Підсумкові завдання (с. 170–174): відповідіГеометрія 8 клас Бевз 2025 · стор. 170

Стор. 170. 1-А Задачі за готовими малюнками. BC ∥ AD, AB = BC = CD = 10, ∠A = 60°. Знайти: AD, BH.

BC ∥ AD, AB = BC = CD = 10. ∠A = 60°. CF ⊥ AD, △ABH.

AH = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AB = 5, тому що ∠ABH = 30°. AH = FD. BC = HF = 10;

AD = AH + HF + FD = 5 + 10 + 5 = 20.

BH = ${\displaystyle \sqrt{100-25}}$ = ${\displaystyle \sqrt{75}}$ = 5${\displaystyle \sqrt{3}}$.

Відповідь: AD = 20; BH = 5${\displaystyle \sqrt{3}}$.

Стор. 170. 1-Б Задачі за готовими малюнками. OA = 2, SP = 8. Знайти: AP.

OA = 2, SP = 8. OA ⊥ AP, SP ⊥ AP, OA ∥ SP. OS = 2 + 8 = 10.

OK ⊥ SP. OK = AP.

SK = SP – OA = 8 – 2 = 6.

△SOK — прямокутний.

OK² = OS² – SK² = 100 – 36 = 64, OK = 8. AP = 8.

Відповідь: 8.

Стор. 170. 2-А Задачі за готовими малюнками. ABCD — прямокутник, d, α. Знайти: AB, BC.

△ACD (∠D = 90°):

AC = d, ∠CAD = α.

CD = d sin α; AD = d cos α.

AB = CD = d sin α; BC = AD = d cos α.

Відповідь: AB = d sin α; BC = d cos α.

Стор. 170. 2-Б Задачі за готовими малюнками. AB = BC. Знайти: AB, AC.

AH ⊥ BC, AH = h, ∠C = 70°.

△AHC (∠H = 90°):

sin C = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AC}}}$; AC = ${\displaystyle \frac{\mathrm{h}}{\sin {70}^{\circ }}}$.

AB = BC, тому ∠A = ∠C = 70°; ∠B = 180° – 2 · 70° = 40°.

△AHB (∠H = 90°):

sin B = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AB}}}$; AB = ${\displaystyle \frac{\mathrm{h}}{\sin {40}^{\circ }}}$.

Відповідь: AB = ${\displaystyle \frac{\mathrm{h}}{\sin {40}^{\circ }}}$; AC = ${\displaystyle \frac{\mathrm{h}}{\sin {70}^{\circ }}}$.

Стор. 170. 3-А Задачі за готовими малюнками. BC ∥ AD, AH = DH. Знайти: CD, DA.

AB = a, ∠A = α, BH ⊥ DA.

△AHB (∠H = 90°):

BH = a sin α; AH = a cos α.

CDHB — прямокутник, тому CD = BH = a sin α.

DA = DH + AH = 2AH = 2a cos α.

Відповідь: CD = a sin α; DA = 2a cos α.

Стор. 170. 3-Б Задачі за готовими малюнками. OB = r, ∠A = 50°. Знайти: AC, CB.

AB — діаметр: AB = 2r. Вписаний кут ACB спирається на діаметр, тому ∠C = 90°.

△ACB (∠C = 90°):

AC = AB cos A = 2r cos 50°;

CB = AB sin A = 2r sin 50°.

Відповідь: AC = 2r cos 50°; CB = 2r sin 50°.

Стор. 170. 4-А Задачі за готовими малюнками. ABCD — ромб, AB = a, ∠BAD = α. Знайти: AC, BD.

Діагоналі ромба перпендикулярні, точкою перетину діляться навпіл і ділять кути ромба навпіл:

∠BAO = ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$, ∠AOB = 90°.

△AOB:

AO = a cos ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$; BO = a sin ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$.

AC = 2AO = 2a cos ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$; BD = 2BO = 2a sin ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$.

Відповідь: AC = 2a cos ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$; BD = 2a sin ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$.

Стор. 170. 4-Б Задачі за готовими малюнками. AB = BC = c, ∠ABC = β. Знайти: AC, BH.

BH — висота рівнобедреного трикутника, вона є медіаною і бісектрисою:

∠ABH = ${\displaystyle \frac{\mathrm{\beta }}{2}}$, AH = HC.

△ABH (∠H = 90°):

BH = c cos ${\displaystyle \frac{\mathrm{\beta }}{2}}$; AH = c sin ${\displaystyle \frac{\mathrm{\beta }}{2}}$.

AC = 2AH = 2c sin ${\displaystyle \frac{\mathrm{\beta }}{2}}$.

Відповідь: AC = 2c sin ${\displaystyle \frac{\mathrm{\beta }}{2}}$; BH = c cos ${\displaystyle \frac{\mathrm{\beta }}{2}}$.

Стор. 171. 5-А Задачі за готовими малюнками. AC = 3, BC = 4. Знайти: sin α, cos α, tg α.

△ACB (∠C = 90°):

AB = ${\displaystyle \sqrt{3²+4²}}$ = 5.

sin α = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}}$ = ${\displaystyle \frac{3}{5}}$;

cos α = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}}$ = ${\displaystyle \frac{4}{5}}$;

tg α = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}}$ = ${\displaystyle \frac{3}{4}}$.

Стор. 171. 5-Б Задачі за готовими малюнками. AB = 10, AC = 6. Знайти: tg α, cos β.

△ACB (∠C = 90°):

CB = ${\displaystyle \sqrt{10²-6²}}$ = 8.

tg α = ${\displaystyle \frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{AC}}}$ = ${\displaystyle \frac{8}{6}}$ = ${\displaystyle \frac{4}{3}}$;

cos β = ${\displaystyle \frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{AB}}}$ = ${\displaystyle \frac{8}{10}}$ = ${\displaystyle \frac{4}{5}}$.

Стор. 171. 6-А Задачі за готовими малюнками. BK ⊥ AC, AK = 1, KC = 9. Знайти: sin α, cos α.

△ABC (∠B = 90°), BK — висота, проведена до гіпотенузи.

BK² = AK · KC = 1 · 9 = 9; BK = 3.

△BKC (∠K = 90°):

BC = ${\displaystyle \sqrt{3²+9²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{90}}$ = 3${\displaystyle \sqrt{10}}$.

sin α = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BK}}{\mathrm{BC}}}$ = ${\displaystyle \frac{3}{3\sqrt{10}}}$ = ${\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{10}}$; cos α = ${\displaystyle \frac{\mathrm{KC}}{\mathrm{BC}}}$ = ${\displaystyle \frac{9}{3\sqrt{10}}}$ = ${\displaystyle \frac{3\sqrt{10}}{10}}$.

Стор. 171. 6-Б Задачі за готовими малюнками. ∠C = 90°, AM = MB, ∠HCM = α. Знайти: sin α.

△ACB (∠C = 90°):

AB = ${\displaystyle \sqrt{6²+8²}}$ = 10; CM — медіана, проведена до гіпотенузи: CM = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AB = 5.

AC² = AB · AH;

AH = ${\displaystyle \frac{36}{10}}$ = 3,6;

HM = AM – AH = 5 – 3,6 = 1,4.

△CHM (∠H = 90°):

sin α = ${\displaystyle \frac{\mathrm{HM}}{\mathrm{CM}}}$ = ${\displaystyle \frac{1,4}{5}}$ = 0,28.

Відповідь: 0,28.

Стор. 171. 7-А Задачі за готовими малюнками. AB = 4, BC = 2${\displaystyle \sqrt{3}}$. Знайти: ∠A, ∠B, AC.

△ACB (∠C = 90°):

cos B = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}}$ = ${\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{4}}$ = ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$; ∠B = 30°.

∠A = 90° – 30° = 60°.

AC — катет, що лежить проти кута 30°:

AC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AB = 2.

Відповідь: ∠A = 60°; ∠B = 30°; AC = 2.

Стор. 171. 7-Б Задачі за готовими малюнками. BC = 4, cos α = ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$. Знайти: AB, AC, ∠B.

cos α = ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$, тому α = 30°; ∠B = 90° – 30° = 60°.

BC — катет, що лежить проти кута 30°:

AB = 2BC = 8.

AC = ${\displaystyle \sqrt{8²-4²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{48}}$ = 4${\displaystyle \sqrt{3}}$.

Відповідь: AB = 8; AC = 4${\displaystyle \sqrt{3}}$; ∠B = 60°.

Стор. 171. 8-А Задачі за готовими малюнками. AL = 6, tg α = ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$. Знайти: ∠A, ∠B, AB, AC, BC.

tg α = ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$, тому α = 30°. AL — бісектриса: ∠A = 2α = 60°; ∠B = 90° – 60° = 30°.

△ACL (∠C = 90°):

AC = AL cos α = 6 · ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ = 3${\displaystyle \sqrt{3}}$; CL = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AL = 3.

AC — катет, що лежить проти кута B = 30°: AB = 2AC = 6${\displaystyle \sqrt{3}}$.

BC = ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{AB}²-\mathrm{AC}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{108-27}}$ = ${\displaystyle \sqrt{81}}$ = 9.

Відповідь: ∠A = 60°; ∠B = 30°; AB = 6${\displaystyle \sqrt{3}}$; AC = 3${\displaystyle \sqrt{3}}$; BC = 9.

Стор. 171. 8-Б Задачі за готовими малюнками. sin α = ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$, cos β = ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$. Знайти: ∠A, ∠B, ∠C, AB, BC.

BK ⊥ AC, BK = 5, α = ∠ABK, β = ∠KBC.

sin α = ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$, тому α = 60°; cos β = ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$, тому β = 45°.

∠B = α + β = 105°;

△ABK: ∠A = 90° – 60° = 30°;

△CBK: ∠C = 90° – 45° = 45°.

△ABK:

BK лежить проти кута 30°, тому AB = 2BK = 10.

△CBK — рівнобедрений прямокутний:

BC = BK${\displaystyle \sqrt{2}}$ = 5${\displaystyle \sqrt{2}}$.

Відповідь: ∠A = 30°; ∠B = 105°; ∠C = 45°; AB = 10; BC = 5${\displaystyle \sqrt{2}}$.

Стор. 172. В1 №1 Самостійна робота. Варіант 1. Знайди сторону ромба, якщо його діагоналі дорівнюють 16 см і 12 см.

Нехай ABCD — ромб. AC = 12 см, BD = 16 см.

BD ⊥ AC, △AOB — прямокутний.

AO = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AC = 6 см; BO = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$BD = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 16 = 8 см.

△AOB за теоремою Піфагора: AB² = AO² + BO², AB² = 36 + 64, AB² = 100.

AB = ${\displaystyle \sqrt{100}}$ = 10 см.

Відповідь: сторона ромба 10 см.

Стор. 172. В1 №2 Самостійна робота. Варіант 1. З точки A до прямої m проведено перпендикуляр AM = 12 см і похилу AP = 13 см. Знайди синус, косинус і тангенс кута APM.

△AMP (∠M = 90°):

MP = ${\displaystyle \sqrt{13²-12²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{25}}$ = 5 (см).

sin ∠APM = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AP}}}$ = ${\displaystyle \frac{12}{13}}$;

cos ∠APM = ${\displaystyle \frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{AP}}}$ = ${\displaystyle \frac{5}{13}}$;

tg ∠APM = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{MP}}}$ = ${\displaystyle \frac{12}{5}}$.

Стор. 172. В1 №3 Самостійна робота. Варіант 1. Дано трикутник ABC (∠C = 90°). Знайди BC, якщо AB = 7 см і cos ∠B = 0,6.

cos B = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}}$, тому BC = AB · cos B = 7 · 0,6 = 4,2 (см).

Відповідь: 4,2 см.

Стор. 172. В1 №4 Самостійна робота. Варіант 1. Менша сторона прямокутника дорівнює 6 см, а діагональ утворює з більшою стороною кут 40°. Знайди периметр прямокутника (з точністю до сотих).

ABCD — прямокутник, CD = 6 см, ∠CAD = 40°.

△ACD (∠D = 90°):

tg ∠CAD = ${\displaystyle \frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{AD}}}$; AD = ${\displaystyle \frac{6}{\mathrm{tg}{40}^{\circ }}}$ ≈ ${\displaystyle \frac{6}{0,8391}}$ ≈ 7,1505 (см).

PABCD = 2(AD + CD) ≈ 2(7,1505 + 6) ≈ 26,30 (см).

Відповідь: ≈ 26,30 см.

Стор. 172. В2 №1 Самостійна робота. Варіант 2. Знайди висоту рівнобічної трапеції, основи якої дорівнюють 7 см і 17 см, а бічна сторона 13 см.

ABCD — трапеція.

AB = CD, BC = 7 см, AD = 17 см,

BK ⊥ AD, CM ⊥ AD.

AK = MD = (17 – 7) : 2 = 5 см.

△ABK:

BK² = AB² – AK² = 169 – 25 = 144.

BK = 12 см.

Відповідь: 12 см.

Стор. 172. В2 №2 Самостійна робота. Варіант 2. З точки H до прямої a проведено перпендикуляр HO = 6 см і похилу HA = 10 см. Знайди синус, косинус і тангенс кута OHA.

△HOA (∠O = 90°):

OA = ${\displaystyle \sqrt{10²-6²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{64}}$ = 8 (см).

sin ∠OHA = ${\displaystyle \frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{HA}}}$ = ${\displaystyle \frac{8}{10}}$ = 0,8;

cos ∠OHA = ${\displaystyle \frac{\mathrm{HO}}{\mathrm{HA}}}$ = ${\displaystyle \frac{6}{10}}$ = 0,6;

tg ∠OHA = ${\displaystyle \frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{HO}}}$ = ${\displaystyle \frac{8}{6}}$ = ${\displaystyle \frac{4}{3}}$.

Стор. 172. В2 №3 Самостійна робота. Варіант 2. Дано трикутник ABC (∠C = 90°). Знайди AC, якщо AB = 15 см і sin ∠B = 0,2.

sin B = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}}$, тому AC = AB · sin B = 15 · 0,2 = 3 (см).

Відповідь: 3 см.

Стор. 172. В2 №4 Самостійна робота. Варіант 2. Висота ромба дорівнює 5 см, а гострий кут 70°. Знайди периметр ромба (з точністю до сотих).

ABCD — ромб, BH ⊥ AD, BH = 5 см, ∠A = 70°.

△ABH (∠H = 90°):

sin A = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{AB}}}$; AB = ${\displaystyle \frac{5}{\sin {70}^{\circ }}}$ ≈ ${\displaystyle \frac{5}{0,9397}}$ ≈ 5,3209 (см).

PABCD = 4AB ≈ 4 · 5,3209 ≈ 21,28 (см).

Відповідь: ≈ 21,28 см.

Стор. 172. В3 №1 Самостійна робота. Варіант 3. Сторона ромба дорівнює 15 см, а діагональ 24 см. Знайди другу діагональ ромба.

ABCD — ромб, AB = 15 см; BD = 24 см.

△AOB — прямокутний.

OB = 12 см. За теоремою Піфагора:

AO² = AB² – OB² = 225 – 144 = 81.

AO = 9, AC = 18 см.

Відповідь: 18 см.

Стор. 172. В3 №2 Самостійна робота. Варіант 3. З точки M до прямої a проведено перпендикуляр MP = 8 см і похилу MK = 17 см. Знайди синус, косинус і тангенс кута MKP.

△MPK (∠P = 90°):

PK = ${\displaystyle \sqrt{17²-8²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{225}}$ = 15 (см).

sin ∠MKP = ${\displaystyle \frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{MK}}}$ = ${\displaystyle \frac{8}{17}}$;

cos ∠MKP = ${\displaystyle \frac{\mathrm{PK}}{\mathrm{MK}}}$ = ${\displaystyle \frac{15}{17}}$;

tg ∠MKP = ${\displaystyle \frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{PK}}}$ = ${\displaystyle \frac{8}{15}}$.

Стор. 172. В3 №3 Самостійна робота. Варіант 3. Дано трикутник ABC (∠C = 90°). Знайди BC, якщо AB = 3 см і sin ∠A = 0,8.

sin A = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}}$, тому BC = AB · sin A = 3 · 0,8 = 2,4 (см).

Відповідь: 2,4 см.

Стор. 172. В3 №4 Самостійна робота. Варіант 3. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 6 см і 10 см, а кут 50°. Знайди периметр трапеції (з точністю до сотих).

ABCD — рівнобічна трапеція, BC = 6 см, AD = 10 см, ∠A = 50°, BK ⊥ AD.

AK = (10 – 6) : 2 = 2 (см).

△ABK (∠K = 90°):

cos A = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AK}}{\mathrm{AB}}}$; AB = ${\displaystyle \frac{2}{\cos {50}^{\circ }}}$ ≈ ${\displaystyle \frac{2}{0,6428}}$ ≈ 3,1114 (см).

PABCD = 6 + 10 + 2AB ≈ 16 + 6,2229 ≈ 22,22 (см).

Відповідь: ≈ 22,22 см.

Стор. 172. В4 №1 Самостійна робота. Варіант 4. Знайди більшу бічну сторону прямокутної трапеції, основи якої дорівнюють 9 см і 14 см, а висота 12 см.

ABCD — прямокутна трапеція.

CK ⊥ AD, CK = 12 см, BC = 9 см, AD = 14 см.

△CKD — прямокутний.

KD = AD – BC = 14 – 9 = 5 см.

CD² = 144 + 25 = 169, CD = 13 см.

Відповідь: 13 см.

Стор. 172. В4 №2 Самостійна робота. Варіант 4. З точки O до прямої p проведено перпендикуляр OK = 12 см і похилу OC = 15 см. Знайди синус, косинус і тангенс кута KOC.

△OKC (∠K = 90°):

KC = ${\displaystyle \sqrt{15²-12²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{81}}$ = 9 (см).

sin ∠KOC = ${\displaystyle \frac{\mathrm{KC}}{\mathrm{OC}}}$ = ${\displaystyle \frac{9}{15}}$ = 0,6;

cos ∠KOC = ${\displaystyle \frac{\mathrm{OK}}{\mathrm{OC}}}$ = ${\displaystyle \frac{12}{15}}$ = 0,8;

tg ∠KOC = ${\displaystyle \frac{\mathrm{KC}}{\mathrm{OK}}}$ = ${\displaystyle \frac{9}{12}}$ = 0,75.

Стор. 172. В4 №3 Самостійна робота. Варіант 4. Дано трикутник ABC (∠C = 90°). Знайди AC, якщо AB = 5 см і cos ∠A = 0,7.

cos A = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}}$, тому AC = AB · cos A = 5 · 0,7 = 3,5 (см).

Відповідь: 3,5 см.

Стор. 172. В4 №4 Самостійна робота. Варіант 4. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 8 см, а кут при основі 40°. Знайди периметр трикутника (з точністю до сотих).

△ABC, AB = BC, AC = 8 см, ∠A = 40°, BH ⊥ AC — висота і медіана: AH = 4 см.

△ABH (∠H = 90°):

cos A = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AB}}}$; AB = ${\displaystyle \frac{4}{\cos {40}^{\circ }}}$ ≈ ${\displaystyle \frac{4}{0,7660}}$ ≈ 5,2216 (см).

P△ABC = 8 + 2AB ≈ 8 + 10,4433 ≈ 18,44 (см).

Відповідь: ≈ 18,44 см.

Стор. 173. №1 Тестові завдання. У прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює 10 см, а катет — 6 см. Знайди третю сторону трикутника. А 6 см; Б 4 см; В 16 см; Г 8 см.

${\displaystyle \sqrt{10²-6²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{64}}$ = 8 (см).

Відповідь: Г.

Стор. 173. №2 Тестові завдання. Яке з тверджень завжди хибне? А sin α = 1; Б tg α = 3; В cos α = 2; Г sin α = 0,5.

Косинус кута не може бути більшим за 1, тому cos α = 2 — завжди хибне.

Відповідь: В.

Стор. 173. №3 Тестові завдання. Катет прямокутного трикутника дорівнює добутку гіпотенузи на: А синус прилеглого кута; Б косинус прилеглого кута; В тангенс протилежного кута; Г косинус протилежного кута.

Катет прямокутного трикутника дорівнює добутку гіпотенузи на косинус прилеглого кута (або на синус протилежного кута).

Відповідь: Б.

Стор. 173. №4 Тестові завдання. У △ABC з прямим кутом C sin A = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. Знайди ∠B. А 30°; Б 60°; В 45°; Г 90°.

sin A = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, тому ∠A = 30°; ∠B = 90° – 30° = 60°.

Відповідь: Б.

Стор. 173. №5 Тестові завдання. Діагональ квадрата зі стороною a дорівнює: А a${\displaystyle \sqrt{3}}$; Б ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{2}}$; В a${\displaystyle \sqrt{2}}$; Г ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}$.

AC² = a² + a² = 2a²; AC = a${\displaystyle \sqrt{2}}$.

Відповідь: В.

Стор. 173. №6 Тестові завдання. Установи вид △ABC, якщо sin A = ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$, cos C = ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$. А гострокутний; Б прямокутний; В тупокутний; Г рівнобедрений.

sin A = ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$, тому ∠A = 45°; cos C = ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$, тому ∠C = 30°.

∠B = 180° – (45° + 30°) = 105° — тупий кут.

Відповідь: В.

Стор. 173. №7 Тестові завдання. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 3 см і 4 см. Знайди синус більшого гострого кута. А ${\displaystyle \frac{3}{5}}$; Б ${\displaystyle \frac{4}{5}}$; В ${\displaystyle \frac{3}{4}}$; Г ${\displaystyle \frac{5}{3}}$.

Гіпотенуза: ${\displaystyle \sqrt{3²+4²}}$ = 5 (см).

Більший гострий кут лежить проти більшого катета:

sin = ${\displaystyle \frac{4}{5}}$.

Відповідь: Б.

Стор. 173. №8 Тестові завдання. У △ABC (∠C = 90°) tg A = 1. Який знак слід поставити замість *: AC * BC? А >; Б <; В =; Г не можна встановити.

tg A = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}}$ = 1, тому AC = BC.

Відповідь: В.

Стор. 173. №9 Тестові завдання. У △ABC (∠C = 90°) AB = a, ∠A = α. Знайди AC. А a sin α; Б a cos α; В ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{\sin \alpha }}$; Г ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{\cos \alpha }}$.

AC — катет, прилеглий до кута A:

AC = AB · cos A = a cos α.

Відповідь: Б.

Стор. 173. №10 Тестові завдання. З точки до прямої проведено перпендикуляр і похилу, довжини яких дорівнюють відповідно 8 см і 17 см. Знайди довжину проєкції похилої. А ${\displaystyle \sqrt{353}}$; Б 9; В 5; Г 15.

HB = ${\displaystyle \sqrt{17²-8²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{289-64}}$ = ${\displaystyle \sqrt{225}}$ = 15 (см).

Відповідь: Г.

Стор. 174. №1 Типові задачі для тематичного контролю. З точки A до прямої a проведено перпендикуляр AH і похилі AB = 17 см, AC = 12 см. Який знак потрібно поставити замість * у виразі BH * CH? А >; Б <; В =; Г не можна встановити.

Якщо з однієї точки до прямої проведено дві похилі, то більша похила має більшу проєкцію.

AB > AC, тому BH > CH.

Відповідь: А.

Стор. 174. №2 Типові задачі для тематичного контролю. Знайди периметр ромба, якщо його діагоналі дорівнюють 16 см і 30 см. А 17 см; Б 34 см; В 68 см; Г 136 см.

BO = 8 см, CO = 15 см, BD ⊥ AC.

△BOC (∠O = 90°):

BC = ${\displaystyle \sqrt{8²+15²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{289}}$ = 17 (см).

P = 4 · 17 = 68 (см).

Відповідь: В.

Стор. 174. №3 Типові задачі для тематичного контролю. Знайди гіпотенузу MP прямокутного трикутника MPK, якщо MK = 9 см, cos ∠M = 0,6. А 5,4 см; Б 15 см; В 54 см; Г 1,5 см.

cos M = ${\displaystyle \frac{\mathrm{MK}}{\mathrm{MP}}}$, тому MP = ${\displaystyle \frac{\mathrm{MK}}{\cos \mathrm{M}}}$ = ${\displaystyle \frac{9}{0,6}}$ = 15 (см).

Відповідь: Б.

Стор. 174. №4 Типові задачі для тематичного контролю. У прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює 25 см, а синус одного з кутів 0,2. Установи відповідність між заданими умовами (1–3) та довжинами цих відрізків (А–Д). 1 менший катет трикутника дорівнює …; 2 більший катет трикутника дорівнює …; 3 висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює … А 5; Б 2${\displaystyle \sqrt{6}}$; В 6${\displaystyle \sqrt{10}}$; Г 10${\displaystyle \sqrt{6}}$; Д 30${\displaystyle \sqrt{10}}$.

1) Менший катет лежить проти меншого кута:

AC = 25 · 0,2 = 5 (А).

2) Більший катет: CB = ${\displaystyle \sqrt{25²-5²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{600}}$ = 10${\displaystyle \sqrt{6}}$ (Г).

3) Висота: CH = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}\cdot \mathrm{CB}}{\mathrm{AB}}}$ = ${\displaystyle \frac{5\cdot 10\sqrt{6}}{25}}$ = 2${\displaystyle \sqrt{6}}$ (Б).

Відповідь: 1 – А, 2 – Г, 3 – Б.

Стор. 174. №5 Типові задачі для тематичного контролю. Знайди периметр рівнобедреного трикутника, основа якого дорівнює 16 см, а бічна сторона на 4 см більша за висоту, проведену до основи.

△ABC, AB = BC, AC = 16 см, BC – BK = 4 см.

AK = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AC = 8 см, BK = x, BC = x + 4.

△BKC, за теоремою Піфагора:

BC² = KC² + BK².

(x + 4)² = 64 + x²;

x² + 8x + 16 = 64 + x²;

8x = 48;

x = 6. BK = 6 см;

BC = 10 см, AB = 10 см.

P△ABC = 10 + 10 + 16 = 36 см.

Відповідь: 36 см.

Стор. 174. №6 Типові задачі для тематичного контролю. Знайди кути і сторони прямокутного трикутника, якщо проєкції катетів на гіпотенузу дорівнюють 2 см і 6 см.

△ABC (∠C = 90°), CH ⊥ AB, AH = 2 см, HB = 6 см, AB = 8 см.

AC² = AB · AH = 8 · 2 = 16; AC = 4 см.

CB² = AB · HB = 8 · 6 = 48; CB = 4${\displaystyle \sqrt{3}}$ см.

sin B = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}}$ = ${\displaystyle \frac{4}{8}}$ = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, тому ∠B = 30°, ∠A = 90° – 30° = 60°.

Відповідь: 4 см, 4${\displaystyle \sqrt{3}}$ см, 8 см; 30°, 60°, 90°.

Стор. 174. №7 Типові задачі для тематичного контролю. Вершину дерева, віддаленого від даного пункту на 16 м, видно під кутом 16° до горизонту, а вершину другого дерева, віддаленого від цього самого пункту на 24 м, видно під кутом 19°. Яке дерево вище і на скільки?

△OAA₁ (∠A = 90°):

AA₁ = OA · tg 16° ≈ 16 · 0,2867 ≈ 4,59 (м).

△OBB₁ (∠B = 90°):

BB₁ = OB · tg 19° ≈ 24 · 0,3443 ≈ 8,26 (м).

BB₁ – AA₁ ≈ 8,26 – 4,59 ≈ 3,67 (м).

Відповідь: друге дерево вище приблизно на 3,7 м.

Стор. 174. №8 Типові задачі для тематичного контролю. Гострий кут рівнобічної трапеції дорівнює α, а радіус вписаного кола r. Знайди периметр трапеції.

Висота трапеції дорівнює діаметру вписаного кола:

h = 2r.

Бічна сторона: AB = ${\displaystyle \frac{\mathrm{h}}{\sin \alpha }}$ = ${\displaystyle \frac{2\mathrm{r}}{\sin \alpha }}$.

У трапецію вписано коло, тому BC + AD = AB + CD = ${\displaystyle \frac{4\mathrm{r}}{\sin \alpha }}$.

P = 2(AB + CD) = ${\displaystyle \frac{8\mathrm{r}}{\sin \alpha }}$.

Відповідь: ${\displaystyle \frac{8\mathrm{r}}{\sin \alpha }}$.

Стор. 174. №9 Типові задачі для тематичного контролю. Додаткове завдання. Сторони трикутника дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см. На які відрізки ділить середню за довжиною сторону висота, проведена до неї?

△ABC. AK ⊥ BC.

Нехай BK = x, KC = 14 – x.

△ABK:

AK² = AB² – BK² = 169 – x²,

△AKC:

AK² = AC² – KC² = 225 – (14 – x)²,

169 – x² = 225 – (14 – x)²;

169 – x² = 225 – 196 + 28x – x²;

28x = 140;

x = 5. BK = 5 см,

KC = 14 – 5 = 9 см.

Відповідь: 5 см, 9 см.