Підсумкові завдання (с. 33–36): відповідіГеометрія 8 клас Бевз 2025 · стор. 33

Стор. 33. 1-А Задачі за готовими малюнками. ∠A = ∠C = 30°, ∠D = 2∠B. Знайти: ∠B, ∠D.

1 спосіб:

Сума внутрішніх кутів чотирикутника дорівнює 360°, тому ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°,

30° + ∠B + 30° + ∠D = 360°,

∠B + ∠D = 300°,

∠B + 2∠B = 300°,

3∠B = 300°, ∠B = 100°,

∠D = 2 · 100° = 200°.

2 спосіб:

∠B + ∠D = 360° − ∠A − ∠C = 360° − 30° − 30° = 300° і ∠D = 2∠B, тоді

∠B = ${\displaystyle \frac{{300}^{\circ }\cdot 1}{1+2}}$ = 100°, ∠D = ${\displaystyle \frac{{300}^{\circ }\cdot 2}{1+2}}$ = 200°.

Відповідь: ∠B = 100°, ∠D = 200°.

Стор. 33. 1-Б Задачі за готовими малюнками. ABCD — паралелограм, ∠A : ∠B = 1 : 2. Знайти: ∠B, ∠C.

∠A + ∠B = 180° і ∠A : ∠B = 1 : 2, то

∠A = ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }\cdot 1}{1+2}}$ = 60°, ∠B = ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }\cdot 2}{1+2}}$ = 120°.

Відповідь: ∠A = 60°, ∠B = 120°.

Стор. 33. 2-А Задачі за готовими малюнками. ABCD — паралелограм, AB ⊥ BD, ∠ACD = 30°. Довести: AO = BD.

1 спосіб:

Потрібно довести, що: AO = BD.

∠BAO = ∠ACD = 30° як внутрішні різносторонні кути при січній AC та паралельних прямих AB і CD. △ABO — прямокутний, катет BO лежить проти кута в 30°, тому його довжина складає половину довжини гіпотенузи:

BO = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AO, AO = 2BO, але BO = OD за властивостями діагоналей паралелограма. Тоді BD = BO + OD = 2BO, отже, AO = BD, що й потрібно було довести.

2 спосіб:

△COD — прямокутний (∠CDO = ∠ABO = 90°, бо CD ∥ AB) з кутом 30°, тоді 2OD = OC. З іншого боку 2OD = BD.

Отже, AO = OC = 2OD = BD.

Стор. 33. 2-Б Задачі за готовими малюнками. ABCD — паралелограм, AD = DM, ∠AMC = 140°. Знайти: ∠B, ∠C.

∠AMD = 180° − ∠AMC = 180° − 140° = 40°.

△AMD — рівнобедрений, ∠MAD = 40°,

∠ADM = 180° − 40° − 40° = 100°.

∠B = ∠D = 100°, ∠C = 180° − ∠B = 180° − 100° = 80°.

Відповідь: ∠B = 100°, ∠C = 80°.

Стор. 33. 3-А Задачі за готовими малюнками. ABCD — паралелограм, AB = AK, ∠CBK = 55°. Знайти: ∠A, ∠D.

1 спосіб:

AB = AK, тому △ABK — рівнобедрений, ∠ABK = ∠AKB, але ∠AKB = ∠CBK = 55° як внутрішні різносторонні кути при січній BK та паралельних прямих BC і AD, тому ∠ABK = 55° і ∠B = ∠ABK + ∠CBK = 110°, тоді ∠A = 180° − ∠B = 180° − 110° = 70°. ∠D = ∠B як протилежні кути паралелограма, ∠D = 110°.

2 спосіб:

Оскільки BC ∥ AK, то ∠BKA = ∠CBK = 55°. △ABK — рівнобедрений (AB = AK), тоді

∠ABK = ∠AKB = 55°, ∠A = 180° − 55° − 55° = 70°.

∠D = 180° − ∠A = 180° − 70° = 110°.

Відповідь: ∠A = 70°, ∠D = 110°.

Стор. 33. 3-Б Задачі за готовими малюнками. ABCD — паралелограм, CD = DK, ∠A = 45°. Знайти: ∠B, ∠K.

∠B = 180° − ∠A = 180° − 45° = 135°, ∠D = ∠B = 135°.

△CDK — рівнобедрений і ∠CDK = 180° − 135° = 45°,

∠K = ∠DCK = ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }-{45}^{\circ }}{2}}$ = ${\displaystyle \frac{{135}^{\circ }}{2}}$ = 67°30′.

Відповідь: ∠B = 135°, ∠K = 67°30′.

Стор. 33. 4-А Задачі за готовими малюнками. ABCD — прямокутник, AC = 2AB. Знайти: ∠COB.

1 спосіб:

В прямокутному △ABC AC = 2AB, тоді ∠ACB = 30°, △COB — рівнобедрений, бо BO = CO за властивостями діагоналей прямокутника, тоді ∠CBO = ∠ACB = 30° і

∠COB = 180° − ∠ACB − ∠CBO = 180° − 30° − 30° = 120°.

2 спосіб:

Оскільки AB = CD, то AC = 2CD.

Із прямокутного трикутника ACD маємо ∠CAD = 30° (оскільки AC = 2CD), тоді ∠ADO = ∠OAD = 30° (бо △AOD — рівнобедрений), тоді

∠COB = ∠AOD = 180° − 2∠OAD = 180° − 2 · 30° = 120°.

Відповідь: ∠COB = 120°.

Стор. 33. 4-Б Задачі за готовими малюнками. ABCD — прямокутник, ∠MBC = 60°, AB = a, BM ⊥ AC. Знайти: MC.

Із трикутника BMC маємо ∠BCM = 90° − 60° = 30°.

В трикутнику ABM маємо ∠ABM = 90° − 60° = 30°, тоді AM = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AB = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}$.

В трикутнику ABC маємо AC = 2AB = 2a.

Тоді MC = AC − AM = 2a − 0,5a = 1,5a.

Відповідь: MC = 1,5a.

Стор. 34. В1 №1 Самостійна робота. Варіант 1. Знайди кути паралелограма, якщо вони пропорційні числам 2 і 3.

Дано: ABCD — паралелограм; ∠A : ∠B = 2 : 3.

Знайти: кути паралелограма.

Розв'язання:

Можна вважати, що ∠A = 2x, ∠B = 3x, де x — деяке число.

∠A + ∠B = 180° (сума кутів, прилеглих до однієї сторони);

2x + 3x = 180°;

5x = 180°;

x = 36°.

∠A = ∠C = 2 · 36° = 72°; ∠B = ∠D = 3 · 36° = 108°.

Відповідь: 72°, 108°, 72°, 108°.

Стор. 34. В1 №2 Самостійна робота. Варіант 1. Знайди сторони прямокутника, якщо одна з них на 3 см менша від другої, а периметр прямокутника дорівнює 34 см.

Дано: ABCD — прямокутник; AB = AD − 3; P = 34 см.

Знайти: AB, AD.

Розв'язання:

Нехай AD = x, тоді AB = x − 3.

2(x + x − 3) = 34;

2x − 3 = 17;

2x = 20;

x = 10.

AD = 10 см; AB = 10 − 3 = 7 (см).

Відповідь: 7 см і 10 см.

Стор. 34. В1 №3 Самостійна робота. Варіант 1. На діагоналі AC ромба ABCD відклали рівні відрізки AM і CN. Доведи, що чотирикутник DMBN — ромб.

1 спосіб:

ABCD — ромб, AM = CN. Потрібно довести, що MBND — ромб.

Діагональ ромба ділить його кути навпіл: ∠BAM = ∠MAD, ∠BCN = ∠DCN.

△BCN = △DCN за двома сторонами і кутом між ними (BC = CD як сторони ромба, CN — спільна сторона). Так само △ABM = △ADM. Тоді BN = ND і BM = MD.

Крім того, △ABM = △CBN за двома сторонами і кутом між ними (AB = CB, AM = CN, ∠BAM = ∠BCN), тому BM = BN.

Таким чином, в чотирикутнику MBND всі сторони рівні: за означенням чотирикутник MBND — ромб, що й потрібно було довести.

2 спосіб:

ABCD — ромб, AM = NC.

△DAM = △BAM = △DCN = △BCN (за двома сторонами і кутом між ними), тоді DM = BM = DN = NB.

Чотирикутник DMBN, у якого сторони рівні, є ромбом (задача 168). Отже, DMBN — ромб.

Стор. 34. В1 №4 Самостійна робота. Варіант 1. У прямокутнику ABCD бісектриса кута A перетинає сторону CD у точці M. Знайди периметр прямокутника, якщо AB = 10 см і CM : MD = 1 : 4.

Дано: ABCD — прямокутник; AM — бісектриса ∠A; M ∈ CD; AB = 10 см; CM : MD = 1 : 4.

Знайти: PABCD.

Розв'язання:

CD = AB = 10 см.

CM = x, MD = 4x; x + 4x = 10; 5x = 10; x = 2.

MD = 4 · 2 = 8 (см).

∠DMA = ∠BAM (внутрішні різносторонні кути) = ∠MAD, тому △AMD — рівнобедрений: AD = MD = 8 см.

P = 2(AB + AD) = 2(10 + 8) = 36 (см).

Відповідь: 36 см.

Стор. 34. В2 №1 Самостійна робота. Варіант 2. Знайди кути ромба, якщо один із них на 30° більший за другий.

1 спосіб:

Нехай менший кут ромба має міру x, тоді міра більшого кута дорівнює (x + 30), де x — деяке число. Сума суміжних кутів ромба дорівнює 180°. Маємо рівняння:

x + (x + 30) = 180; 2x + 30 = 180; 2x = 150;

тоді x = 75°, x + 30 = 105°. Отже, кути ромба дорівнюють 75° і 105°.

2 спосіб:

ABCD — ромб, ∠B − ∠A = 30°.

Оскільки ∠B + ∠A = 180° і ∠B − ∠A = 30°, то

∠A = ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }-{30}^{\circ }}{2}}$ = 75°, ∠B = ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }+{30}^{\circ }}{2}}$ = 105°.

∠C = ∠A = 75°, ∠D = ∠B = 105°.

Відповідь: 75°, 105°, 75°, 105°.

Стор. 34. В2 №2 Самостійна робота. Варіант 2. Знайди сторони паралелограма, якщо одна з них у 2 рази більша за другу, а периметр паралелограма дорівнює 36 см.

Дано: ABCD — паралелограм; AD = 2AB; P = 36 см.

Знайти: AB, AD.

Розв'язання:

Нехай AB = x, тоді AD = 2x.

2(x + 2x) = 36;

6x = 36;

x = 6.

AB = 6 см; AD = 2 · 6 = 12 (см).

Відповідь: 6 см і 12 см.

Стор. 34. В2 №3 Самостійна робота. Варіант 2. M і N — середини сторін BC і AD ромба ABCD. Доведи, що чотирикутник AMCN — паралелограм.

Дано: ABCD — ромб; BM = MC; AN = ND.

Довести: AMCN — паралелограм.

Доведення:

BC = AD (протилежні сторони), тому MC = AN (як половини рівних сторін).

MC ∥ AN (лежать на паралельних прямих BC і AD).

У чотирикутнику AMCN дві протилежні сторони рівні і паралельні, тому AMCN — паралелограм (теорема 4).

Стор. 34. В2 №4 Самостійна робота. Варіант 2. У прямокутнику ABCD бісектриса кута A перетинає сторону BC у точці M. Знайди сторони прямокутника, якщо його периметр дорівнює 56 см і BM : MC = 2 : 3.

Дано: ABCD — прямокутник; AM — бісектриса ∠A; BM : MC = 2 : 3; P = 56 см.

Знайти: AB, BC.

Розв'язання:

∠BMA = ∠MAD (внутрішні різносторонні кути) = ∠BAM, тому △ABM — рівнобедрений: AB = BM.

BM = 2x, MC = 3x, тоді AB = 2x, BC = 5x.

2(2x + 5x) = 56;

14x = 56;

x = 4.

AB = 2 · 4 = 8 (см); BC = 5 · 4 = 20 (см).

Відповідь: 8 см і 20 см.

Стор. 34. В3 №1 Самостійна робота. Варіант 3. Знайди кути паралелограма, якщо різниця двох із них дорівнює 40°.

1 спосіб:

За умовою ABCD — паралелограм, в якому ∠B − ∠A = 40°. Але в будь-якому паралелограмі сума суміжних кутів ∠A + ∠B = 180°. Маємо систему рівнянь:

∠B + ∠A = 180°

∠B − ∠A = 40°

2∠B = 180° + 40°; 2∠B = 220°, ∠B = 110°, тоді ∠A = 180° − ∠B = 180° − 110° = 70°.

Отже, в даному паралелограмі ∠A = 70°, ∠B = 110°.

2 спосіб:

ABCD — паралелограм, ∠B − ∠A = 40°. Оскільки ∠A + ∠B = 180°, ∠B − ∠A = 40°, то

∠A = ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }-{40}^{\circ }}{2}}$ = 70°, ∠B = ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }+{40}^{\circ }}{2}}$ = ${\displaystyle \frac{{220}^{\circ }}{2}}$ = 110°.

∠C = ∠A = 70°, ∠D = ∠B = 110°.

Відповідь: 70°, 110°, 70°, 110°.

Стор. 34. В3 №2 Самостійна робота. Варіант 3. Знайди сторони прямокутника, якщо одна з них у 3 рази менша від другої, а периметр прямокутника дорівнює 48 см.

Дано: ABCD — прямокутник; AD = 3AB; P = 48 см.

Знайти: AB, AD.

Розв'язання:

Нехай AB = x, тоді AD = 3x.

2(x + 3x) = 48;

8x = 48;

x = 6.

AB = 6 см; AD = 3 · 6 = 18 (см).

Відповідь: 6 см і 18 см.

Стор. 34. В3 №3 Самостійна робота. Варіант 3. На сторонах BC і AD прямокутника ABCD відклали рівні відрізки BK і DL. Доведи, що чотирикутник AKCL — паралелограм.

1 спосіб:

ABCD — прямокутник, BK = DL. Потрібно довести, що AKCL — паралелограм.

За умовою BK = DL і ABCD — прямокутник, тому BC = AD. Тоді KC = AL. Крім того, BC ∥ AD, тому KC ∥ AL. Отже, в чотирикутнику AKCL протилежні сторони паралельні і рівні між собою, а це означає, що AKCL — паралелограм, що й потрібно було довести.

2 спосіб:

ABCD — прямокутник, BK = DL. Оскільки AD = BC і BK = DL, то KC = AL (як різниці двох рівних відрізків KC = BC − BK = AD − DL = AL).

△ABK = △CDL (за двома катетами), тоді AK = LC.

Оскільки KC = AL, AK = LC, то AKCL — паралелограм.

Стор. 34. В3 №4 Самостійна робота. Варіант 3. У паралелограмі ABCD бісектриса кута A перетинає сторону CD у точці M. Знайди периметр паралелограма, якщо AD = 6 см і CM : MD = 4 : 3.

Дано: ABCD — паралелограм; AM — бісектриса ∠A; M ∈ CD; AD = 6 см; CM : MD = 4 : 3.

Знайти: PABCD.

Розв'язання:

∠AMD = ∠BAM (внутрішні різносторонні кути) = ∠MAD, тому △AMD — рівнобедрений: MD = AD = 6 см.

MD = 3x = 6, x = 2; CM = 4 · 2 = 8 (см).

CD = CM + MD = 8 + 6 = 14 (см).

P = 2(AD + CD) = 2(6 + 14) = 40 (см).

Відповідь: 40 см.

Стор. 34. В4 №1 Самостійна робота. Варіант 4. Знайди кути ромба, якщо один із них у 3 рази більший за другий.

1 спосіб:

ABCD — ромб, ∠B = 3∠A. Знайти ∠A і ∠B.

Нехай менший кут має міру x, тоді згідно умови міра більшого кута становить 3x, де x — деяке додатне число. В будь-якому ромбі сума кутів, прилеглих до однієї сторони ромба, дорівнює 180°.

Отримуємо рівняння: x + 3x = 180°; 4x = 180°; x = 45°.

Отже, в ромбі ABCD ∠A = 45°, ∠B = 3∠A = 3 · 45° = 135°.

2 спосіб:

Оскільки ∠A + ∠B = 180° і ∠B = 3∠A, то

∠A = ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }\cdot 1}{1+3}}$ = 45°, ∠B = ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }\cdot 3}{1+3}}$ = 135°.

∠C = ∠A = 45°, ∠D = ∠B = 135°.

Відповідь: 45°, 135°, 45°, 135°.

Стор. 34. В4 №2 Самостійна робота. Варіант 4. Знайди сторони паралелограма, якщо одна з них на 5 см більша за другу, а периметр паралелограма дорівнює 46 см.

Дано: ABCD — паралелограм; AD = AB + 5; P = 46 см.

Знайти: AB, AD.

Розв'язання:

Нехай AB = x, тоді AD = x + 5.

2(x + x + 5) = 46;

2x + 5 = 23;

2x = 18;

x = 9.

AB = 9 см; AD = 9 + 5 = 14 (см).

Відповідь: 9 см і 14 см.

Стор. 34. В4 №3 Самостійна робота. Варіант 4. Бісектриси кутів A і C прямокутника ABCD перетинають сторони BC і AD у точках M і N відповідно. Доведи, що чотирикутник AMCN — паралелограм.

1 спосіб:

ABCD — прямокутник; AM — бісектриса ∠A, CN — бісектриса ∠C. Потрібно довести: AMCN — паралелограм.

△ABM і △CDN — прямокутні рівнобедрені з кутом 45° при основі. Вони рівні між собою за двома катетами, тоді AM = CN. Далі, BC = AD як протилежні сторони прямокутника, BM = DN як катети рівних трикутників, тоді CM = AN, бо CM = BC − BM і AN = AD − DN.

Але BC ∥ AD як протилежні сторони прямокутника, тоді і CM ∥ AN. Отже, в чотирикутнику AMCN протилежні сторони паралельні і рівні між собою, а це означає, що AMCN — паралелограм, що й треба було довести.

2 спосіб:

ABCD — прямокутник, ∠BAM = ∠MAD = ${\displaystyle \frac{{90}^{\circ }}{2}}$ = 45°, ∠DCN = ∠NCM = ${\displaystyle \frac{{90}^{\circ }}{2}}$ = 45°, ∠BMA = 45°, ∠CND = 45°.

Оскільки ∠BMA = ∠MCN = 45°, то AM ∥ NC.

Оскільки MC ∥ AN (бо BC ∥ AD) і AM ∥ NC, то AMCN — паралелограм.

Стор. 34. В4 №4 Самостійна робота. Варіант 4. У паралелограмі ABCD бісектриса кута A перетинає сторону BC у точці M. Знайди сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює 40 см і BM : MC = 1 : 3.

Дано: ABCD — паралелограм; AM — бісектриса ∠A; BM : MC = 1 : 3; P = 40 см.

Знайти: AB, BC.

Розв'язання:

∠BMA = ∠MAD (внутрішні різносторонні кути) = ∠BAM, тому △ABM — рівнобедрений: AB = BM.

BM = x, MC = 3x, тоді AB = x, BC = 4x.

2(x + 4x) = 40;

10x = 40;

x = 4.

AB = 4 см; BC = 4 · 4 = 16 (см).

Відповідь: 4 см і 16 см.

Стор. 35. №1 Тестові завдання. ABCD — прямокутник. Яке з тверджень хибне? А AB ⊥ BC; Б AC = BD; В AC ⊥ BD; Г BC ∥ AD.

Твердження А, Б і Г — правильні: А за означенням прямокутника; Б згідно теореми 5 підручника; Г як протилежні сторони прямокутника.

Твердження В — хибне, бо взаємно перпендикулярні діагоналі мають лише ромб і квадрат.

Відповідь: В.

Стор. 35. №2 Тестові завдання. ABCD — ромб. Який знак слід поставити замість *: AC * BD? А =; Б ⊥; В ∥; Г не можна визначити.

AC і BD — діагоналі ромба, які згідно з теоремою 6 підручника взаємно перпендикулярні, тому замість * слід поставити знак ⊥.

Відповідь: Б.

Стор. 35. №3 Тестові завдання. Сума кутів чотирикутника дорівнює: А 120°; Б 90°; В 180°; Г 360°.

Правильною є відповідь Г. В будь-якому чотирикутнику сума його внутрішніх кутів дорівнює 360°.

Відповідь: Г.

Стор. 35. №4 Тестові завдання. Бісектриса гострого кута паралелограма ділить його більшу сторону навпіл. Знайди периметр паралелограма, якщо його менша сторона дорівнює 6 см. А 12 см; Б 18 см; В 36 см; Г не можна визначити.

Бісектриса AM відтинає рівнобедрений трикутник ABM: BM = AB = 6 см.

BC = 2BM = 12 см.

P = 2(6 + 12) = 36 (см).

Відповідь: В.

Стор. 35. №5 Тестові завдання. Сума кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, дорівнює: А 90°; Б 180°; В 360°; Г 120°.

В будь-якому паралелограмі сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180°, правильною є відповідь Б.

Відповідь: Б.

Стор. 35. №6 Тестові завдання. Одна зі сторін паралелограма дорівнює 5 см, а периметр 16 см. Знайди довжину другої сторони. А 5 см; Б 6 см; В 11 см; Г 3 см.

Периметр паралелограма зі сторонами a і b обчислюється за формулою P = 2(a + b). В даному випадку маємо 16 = 2(a + 5), a + 5 = 8, a = 3 (см). Отже, правильною є відповідь Г.

Відповідь: Г.

Стор. 35. №7 Тестові завдання. Знайди кути ромба, якщо вони пропорційні числам 2 і 7. А 20° і 70°; Б 20° і 140°; В 40° і 140°; Г 80° і 280°.

Якщо менший кут має міру 2x, то міра більшого кута становить 7x. Сума кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, дорівнює 180°, тому

2x + 7x = 180, 9x = 180, x = 20; тоді 2x = 40 і 7x = 140.

Отже, кути ромба дорівнюють 40° і 140°. В — правильна відповідь.

Відповідь: В.

Стор. 35. №8 Тестові завдання. Менша сторона прямокутника дорівнює 5 см. Знайди довжину діагоналі, якщо вона утворює з більшою стороною кут 30°. А 10 см; Б 5 см; В 2,5 см; Г 20 см.

CD = AB = 5 см. В прямокутному △CAD катет CD лежить проти кута в 30°, тому дорівнює половині гіпотенузи AC, тобто CD = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AC, AC = 2CD = 2 · 5 = 10 (см). А — правильна відповідь.

Відповідь: А.

Стор. 35. №9 Тестові завдання. O — точка перетину діагоналей ромба ABCD. Визнач вид △AOB. А гострокутний; Б прямокутний; В тупокутний; Г рівносторонній.

В будь-якому ромбі діагоналі взаємно перпендикулярні, тобто ∠AOB = 90°, △AOB — прямокутний. Правильною є відповідь Б.

Відповідь: Б.

Стор. 35. №10 Тестові завдання. Периметр квадрата 20 см. Знайди відстань від точки перетину діагоналей квадрата до його сторони. А 20 см; Б 10 см; В 5 см; Г 2,5 см.

Периметр квадрата P = 4AD, 4AD = 20, AD = 5 (см), тобто, сторона квадрата дорівнює 5 см. Точка O рівновіддалена від усіх сторін квадрата, OM = ON, але OM + ON = AD, 2OM = AD,

OM = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AD = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 5 = 2,5 (см).

Отже, відстань точки O від сторони квадрата дорівнює 2,5 см. Тим самим Г — правильна відповідь.

Примітка: у таблиці відповідей скріну для № 10 вказано Б — це помилка, правильно Г (2,5 см).

Відповідь: Г.

Стор. 36. №1 Типові задачі для тематичного контролю. Кути чотирикутника пропорційні числам 2, 4, 6 і 8. Знайди найбільший кут цього чотирикутника. А 18°; Б 36°; В 108°; Г 144°.

1 спосіб:

Кути чотирикутника ABCD пропорційні числам 2, 4, 6 і 8. Знайти ці кути. Нехай x — коефіцієнт пропорційності. Тоді можна вважати, що міра ∠A, ∠B, ∠C і ∠D відповідно рівна 2x, 4x, 6x і 8x, де x — деяке число.

Оскільки сума внутрішніх кутів будь-якого чотирикутника дорівнює 360°, маємо рівняння:

2x + 4x + 6x + 8x = 360; 20x = 360; x = 18.

Тоді ∠A = 2x = 2 · 18° = 36°, ∠B = 4x = 4 · 18° = 72°, ∠C = 6x = 6 · 18° = 108°, ∠D = 8x = 8 · 18° = 144°.

2 спосіб:

Нехай кути чотирикутника ABCD пропорційні числам 2, 4, 6, 8, тоді

∠A = ${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }\cdot 2}{2+4+6+8}}$ = 36°, ∠B = ${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }\cdot 4}{2+4+6+8}}$ = 72°,

∠C = ${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }\cdot 6}{2+4+6+8}}$ = 108°, ∠D = ${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }\cdot 8}{2+4+6+8}}$ = 144°.

Відповідь: Г 144°.

Стор. 36. №2 Типові задачі для тематичного контролю. Периметр паралелограма дорівнює 120 см, а менша сторона 25 см. Знайди довжину більшої сторони паралелограма. А 25 см; Б 95 см; В 35 см; Г 45 см.

1 спосіб:

ABCD — паралелограм. P = 120 см, AB = 25 см, AD > AB. Знайти довжину AD.

Оскільки P = 2(AB + AD), маємо рівняння: 2 · (25 + AD) = 120, 25 + AD = 60, AD = 60 − 25 = 35 (см). Отже, сторона AD має довжину 35 см.

2 спосіб:

ABCD — паралелограм, AB = 25 см, PABCD = 120 см. Оскільки протилежні сторони рівні, то CD = AB = 25 см.

PABCD = 2(AB + BC), тоді 120 = 2(25 + BC), 60 = 25 + BC, BC = 60 − 25, BC = 35 см.

Отже, BC = AD = 35 см, CD = 25 см.

Відповідь: В 35 см.

Стор. 36. №3 Типові задачі для тематичного контролю. Діагональ прямокутника дорівнює 10 см і утворює зі стороною кут 30°. Знайди довжину меншої сторони прямокутника. А 5 см; Б 10 см; В 20 см; Г 2,5 см.

1 спосіб:

ABCD — прямокутник; AC = 10 см, ∠CAD = 30°. AD > AB. Знайти AB.

В прямокутному △CAD катет CD = AB (як протилежні сторони прямокутника) лежить проти кута в 30°, тому його довжина вдвічі менша від довжини гіпотенузи △CAD; CD = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 10 = 5 (см). Таким чином, менша сторона прямокутника дорівнює 5 см.

2 спосіб:

ABCD — прямокутник, AC = 10 см, ∠CAD = 30°, тоді із прямокутного трикутника ACD маємо

CD = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 10 = 5 (см).

Відповідь: А 5 см.

Стор. 36. №4 Типові задачі для тематичного контролю. Діагональ паралелограма ABCD утворює зі сторонами кути 42° і 34°. Установи відповідність між кутами, заданими умовами (1–3), та їх градусними мірами (А–Д). 1 менший кут паралелограма; 2 більший кут паралелограма; 3 кут між AB і висотою BH (H ∈ AD). А 14°; Б 24°; В 76°; Г 104°; Д 116°.

ABCD — паралелограм, ∠BAC = 42°, ∠CAD = 34°. Потрібно знайти ∠A і ∠B.

1. ∠A = ∠BAC + ∠CAD = 42° + 34° = 76° — це менший кут.

2. Сума кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, дорівнює 180°, тому ∠A + ∠B = 180°, звідки ∠B = 180° − ∠A = 180° − 76° = 104° — це більший кут.

3. Кут між стороною AB і висотою BH, опущеною на AD, дорівнює: 90° − 76° = 14°, бо висота перпендикулярна до AD.

Відповідь: 1 — В (76°); 2 — Г (104°); 3 — А (14°).

Стор. 36. №5 Типові задачі для тематичного контролю. Знайди кут між діагоналями прямокутника ABCD, якщо ∠CAD = 35°.

AO = OD (діагоналі прямокутника рівні і точкою перетину діляться навпіл), тому △AOD — рівнобедрений: ∠ODA = ∠OAD = 35°.

∠AOD = 180° − 2∠CAD = 180° − 2 · 35° = 110°.

Суміжний кут ∠AOB = 180° − 110° = 70°.

Відповідь: 70° (або 110°).

Стор. 36. №6 Типові задачі для тематичного контролю. Один із кутів ромба дорівнює 120°. Знайди меншу діагональ ромба, якщо його периметр дорівнює 24 см.

1 спосіб:

ABCD — ромб; ∠B = 120°; BD — менша діагональ; P = 24 см. Знайти довжину BD.

Сума кутів, прилеглих до однієї сторони ромба, дорівнює 180°, тобто ∠A + ∠B = 180°, звідси ∠A = 180° − ∠B = 180° − 120° = 60°. Згідно теоремі 6 підручника, діагоналі ромба перпендикулярні і ділять кути при вершинах навпіл, тобто ∠ABD = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠B = 60°. Тоді в △ABD ∠A = ∠ABD = 60°, звідки ∠ADB = 180° − ∠A − ∠ABD = 180° − 60° − 60° = 60°. Отже, △ABD — рівносторонній, BD = AB.

За умовою P = 24 см, але P = 4AB. Маємо рівняння: 4AB = 24, AB = 6 (см). Таким чином, менша діагональ ромба дорівнює 6 см.

2 спосіб:

ABCD — ромб, ∠ABC = 120°, PABCD = 24 см.

Оскільки у ромбі всі сторони рівні, то AB = BC = CD = AD = ${\displaystyle \frac{{\mathrm{P}}_{\mathrm{ABCD}}}{4}}$ = ${\displaystyle \frac{24}{4}}$ = 6 (см).

∠A = 180° − ∠ABC = 180° − 120° = 60°.

△ABD — рівносторонній, оскільки AB = AD, ∠A = 60°, тоді

∠ABD = ∠ADB = ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }-{60}^{\circ }}{2}}$ = 60°, звідси BD = AB = AD = 6 см.

Відповідь: 6 см.

Стор. 36. №7 Типові задачі для тематичного контролю. Знайди периметр паралелограма ABCD, якщо його менша сторона дорівнює 5 см, а бісектриси кутів A і D перетинаються в точці K, яка лежить на стороні BC. Знайди міру ∠AKD.

1 спосіб:

ABCD — паралелограм; ∠BAK = ∠KAD; ∠CDK = ∠ADK; AB = 5 см. Знайти міру ∠AKD, P.

Сума кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180°, тобто ∠A + ∠D = 180°. Але ∠KAD = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠A, ∠ADK = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠D, тому ∠KAD + ∠ADK = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$(∠A + ∠D) = 90°. Звідси ∠AKD = 180° − 90° = 90°.

Далі, ∠KAD = ∠AKB як внутрішні різносторонні кути при січній AK та паралельних прямих BC і AD, тобто, △ABK — рівнобедрений, BK = AB. Так само △CKD — рівнобедрений, CK = CD = AB.

Отже, BK = CK = AB, BC = 2AB. P = 2(AB + BC) = 2(AB + 2AB) = 2 · 3AB = 6AB = 6 · 5 = 30 (см).

2 спосіб:

ABCD — паралелограм, AK і DK — бісектриси кутів A і D, тоді ∠BAK = ∠KAD, ∠ADK = ∠KDC.

∠AKD = 180° − (∠KAD + ∠KDA) = 180° − (${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠BAD + ${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠ADC) =

= 180° − ${\displaystyle \frac{1}{2}}$(∠BAD + ∠ADC) = 180° − ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 180° = 180° − 90° = 90°.

Відповідь: 30 см; ∠AKD = 90°.

Стор. 36. №8 Типові задачі для тематичного контролю. У рівнобедрений прямокутний трикутник з гіпотенузою 15 см вписано прямокутник так, що дві його вершини лежать на гіпотенузі, а дві інші — на катетах. Знайди периметр прямокутника, якщо одна з його сторін утричі більша за другу.

1 спосіб:

ABC — рівнобедрений прямокутний трикутник; AB = 15 см. MNLK — прямокутник; MN = 3NL. Знайти периметр прямокутника.

△MNB і △AKL — прямокутні рівнобедрені і рівні між собою за двома катетами. Тоді BN = AL = MN. P = 2(MN + NL).

Спочатку знайдемо значення NL. Маємо: AB = BN + NL + AL = NL + MN + MN = NL + 2MN = NL + 2 · 3NL = 7NL.

Тоді NL = ${\displaystyle \frac{1}{7}}$AB = ${\displaystyle \frac{1}{7}}$ · 15 = ${\displaystyle \frac{15}{7}}$ (см). Отже, P = 2(MN + NL) = 2(3NL + NL) = 8NL = 8 · ${\displaystyle \frac{15}{7}}$ = ${\displaystyle \frac{120}{7}}$ = 17${\displaystyle \frac{1}{7}}$ (см).

2 спосіб:

△ABC — рівнобедрений прямокутний трикутник, AB = 15 см. KLMN — прямокутник. KN = 3KL.

PKLMN = 2(LM + KL) = 2(3KL + KL) = 8KL.

Оскільки AB = AL + LM + MB = KL + 3KL + KL = 5KL, то 15 = 5KL, KL = 3 см, тоді

PKLMN = 8 · 3 = 24 (см).

Відповідь: 24 см або 17${\displaystyle \frac{1}{7}}$ см (залежно від того, яка сторона прямокутника лежить на гіпотенузі).

Стор. 36. №9 Типові задачі для тематичного контролю. Додаткове завдання. На діагоналі BD квадрата ABCD взято точки M і N такі, що BM = DN. Доведи, що AMCN — ромб. Знайди його периметр, якщо MN = 4 см і ∠BAM = 15°.

ABCD — квадрат, BM = DN.

△ABM = △CBM = △CDN = △ADN за двома сторонами і кутом між ними (AB = BC = CD = AD, BM = DN, ∠ABM = ∠CBM = ∠CDN = ∠ADN = 45°), тоді AM = CM = CN = AN.

Чотирикутник AMCN, у якого усі сторони рівні, є ромбом (задача 168).

∠NMA = ∠MBA + ∠BAM = 45° + 15° = 60°.

△AMN — рівносторонній, тоді AM = AN = MN = 4 см.

PAMCN = 4 · AM = 4 · 4 = 16 (см).

Відповідь: 16 см.