Підсумкові завдання (с. 54–55): відповідіГеометрія 8 клас Бевз 2025 · стор. 54

Стор. 54. 1-А Задачі за готовими малюнками. P△ABC = 30. Знайти: MN.

а) AB = 4 · 2 = 8, BC = 6 · 2 = 12, AC = P − AB − BC = 30 − 8 − 12 = 10,

MN = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 10 = 5.

Відповідь: 5.

Стор. 54. 1-Б Задачі за готовими малюнками. ABCD — прямокутник. AC = 16. Знайти: PMNPK.

б) MN = KP = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 16 = 8, BD = AC (бо ABCD — прямокутник)

MK = NP = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$BD = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 16 = 8. PMNPK = 4MK = 4 · 8 = 32.

Відповідь: 32.

Стор. 54. 2-А Задачі за готовими малюнками. ABCD — трапеція. ∠B − ∠A = 30°. Знайти: ∠A, ∠B.

а) Оскільки BC ∥ AD, то ∠A + ∠B = 180°, тоді, враховуючи, що ∠B − ∠A = 30°, маємо

∠B = ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }+{30}^{\circ }}{2}}$ = 105°, ∠A = ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }-{30}^{\circ }}{2}}$ = 75°.

Відповідь: 75° і 105°.

Стор. 54. 2-Б Задачі за готовими малюнками. ABCD — трапеція. BC = 7, AD = 15, ∠A = 45°. Знайти: BK.

б) AK = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}-\mathrm{BC}}{2}}$ = ${\displaystyle \frac{15-7}{2}}$ = 4. △ABK — прямокутний рівнобедрений, тоді BK = AK = 4.

Відповідь: 4.

Стор. 54. 3-А Задачі за готовими малюнками. ABCD — трапеція. AD = 10, ∠A = 60°. Знайти: PABCD.

а) ∠CAD = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠A = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 60° = 30°.

Із трикутника ACD маємо CD = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AD = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 10 = 5. AB = CD = 5.

Оскільки BC ∥ AD, то ∠BCA = ∠CAD = ∠BAC. △ABC — рівнобедрений, BC = AB = 5.

PABCD = 3 · 5 + 10 = 25.

Відповідь: 25.

Стор. 54. 3-Б Задачі за готовими малюнками. ABCD — трапеція. BC : AD = 2 : 3. PABCD = 66. Знайти: BC, AD.

б) ∠ADB = ∠CBD (бо AD ∥ BC), △ABD — рівнобедрений AB = AD.

Оскільки AB = CD = AD, а BC : AD = 2 : 3, то

BC = ${\displaystyle \frac{66\cdot 2}{2+3+3+3}}$ = 12, AD = ${\displaystyle \frac{66\cdot 3}{2+3+3+3}}$ = 18.

Відповідь: 12 і 18.

Стор. 54. 4-А Задачі за готовими малюнками. ABCD — трапеція. BC = 8, AD = 12. Знайти: MP, PK, KN.

а) MP = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$BC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 8 = 4, KN = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$BC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 8 = 4, MK = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AD = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 12 = 6.

PK = MK − MP = 6 − 4 = 2.

Відповідь: 4, 2, 4.

Стор. 54. 4-Б Задачі за готовими малюнками. ABCD — трапеція. AD : BC = 5 : 3, MN = 12. Знайти: EF, PK.

б) AD + BC = 24. AD = ${\displaystyle \frac{24\cdot 5}{3+5}}$ = 15, BC = ${\displaystyle \frac{24\cdot 3}{3+5}}$ = 9,

EF = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}+\mathrm{MN}}{2}}$ = ${\displaystyle \frac{9+12}{2}}$ = 10,5, PK = ${\displaystyle \frac{\mathrm{MN}+\mathrm{AD}}{2}}$ = ${\displaystyle \frac{12+15}{2}}$ = 13,5.

Відповідь: 10,5; 13,5.

Стор. 55. В1 №1 Самостійна робота. Варіант 1. Кути трапеції дорівнюють 70° і 80°. Знайди інші кути трапеції.

ABCD — трапеція, ∠A = 70°, ∠D = 80°, тоді

∠B = 180° − ∠A = 180° − 70° = 110°,

∠C = 180° − ∠D = 180° − 80° = 100°.

Відповідь: 110° і 100°.

Стор. 55. В1 №2 Самостійна робота. Варіант 1. MN — середня лінія △ABC (MN ∥ AC). Знайди периметри трикутника MBN і чотирикутника AMNC, якщо AB = 10 см, BC = 12 см, MN = 9 см.

M і N — середини AB і BC, тому AM = MB = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AB = 5 см, BN = NC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$BC = 6 см.

AC = 2MN = 2 · 9 = 18 (см) (за властивістю середньої лінії трикутника).

PMBN = MB + BN + MN = 5 + 6 + 9 = 20 (см).

PAMNC = AM + MN + NC + AC = 5 + 9 + 6 + 18 = 38 (см).

Відповідь: 20 см; 38 см.

Стор. 55. В1 №3 Самостійна робота. Варіант 1. Знайди основи трапеції, якщо вони пропорційні числам 3 і 7, а середня лінія трапеції дорівнює 25 см.

Нехай BC = 3x, AD = 7x. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ:

MN = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}+\mathrm{AD}}{2}}$; ${\displaystyle \frac{3\mathrm{x}+7\mathrm{x}}{2}}$ = 25; 10x = 50; x = 5.

BC = 3 · 5 = 15 (см), AD = 7 · 5 = 35 (см).

Відповідь: 15 см і 35 см.

Стор. 55. В1 №4 Самостійна робота. Варіант 1. Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою її гострого кута. Знайди периметр трапеції, якщо її менша основа дорівнює 8 см, а тупий кут 120°.

ABCD — рівнобічна трапеція (AB = CD), AC — бісектриса гострого кута A.

∠BCA = ∠CAD (внутрішні різносторонні при BC ∥ AD і січній AC), ∠CAD = ∠BAC, тому ∠BCA = ∠BAC і △ABC — рівнобедрений: AB = BC.

AB = BC = CD = 8 см. Гострий кут ∠A = 180° − 120° = 60°.

Проведемо BK ⊥ AD. У △ABK ∠ABK = 30°, тому AK = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AB = 4 см.

AD = BC + 2AK = 8 + 2 · 4 = 16 (см).

P = 8 + 8 + 8 + 16 = 40 (см).

Відповідь: 40 см.

Стор. 55. В2 №1 Самостійна робота. Варіант 2. Кути трапеції дорівнюють 40° і 130°. Знайди інші кути трапеції.

Ці кути прилягають до різних бічних сторін (40° + 130° ≠ 180°). Нехай ∠A = 40°, ∠C = 130°, тоді

∠B = 180° − ∠A = 180° − 40° = 140°,

∠D = 180° − ∠C = 180° − 130° = 50°.

Відповідь: 140° і 50°.

Стор. 55. В2 №2 Самостійна робота. Варіант 2. KP — середня лінія △ABC (KP ∥ AB). Знайди периметри трикутника KPC і чотирикутника ABKP, якщо BC = 16 см, AC = 12 см, KP = 10 см.

K і P — середини BC і AC, тому BK = KC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$BC = 8 см, AP = PC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AC = 6 см.

AB = 2KP = 2 · 10 = 20 (см).

PKPC = KP + PC + KC = 10 + 6 + 8 = 24 (см).

PABKP = AB + BK + KP + PA = 20 + 8 + 10 + 6 = 44 (см).

Відповідь: 24 см; 44 см.

Стор. 55. В2 №3 Самостійна робота. Варіант 2. Знайди основи трапеції, якщо одна з них у 3 рази більша за другу, а середня лінія трапеції дорівнює 24 см.

Нехай BC = x, AD = 3x. Середня лінія MN = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}+\mathrm{AD}}{2}}$;

${\displaystyle \frac{\mathrm{x}+3\mathrm{x}}{2}}$ = 24; 4x = 48; x = 12.

BC = 12 см, AD = 3 · 12 = 36 (см).

Відповідь: 12 см і 36 см.

Стор. 55. В2 №4 Самостійна робота. Варіант 2. Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою її гострого кута. Знайди периметр трапеції, якщо її бічна сторона дорівнює 6 см, а гострий кут 60°.

ABCD — рівнобічна трапеція (AB = CD), AC — бісектриса гострого кута A.

∠BCA = ∠CAD (внутрішні різносторонні при BC ∥ AD і січній AC), ∠CAD = ∠BAC, тому ∠BCA = ∠BAC і △ABC — рівнобедрений: AB = BC.

AB = BC = CD = 6 см, ∠A = 60°.

Проведемо BK ⊥ AD. У △ABK ∠ABK = 30°, тому AK = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AB = 3 см.

AD = BC + 2AK = 6 + 2 · 3 = 12 (см).

P = 6 + 6 + 6 + 12 = 30 (см).

Відповідь: 30 см.

Стор. 55. В3 №1 Самостійна робота. Варіант 3. Кути трапеції дорівнюють 110° і 100°. Знайди інші кути трапеції.

Ці кути прилягають до різних бічних сторін. Нехай ∠B = 110°, ∠C = 100°, тоді

∠A = 180° − ∠B = 180° − 110° = 70°,

∠D = 180° − ∠C = 180° − 100° = 80°.

Відповідь: 70° і 80°.

Стор. 55. В3 №2 Самостійна робота. Варіант 3. EF — середня лінія △ABC (EF ∥ AC). Знайди периметри трикутника EBF і чотирикутника AEFC, якщо AB = 20 см, BC = 16 см, EF = 11 см.

E і F — середини AB і BC, тому AE = EB = 10 см, BF = FC = 8 см.

AC = 2EF = 2 · 11 = 22 (см).

PEBF = EB + BF + EF = 10 + 8 + 11 = 29 (см).

PAEFC = AE + EF + FC + AC = 10 + 11 + 8 + 22 = 51 (см).

Відповідь: 29 см; 51 см.

Стор. 55. В3 №3 Самостійна робота. Варіант 3. Знайди основи трапеції, якщо одна з них на 6 см більша за другу, а середня лінія трапеції дорівнює 10 см.

Нехай BC = x, AD = x + 6. MN = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}+\mathrm{AD}}{2}}$;

${\displaystyle \frac{\mathrm{x}+\mathrm{x}+6}{2}}$ = 10; 2x + 6 = 20; x = 7.

BC = 7 см, AD = 7 + 6 = 13 (см).

Відповідь: 7 см і 13 см.

Стор. 55. В3 №4 Самостійна робота. Варіант 3. Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою її гострого кута. Знайди периметр трапеції, якщо її менша основа дорівнює 12 см, а гострий кут 60°.

ABCD — рівнобічна трапеція (AB = CD), AC — бісектриса гострого кута A.

∠BCA = ∠CAD (внутрішні різносторонні при BC ∥ AD і січній AC), ∠CAD = ∠BAC, тому ∠BCA = ∠BAC і △ABC — рівнобедрений: AB = BC.

AB = BC = CD = 12 см, ∠A = 60°.

Проведемо BK ⊥ AD. У △ABK ∠ABK = 30°, тому AK = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AB = 6 см.

AD = BC + 2AK = 12 + 2 · 6 = 24 (см).

P = 12 + 12 + 12 + 24 = 60 (см).

Відповідь: 60 см.

Стор. 55. В4 №1 Самостійна робота. Варіант 4. Кути трапеції дорівнюють 50° і 115°. Знайди інші кути трапеції.

Ці кути прилягають до різних бічних сторін (50° + 115° ≠ 180°). Нехай ∠A = 50°, ∠C = 115°, тоді

∠B = 180° − ∠A = 180° − 50° = 130°,

∠D = 180° − ∠C = 180° − 115° = 65°.

Відповідь: 130° і 65°.

Стор. 55. В4 №2 Самостійна робота. Варіант 4. KP — середня лінія △ABC (KP ∥ BC). Знайди периметри трикутника AKP і чотирикутника KBCP, якщо AB = 10 см, AC = 14 см, KP = 9 см.

K і P — середини AB і AC, тому AK = KB = 5 см, AP = PC = 7 см.

BC = 2KP = 2 · 9 = 18 (см).

PAKP = AK + KP + AP = 5 + 9 + 7 = 21 (см).

PKBCP = KB + BC + CP + PK = 5 + 18 + 7 + 9 = 39 (см).

Відповідь: 21 см; 39 см.

Стор. 55. В4 №3 Самостійна робота. Варіант 4. Знайди основи трапеції, якщо одна з них у 5 разів менша від другої, а середня лінія трапеції дорівнює 18 см.

Нехай BC = x, AD = 5x. MN = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}+\mathrm{AD}}{2}}$;

${\displaystyle \frac{\mathrm{x}+5\mathrm{x}}{2}}$ = 18; 6x = 36; x = 6.

BC = 6 см, AD = 5 · 6 = 30 (см).

Відповідь: 6 см і 30 см.

Стор. 55. В4 №4 Самостійна робота. Варіант 4. Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою її гострого кута. Знайди периметр трапеції, якщо її бічна сторона дорівнює 10 см, а тупий кут 120°.

ABCD — рівнобічна трапеція (AB = CD), AC — бісектриса гострого кута A.

∠BCA = ∠CAD (внутрішні різносторонні при BC ∥ AD і січній AC), ∠CAD = ∠BAC, тому ∠BCA = ∠BAC і △ABC — рівнобедрений: AB = BC.

AB = BC = CD = 10 см. Гострий кут ∠A = 180° − 120° = 60°.

Проведемо BK ⊥ AD. У △ABK ∠ABK = 30°, тому AK = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AB = 5 см.

AD = BC + 2AK = 10 + 2 · 5 = 20 (см).

P = 10 + 10 + 10 + 20 = 50 (см).

Відповідь: 50 см.