}$ — два різні корені;

якщо ${\displaystyle D=}$${\displaystyle 0}$ — один корінь (два рівні корені);

якщо ${\displaystyle D<0}$ — коренів немає.

КЗ №4. Запишіть формулу коренів квадратного рівняння.

${\displaystyle x_{1,2}=}$${\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}}$, де ${\displaystyle D=}$${\displaystyle b^2-4ac\ge 0}$.

Якщо ${\displaystyle D=}$${\displaystyle 0}$, то ${\displaystyle x=}$${\displaystyle -\frac{b}{2a}}$.

КЗ №5. Сформулюйте теорему Вієта для зведеного квадратного рівняння.

Якщо ${\displaystyle x_1}$ і ${\displaystyle x_2}$ — корені зведеного квадратного рівняння ${\displaystyle x^2+px+q=}$${\displaystyle 0}$, то сума коренів дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену:

${\displaystyle x_1+x_2=}$${\displaystyle -p}$; ${\displaystyle x_1\cdot x_2=}$${\displaystyle q}$.

Приклад: ${\displaystyle x^2-5x+6=}$${\displaystyle 0}$: ${\displaystyle x_1+x_2=}$${\displaystyle 5}$, ${\displaystyle x_1\cdot x_2=}$${\displaystyle 6}$, звідси ${\displaystyle x_1=}$${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle x_2=}$${\displaystyle 3}$.

КЗ №6. Який многочлен називають квадратним тричленом?

Квадратним тричленом називається многочлен виду ${\displaystyle a{x}^2+bx+c}$, де ${\displaystyle x}$ — змінна, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ — числа, причому ${\displaystyle a\ne 0}$.

Приклади: ${\displaystyle x^2-3x+2}$; ${\displaystyle 5x^2+x-4}$.

КЗ №7. Що таке корені квадратного тричлена?

Коренями квадратного тричлена ${\displaystyle a{x}^2+bx+c}$ називаються значення змінної, при яких тричлен дорівнює нулю, тобто корені рівняння ${\displaystyle a{x}^2+bx+c=}$${\displaystyle 0}$.

Приклад: корені тричлена ${\displaystyle x^2-3x+2}$ — числа ${\displaystyle 1}$ і ${\displaystyle 2}$.

КЗ №8. Запишіть формулу розкладання квадратного тричлена на лінійні множники.

Якщо ${\displaystyle x_1}$ і ${\displaystyle x_2}$ — корені квадратного тричлена ${\displaystyle a{x}^2+bx+c}$, то

${\displaystyle a{x}^2+bx+c=}$${\displaystyle a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)}$.

Приклад: ${\displaystyle 2x^2-5x+3=}$${\displaystyle 2(x-1)(x-\frac{3}{2})=}$${\displaystyle (x-1)(2x-3)}$.

КЗ №9. Поясніть, як розв’язують цілі раціональні рівняння, що зводяться до квадратних.

1) розкривають дужки та переносять усі члени в ліву частину;

2) зводять подібні доданки й отримують квадратне рівняння ${\displaystyle a{x}^2+bx+c=}$${\displaystyle 0}$;

3) розв’язують квадратне рівняння;

4) записують відповідь.

Приклад: ${\displaystyle (x+1)(x-3)=}$${\displaystyle 5}$; ${\displaystyle x^2-2x-3-5=}$${\displaystyle 0}$; ${\displaystyle x^2-2x-8=}$${\displaystyle 0}$; ${\displaystyle x_1=}$${\displaystyle 4}$, ${\displaystyle x_2=}$${\displaystyle -2}$.

КЗ №10. Поясніть, як розв’язують дробові раціональні рівняння, що зводяться до квадратних.

1) знаходять ОДЗ (знаменники не дорівнюють нулю);

2) переносять усі члени в ліву частину та зводять до спільного знаменника: ${\displaystyle \frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=}$${\displaystyle 0}$;

3) прирівнюють чисельник до нуля: ${\displaystyle P\left(x\right)=}$${\displaystyle 0}$ — і розв’язують отримане рівняння;

4) перевіряють, чи належать знайдені корені ОДЗ, і виключають сторонні корені;

5) записують відповідь.

КЗ №11. Поясніть, як розв’язують рівняння способом заміни змінної.

1) вираз, який повторюється в рівнянні, позначають новою змінною (наприклад, ${\displaystyle t}$);

2) розв’язують отримане рівняння відносно нової змінної;

3) повертаються до заміни та знаходять значення початкової змінної;

4) записують відповідь.

Приклад: ${\displaystyle {(x^2+x)}^2-8(x^2+x)+12=}$${\displaystyle 0}$; нехай ${\displaystyle x^2+x=}$${\displaystyle t}$, тоді ${\displaystyle t^2-8t+12=}$${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle t_1=}$${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle t_2=}$${\displaystyle 6}$; далі розв’язують рівняння ${\displaystyle x^2+x=}$${\displaystyle 2}$ і ${\displaystyle x^2+x=}$${\displaystyle 6}$.

КЗ №12. Які рівняння називаються біквадратними?

Біквадратними називаються рівняння виду ${\displaystyle a{x}^4+b{x}^2+c=}$${\displaystyle 0}$, де ${\displaystyle x}$ — змінна, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ — числа, причому ${\displaystyle a\ne 0}$.

Приклад: ${\displaystyle x^4-5x^2+4=}$${\displaystyle 0}$.

КЗ №13. Поясніть, як розв’язують біквадратні рівняння.

1) вводять заміну ${\displaystyle x^2=}$${\displaystyle t}$, де ${\displaystyle t\ge 0}$;

2) розв’язують квадратне рівняння ${\displaystyle a{t}^2+bt+c=}$${\displaystyle 0}$;

3) відкидають від’ємні значення ${\displaystyle t}$;

4) для кожного ${\displaystyle t\ge 0}$ розв’язують рівняння ${\displaystyle x^2=}$${\displaystyle t}$: ${\displaystyle x=}$${\displaystyle \pm \sqrt{t}}$.

Приклад: ${\displaystyle x^4-5x^2+4=}$${\displaystyle 0}$; ${\displaystyle t^2-5t+4=}$${\displaystyle 0}$; ${\displaystyle t_1=}$${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle t_2=}$${\displaystyle 4}$; ${\displaystyle x^2=}$${\displaystyle 1}$ або ${\displaystyle x^2=}$${\displaystyle 4}$; ${\displaystyle x=}$${\displaystyle \pm 1}$; ${\displaystyle x=}$${\displaystyle \pm 2}$.

КЗ №14. Що таке математична модель?

Математична модель — це опис реальної ситуації (задачі) мовою математики: за допомогою формул, рівнянь, нерівностей, систем, таблиць, схем, графіків тощо.

Приклад: умову «добуток двох послідовних натуральних чисел дорівнює 240» описує модель ${\displaystyle n(n+1)=}$${\displaystyle 240}$.

КЗ №15. Назвіть етапи математичного моделювання.

1) побудова математичної моделі — вводять змінні й записують умову задачі мовою математики (складають рівняння);

2) робота з моделлю — розв’язують складене рівняння (систему);

3) аналіз (інтерпретація) результату — перевіряють, чи задовольняють знайдені розв’язки умову задачі, і записують відповідь.

Т №1.1. Розв’яжіть рівняння (х – 9)² = 0.

А. ${\displaystyle \pm 9}$. Б. ${\displaystyle \pm 3}$. В. ${\displaystyle 3}$. Г. ${\displaystyle 9}$.

${\displaystyle {(x-9)}^2=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle x-9=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle 9}$.

Відповідь: Г. ${\displaystyle 9}$

Т №1.2. Розв’яжіть рівняння (х + 5)² = 16.

А. ${\displaystyle 1}$; ${\displaystyle 9}$. Б. ${\displaystyle -1}$; ${\displaystyle -9}$.

В. ${\displaystyle 11}$; ${\displaystyle 21}$. Г. ${\displaystyle -11}$; ${\displaystyle -21}$.

${\displaystyle {(x+5)}^2=}$${\displaystyle 16}$;

${\displaystyle x+5=}$${\displaystyle \sqrt{16}}$ або ${\displaystyle x+5=}$${\displaystyle -\sqrt{16}}$;

${\displaystyle x+5=}$${\displaystyle 4}$ або ${\displaystyle x+5=}$${\displaystyle -4}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle 4-5}$ або ${\displaystyle x=}$${\displaystyle -4-5}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle -1}$ або ${\displaystyle x=}$${\displaystyle -9}$.

Відповідь: Б. ${\displaystyle -1}$; ${\displaystyle -9}$

Т №1.3. Розв’яжіть квадратне рівняння 3х² + х – 4 = 0.

А. ${\displaystyle 3}$; ${\displaystyle -4}$. Б. ${\displaystyle -3}$; ${\displaystyle 4}$.

В. ${\displaystyle -1}$; ${\displaystyle \frac{4}{3}}$. Г. ${\displaystyle 1}$; ${\displaystyle -\frac{4}{3}}$.

${\displaystyle 3x^2+x-4=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle 1^2-4\cdot 3\cdot (-4)=}$${\displaystyle 1+48=}$${\displaystyle 49}$;

${\displaystyle x_1=}$${\displaystyle \frac{-1-\sqrt{49}}{2\cdot 3}=}$${\displaystyle \frac{-1-7}{6}=}$${\displaystyle \frac{-8}{6}=}$${\displaystyle -\frac{4}{3}}$;

${\displaystyle x_2=}$${\displaystyle \frac{-1+\sqrt{49}}{2\cdot 3}=}$${\displaystyle \frac{-1+7}{6}=}$${\displaystyle \frac{6}{6}=}$${\displaystyle 1}$.

Відповідь: Г. ${\displaystyle 1}$; ${\displaystyle -\frac{4}{3}}$

Т №1.4. Розв’яжіть за теоремою Вієта квадратне рівняння х² + 6х – 40 = 0.

А. ${\displaystyle 5}$; ${\displaystyle -8}$. Б. ${\displaystyle -5}$; ${\displaystyle 8}$.

В. ${\displaystyle 4}$; ${\displaystyle -10}$. Г. ${\displaystyle -4}$; ${\displaystyle 10}$.

${\displaystyle x^2+6x-40=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle \{\begin{array}{rl}& x_1+x_2=-6,\\ & x_1\cdot x_2=-40\end{array}}$;

${\displaystyle x_1=}$${\displaystyle 4}$; ${\displaystyle x_2=}$${\displaystyle -10}$.

Відповідь: В. ${\displaystyle 4}$; ${\displaystyle -10}$

Т №1.5. Розв’яжіть відносно змінної х рівняння х² + 4х + m = 0.

А. ${\displaystyle \pm \sqrt{m-4}}$. Б. ${\displaystyle 2\pm \sqrt{m-4}}$.

В. ${\displaystyle -2\pm \sqrt{m}}$. Г. ${\displaystyle -2\pm \sqrt{4-m}}$.

${\displaystyle a=}$${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle b=}$${\displaystyle 4}$, ${\displaystyle c=}$${\displaystyle m}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle b^2-4ac=}$${\displaystyle 4^2-4\cdot 1\cdot m=}$${\displaystyle 16-4m=}$${\displaystyle 4(4-m)}$;

${\displaystyle x_{1,2}=}$${\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=}$${\displaystyle \frac{-4\pm \sqrt{4(4-m)}}{2\cdot 1}}$;

${\displaystyle x_{1,2}=}$${\displaystyle \frac{-4\pm 2\sqrt{4-m}}{2}=}$${\displaystyle -2\pm \sqrt{4-m}}$, де ${\displaystyle m\le 4}$.

Відповідь: Г. ${\displaystyle -2\pm \sqrt{4-m}}$

Т №2.1. Розкладіть на лінійні множники квадратний тричлен х² + 4х – 5.

А. ${\displaystyle (x-1)(x-5)}$. Б. ${\displaystyle (x+1)(x-5)}$.

В. ${\displaystyle (x-1)(x+5)}$. Г. ${\displaystyle (x+1)(x+5)}$.

${\displaystyle x^2+4x-5=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle x_1+x_2=}$${\displaystyle -4}$, ${\displaystyle x_1\cdot x_2=}$${\displaystyle -5}$;

${\displaystyle x_1=}$${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle x_2=}$${\displaystyle -5}$;

${\displaystyle x^2+4x-5=}$${\displaystyle \left(x-1\right)\left(x+5\right)}$.

Відповідь: В. ${\displaystyle \left(x-1\right)\left(x+5\right)}$

Т №2.2. Розв’яжіть рівняння х(х + 2) = 8.

А. ${\displaystyle -8}$; ${\displaystyle 1}$. Б. ${\displaystyle 8}$; ${\displaystyle -1}$.

В. ${\displaystyle -2}$; ${\displaystyle 4}$. Г. ${\displaystyle 2}$; ${\displaystyle -4}$.

${\displaystyle x(x+2)=}$${\displaystyle 8}$;

${\displaystyle x^2+2x-8=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle x_1+x_2=}$${\displaystyle -2}$, ${\displaystyle x_1\cdot x_2=}$${\displaystyle -8}$;

${\displaystyle x_1=}$${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle x_2=}$${\displaystyle -4}$.

Відповідь: Г. ${\displaystyle 2}$; ${\displaystyle -4}$

Т №2.3. Скоротіть дріб (х + 5)/(х² + 3х – 10).

А. ${\displaystyle \frac{1}{x+5}}$. Б. ${\displaystyle \frac{1}{x-5}}$. В. ${\displaystyle \frac{1}{x-2}}$. Г. ${\displaystyle \frac{1}{x+2}}$.

${\displaystyle x^2+3x-10=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle x_1+x_2=}$${\displaystyle -3}$, ${\displaystyle x_1\cdot x_2=}$${\displaystyle -10}$;

${\displaystyle x_1=}$${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle x_2=}$${\displaystyle -5}$;

${\displaystyle x^2+3x-10=}$${\displaystyle (x-2)(x+5)}$;

${\displaystyle \frac{x+5}{x^2+3x-10}=}$${\displaystyle \frac{\cancel{x+5}}{(x-2)\cancel{\left(x+5\right)}}=}$${\displaystyle \frac{1}{x-2}}$.

Відповідь: В. ${\displaystyle \frac{1}{x-2}}$

Т №2.4. Розв’яжіть рівняння (х² – 6)/(х – 2) = х/(2 – х).

А. ${\displaystyle 2}$; ${\displaystyle -3}$. Б. ${\displaystyle -2}$; ${\displaystyle 3}$. В. ${\displaystyle 2}$. Г. ${\displaystyle -3}$.

ОДЗ: ${\displaystyle x-2\ne 0}$; ${\displaystyle x\ne 2}$.

${\displaystyle \frac{x^2-6}{x-2}=}$${\displaystyle \frac{x}{2-x}}$;

${\displaystyle \frac{x^2-6}{x-2}=}$${\displaystyle -\frac{x}{x-2}}$;

${\displaystyle \frac{x^2-6}{x-2}+\frac{x}{x-2}=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle \frac{x^2+x-6}{x-2}=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle x^2+x-6=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle x_1+x_2=}$${\displaystyle -1}$, ${\displaystyle x_1\cdot x_2=}$${\displaystyle -6}$;

${\displaystyle x_1=}$${\displaystyle -3}$; ${\displaystyle x_2=}$${\displaystyle 2}$ — не належить ОДЗ.

Відповідь: Г. ${\displaystyle -3}$

Т №2.5. За 4 год туристи подолали 300 км. Відомо, що 2/5 цієї відстані туристи проїхали автобусом, а решту — поїздом. Знайдіть швидкість поїзда, якщо вона на 30 км/год більша за швидкість автобуса.

А. ${\displaystyle 60}$ км/год. Б. ${\displaystyle 70}$ км/год.

В. ${\displaystyle 80}$ км/год. Г. ${\displaystyle 90}$ км/год.

${\displaystyle 300\cdot \frac{2}{5}=}$${\displaystyle 120}$ (км) — проїхали автобусом;

${\displaystyle 300-120=}$${\displaystyle 180}$ (км) — проїхали поїздом.

Нехай ${\displaystyle x}$ км/год — швидкість автобуса, тоді ${\displaystyle (x+30)}$ км/год — швидкість поїзда.

${\displaystyle \frac{{120}^{\mathrm{\setminus }x+30}}{x}+\frac{{180}^{\mathrm{\setminus }x}}{x+30}=}$${\displaystyle 4^{\mathrm{\setminus }x\left(x+30\right)}}$;

${\displaystyle \frac{120(x+30)+180x-4x(x+30)}{x(x+30)}=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle 120x+3600+180x-4x^2-120x=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle -4x^2+180x+3600=}$${\displaystyle 0}$ | ${\displaystyle :\left(-4\right)}$

${\displaystyle x^2-45x-900=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle x_1+x_2=}$${\displaystyle 45}$, ${\displaystyle x_1\cdot x_2=}$${\displaystyle -900}$;

${\displaystyle x_1=}$${\displaystyle 60}$; ${\displaystyle x_2=}$${\displaystyle -15}$ — не задовольняє умову;

${\displaystyle 60+30=}$${\displaystyle 90}$ (км/год) — швидкість поїзда.

Відповідь: Г. ${\displaystyle 90}$ км/год