Підсумкові завдання (с. 221–225): відповідіГеометрія 8 клас Бевз 2025 · стор. 221

Стор. 221. 1-А Задачі за готовими малюнками. Знайди площу чотирикутника ABCD. ABCD — прямокутник, AC = 8, ∠CAD = 30°.

△ACD (∠D = 90°):

CD — катет, що лежить проти кута 30°, тому CD = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 8 = 4.

AD² = AC² – CD² = 64 – 16 = 48;

AD = ${\displaystyle \sqrt{48}}$ = 4${\displaystyle \sqrt{3}}$.

SABCD = AD · CD = 4${\displaystyle \sqrt{3}}$ · 4 = 16${\displaystyle \sqrt{3}}$.

Відповідь: 16${\displaystyle \sqrt{3}}$.

Стор. 221. 1-Б Задачі за готовими малюнками. Знайди площу чотирикутника ABCD. ABCD — прямокутник, AK = 9, BK = 12.

BK ⊥ AC. △ABK (∠K = 90°): AB² = AK² + BK² = 81 + 144 = 225; AB = 15.

△ABC (∠B = 90°), BK — висота, проведена до гіпотенузи:

BK² = AK · KC;

144 = 9 · KC;

KC = 16.

AC = AK + KC = 9 + 16 = 25.

△ABC:

BC² = AC² – AB² = 625 – 225 = 400; BC = 20.

SABCD = AB · BC = 15 · 20 = 300.

Відповідь: 300.

Стор. 221. 2-А Задачі за готовими малюнками. Знайди площу чотирикутника ABCD. ABCD — прямокутник, ∠1 = ∠2, KD = 3CK, BD = 15.

∠BAD = 90°, ∠1 = ∠2, тому ∠KAD = 45°.

△AKD (∠D = 90°):

∠AKD = 90° – 45° = 45°, отже, △AKD — рівнобедрений, AD = KD.

Нехай CK = x, тоді KD = 3x, AD = 3x, CD = CK + KD = 4x.

△BCD (∠C = 90°):

BD² = BC² + CD²;

15² = (3x)² + (4x)²;

225 = 25x²;

x² = 9;

x = 3.

AD = 3 · 3 = 9; CD = 4 · 3 = 12.

SABCD = AD · CD = 9 · 12 = 108.

Відповідь: 108.

Стор. 221. 2-Б Задачі за готовими малюнками. Знайди площу чотирикутника ABCD. ABCD — паралелограм, BP = 2, BK = 3, α = 60°.

BK ⊥ AD, BP ⊥ CD. У чотирикутнику KBPD ∠K = ∠P = 90°, ∠KBP = α = 60°, тому ∠D = 360° – 90° – 90° – 60° = 120°.

Тоді ∠A = 180° – 120° = 60°.

△ABK (∠K = 90°):

∠ABK = 90° – 60° = 30°, тому AK = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AB.

Нехай AB = x, тоді AK = ${\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{2}}$.

AB² = AK² + BK²;

x² = ${\displaystyle \frac{\mathrm{x}²}{4}}$ + 9;

${\displaystyle \frac{3\mathrm{x}²}{4}}$ = 9;

x² = 12;

x = 2${\displaystyle \sqrt{3}}$.

CD = AB = 2${\displaystyle \sqrt{3}}$.

SABCD = CD · BP = 2${\displaystyle \sqrt{3}}$ · 2 = 4${\displaystyle \sqrt{3}}$.

Відповідь: 4${\displaystyle \sqrt{3}}$.

Стор. 221. 3-А Задачі за готовими малюнками. Знайди площу чотирикутника ABCD. ABCD — ромб, AB = BD = 6.

AB = AD = BD = 6, тому △ABD — рівносторонній.

Діагональ BD ділить ромб на два рівні трикутники ABD і CBD.

S△ABD = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}²\sqrt{3}}{4}}$ = ${\displaystyle \frac{36\sqrt{3}}{4}}$ = 9${\displaystyle \sqrt{3}}$.

SABCD = 2 · S△ABD = 2 · 9${\displaystyle \sqrt{3}}$ = 18${\displaystyle \sqrt{3}}$.

Відповідь: 18${\displaystyle \sqrt{3}}$.

Стор. 221. 3-Б Задачі за готовими малюнками. Знайди площу чотирикутника ABCD. BC ∥ AD, ∠A = 45°, AD = 8, BC = 3.

ABCD — прямокутна трапеція (∠D = 90°). Проведемо BH ⊥ AD.

HBCD — прямокутник, HD = BC = 3, тоді AH = AD – HD = 8 – 3 = 5.

△ABH (∠H = 90°):

∠A = 45°, тому ∠ABH = 45° і △ABH — рівнобедрений: BH = AH = 5.

SABCD = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}+\mathrm{AD}}{2}}$ · BH = ${\displaystyle \frac{3+8}{2}}$ · 5 = 27,5.

Відповідь: 27,5.

Стор. 221. 4-А Задачі за готовими малюнками. Знайди площу чотирикутника ABCD. BC ∥ AD, ∠1 = ∠2, AB = CD, BC = 10, AD = 22.

∠2 = ∠BCA (внутрішні різносторонні при BC ∥ AD і січній AC), ∠1 = ∠2, тому ∠1 = ∠BCA.

△ABC — рівнобедрений: AB = BC = 10.

Проведемо BH ⊥ AD, CK ⊥ AD. AH = KD = (AD – BC) : 2 = (22 – 10) : 2 = 6.

△ABH (∠H = 90°):

BH² = AB² – AH² = 100 – 36 = 64; BH = 8.

SABCD = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}+\mathrm{AD}}{2}}$ · BH = ${\displaystyle \frac{10+22}{2}}$ · 8 = 128.

Відповідь: 128.

Стор. 221. 4-Б Задачі за готовими малюнками. Знайди площу чотирикутника ABCD. BC ∥ AD, AB = CD, BC = 18, AD = 30, AC = 25.

Проведемо BH ⊥ AD, CK ⊥ AD. AH = KD = (AD – BC) : 2 = (30 – 18) : 2 = 6.

AK = AD – KD = 30 – 6 = 24.

△ACK (∠K = 90°):

CK² = AC² – AK² = 625 – 576 = 49; CK = 7.

SABCD = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}+\mathrm{AD}}{2}}$ · CK = ${\displaystyle \frac{18+30}{2}}$ · 7 = 168.

Відповідь: 168.

Стор. 222. 5-А Задачі за готовими малюнками. Знайди площу трикутника ABC. AB = 4, AC = 6, ∠A = 60°.

Проведемо BH ⊥ AC. △ABH (∠H = 90°): ∠ABH = 90° – 60° = 30°, тому AH = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AB = 2.

BH² = AB² – AH² = 16 – 4 = 12; BH = 2${\displaystyle \sqrt{3}}$.

S△ABC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AC · BH = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 6 · 2${\displaystyle \sqrt{3}}$ = 6${\displaystyle \sqrt{3}}$.

Відповідь: 6${\displaystyle \sqrt{3}}$.

Стор. 222. 5-Б Задачі за готовими малюнками. Знайди площу трикутника ABC. AB = BC = 15, AC = 18.

Проведемо висоту BH. △ABC — рівнобедрений, тому BH — і медіана:

AH = 18 : 2 = 9.

△ABH (∠H = 90°):

BH² = AB² – AH² = 225 – 81 = 144; BH = 12.

S△ABC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AC · BH = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 18 · 12 = 108.

Відповідь: 108.

Стор. 222. 6-А Задачі за готовими малюнками. Знайди площу трикутника ABC. AM = MC, S△ABM = Q.

BM — медіана △ABC. BH — спільна висота трикутників ABM і MBC.

S△ABM = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AM · BH, S△MBC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$MC · BH, AM = MC, тому S△MBC = S△ABM = Q.

S△ABC = S△ABM + S△MBC = Q + Q = 2Q.

Відповідь: 2Q.

Стор. 222. 6-Б Задачі за готовими малюнками. Знайди площу трикутника ABC. AB = BC, AC = 16, AB – BK = 2.

BK ⊥ AC. △ABC — рівнобедрений, тому BK — і медіана:

AK = 16 : 2 = 8.

Нехай BK = x, тоді AB = x + 2.

△ABK (∠K = 90°):

AB² = AK² + BK²;

(x + 2)² = 64 + x²;

x² + 4x + 4 = 64 + x²;

4x = 60;

x = 15.

BK = 15.

S△ABC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AC · BK = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 16 · 15 = 120.

Відповідь: 120.

Стор. 222. 7-А Задачі за готовими малюнками. Знайди площу трикутника ABC. AC ⊥ BC, AH – HB = 7, HC = 12.

△ABC (∠C = 90°), CH — висота, проведена до гіпотенузи.

Нехай HB = x, тоді AH = x + 7.

CH² = AH · HB;

144 = (x + 7) · x;

x² + 7x – 144 = 0;

D = 49 + 576 = 625 = 25²;

x₁ = ${\displaystyle \frac{-7+25}{2}}$ = 9;

x₂ = ${\displaystyle \frac{-7-25}{2}}$ = –16 — не задовольняє умову.

HB = 9, AH = 16, AB = 9 + 16 = 25.

S△ABC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AB · CH = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 25 · 12 = 150.

Відповідь: 150.

Стор. 222. 7-Б Задачі за готовими малюнками. Знайди площу трикутника ABC. AK ⊥ BC, AB : AC = 5 : 8, BK = 7, KC = 32.

Нехай AB = 5x, AC = 8x.

△ABK (∠K = 90°):

AK² = AB² – BK² = 25x² – 49.

△ACK (∠K = 90°):

AK² = AC² – KC² = 64x² – 1024.

25x² – 49 = 64x² – 1024;

39x² = 975;

x² = 25;

x = 5.

AB = 25, AK² = 625 – 49 = 576, AK = 24.

BC = BK + KC = 7 + 32 = 39.

S△ABC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$BC · AK = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 39 · 24 = 468.

Відповідь: 468.

Стор. 222. 8-А Задачі за готовими малюнками. Знайди площу трикутника ABC. AB = AC, AO = 18, OH = 6 (O — центр вписаного кола).

△ABC — рівнобедрений, AH — висота і медіана, O ∈ AH; OH = r = 6.

AH = AO + OH = 18 + 6 = 24.

BO — бісектриса кута B трикутника ABH, тому ${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BH}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{OH}}}$ = ${\displaystyle \frac{18}{6}}$ = 3.

Нехай BH = x, тоді AB = 3x.

△ABH (∠H = 90°):

AB² = AH² + BH²;

9x² = 576 + x²;

8x² = 576;

x² = 72;

x = 6${\displaystyle \sqrt{2}}$.

BC = 2BH = 12${\displaystyle \sqrt{2}}$.

S△ABC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$BC · AH = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 12${\displaystyle \sqrt{2}}$ · 24 = 144${\displaystyle \sqrt{2}}$.

Відповідь: 144${\displaystyle \sqrt{2}}$.

Стор. 222. 8-Б Задачі за готовими малюнками. Знайди площу трикутника ABC. AB = BC, BM : MC = 2 : 3, OM = 6 (M — точка дотику вписаного кола).

Нехай BM = 2x, MC = 3x, тоді AB = BC = 5x.

BL — висота і медіана; L — точка дотику кола до AC. Відрізки дотичних з точки C рівні:

CL = CM = 3x, тому AC = 6x.

△BLC (∠L = 90°):

BL² = BC² – CL² = 25x² – 9x² = 16x²;

BL = 4x.

OL = OM = 6, тоді OB = 4x – 6.

△BMO (∠M = 90°):

OB² = BM² + OM²;

(4x – 6)² = 4x² + 36;

16x² – 48x + 36 = 4x² + 36;

12x² = 48x;

x = 4.

AC = 6 · 4 = 24, BL = 4 · 4 = 16.

S△ABC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AC · BL = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 24 · 16 = 192.

Відповідь: 192.

Стор. 223. В1 №1 Самостійна робота. Варіант 1. Знайди периметр прямокутника, якщо його площа дорівнює 20 см², а одна зі сторін 5 см.

S = ab; b = S : a = 20 : 5 = 4 (см).

P = 2(a + b) = 2 · (5 + 4) = 18 (см).

Відповідь: 18 см.

Стор. 223. В1 №2 Самостійна робота. Варіант 1. Висоти паралелограма дорівнюють 8 см і 6 см, а менша сторона 9 см. Знайди більшу сторону паралелограма.

До меншої сторони проведено більшу висоту:

a = 9 см, ha = 8 см; hb = 6 см.

S = a · ha = 9 · 8 = 72 (см²).

b = S : hb = 72 : 6 = 12 (см).

Відповідь: 12 см.

Стор. 223. В1 №3 Самостійна робота. Варіант 1. Знайди площу рівнобічної трапеції, якщо її основи дорівнюють 15 см і 33 см, а діагональ є бісектрисою гострого кута.

ABCD — рівнобічна трапеція, BC = 15 см, AD = 33 см, AC — бісектриса ∠A.

∠CAD = ∠BCA (внутрішні різносторонні), тому ∠BAC = ∠BCA і △ABC — рівнобедрений: AB = BC = 15 см.

Проведемо BH ⊥ AD, CK ⊥ AD. AH = (AD – BC) : 2 = (33 – 15) : 2 = 9 (см).

△ABH (∠H = 90°):

BH² = AB² – AH² = 225 – 81 = 144; BH = 12 см.

SABCD = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}+\mathrm{AD}}{2}}$ · BH = ${\displaystyle \frac{15+33}{2}}$ · 12 = 288 (см²).

Відповідь: 288 см².

Стор. 223. В1 №4 Самостійна робота. Варіант 1. Знайди площу ромба ABCD, якщо висота AK ділить сторону BC на відрізки BK = 8 см, KC = 2 см.

BC = BK + KC = 8 + 2 = 10 (см); AB = BC = 10 см.

△ABK (∠K = 90°):

AK² = AB² – BK² = 100 – 64 = 36; AK = 6 см.

SABCD = BC · AK = 10 · 6 = 60 (см²).

Відповідь: 60 см².

Стор. 223. В2 №1 Самостійна робота. Варіант 2. Знайди периметр прямокутника, якщо його площа дорівнює 36 см², а одна зі сторін 9 см.

b = S : a = 36 : 9 = 4 (см).

P = 2 · (9 + 4) = 26 (см).

Відповідь: 26 см.

Стор. 223. В2 №2 Самостійна робота. Варіант 2. Сторони паралелограма дорівнюють 10 см і 12 см, а менша з висот 5 см. Знайди більшу висоту паралелограма.

Менша висота проведена до більшої сторони:

S = 12 · 5 = 60 (см²).

Більша висота проведена до меншої сторони:

h = S : 10 = 60 : 10 = 6 (см).

Відповідь: 6 см.

Стор. 223. В2 №3 Самостійна робота. Варіант 2. Знайди площу рівнобічної трапеції, якщо її основи дорівнюють 3 см і 13 см, а діагональ є бісектрисою тупого кута.

ABCD — рівнобічна трапеція, BC = 3 см, AD = 13 см, BD — бісектриса ∠B.

∠CBD = ∠BDA (внутрішні різносторонні), тому ∠ABD = ∠BDA і △ABD — рівнобедрений: AB = AD = 13 см.

Проведемо BH ⊥ AD. AH = (AD – BC) : 2 = (13 – 3) : 2 = 5 (см).

△ABH (∠H = 90°):

BH² = AB² – AH² = 169 – 25 = 144; BH = 12 см.

SABCD = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}+\mathrm{AD}}{2}}$ · BH = ${\displaystyle \frac{3+13}{2}}$ · 12 = 96 (см²).

Відповідь: 96 см².

Стор. 223. В2 №4 Самостійна робота. Варіант 2. Знайди площу ромба ABCD, якщо висота BH ділить сторону AD на відрізки AH = 8 см, HD = 9 см.

AD = AH + HD = 8 + 9 = 17 (см); AB = AD = 17 см.

△ABH (∠H = 90°):

BH² = AB² – AH² = 289 – 64 = 225; BH = 15 см.

SABCD = AD · BH = 17 · 15 = 255 (см²).

Відповідь: 255 см².

Стор. 223. В3 №1 Самостійна робота. Варіант 3. Знайди периметр прямокутника, якщо його площа дорівнює 42 см², а одна зі сторін 7 см.

b = S : a = 42 : 7 = 6 (см).

P = 2 · (7 + 6) = 26 (см).

Відповідь: 26 см.

Стор. 223. В3 №2 Самостійна робота. Варіант 3. Висоти паралелограма дорівнюють 5 см і 6 см, а більша сторона 12 см. Знайди меншу сторону паралелограма.

До більшої сторони проведено меншу висоту:

S = 12 · 5 = 60 (см²).

Менша сторона: b = S : 6 = 60 : 6 = 10 (см).

Відповідь: 10 см.

Стор. 223. В3 №3 Самостійна робота. Варіант 3. Знайди площу рівнобічної трапеції, якщо її більша основа і бічна сторона дорівнюють відповідно 47 см і 17 см, а діагональ є бісектрисою гострого кута.

ABCD — рівнобічна трапеція, AD = 47 см, AB = CD = 17 см, AC — бісектриса ∠A.

∠CAD = ∠BCA (внутрішні різносторонні), тому ∠BAC = ∠BCA і △ABC — рівнобедрений: BC = AB = 17 см.

Проведемо BH ⊥ AD. AH = (AD – BC) : 2 = (47 – 17) : 2 = 15 (см).

△ABH (∠H = 90°):

BH² = AB² – AH² = 289 – 225 = 64; BH = 8 см.

SABCD = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}+\mathrm{AD}}{2}}$ · BH = ${\displaystyle \frac{17+47}{2}}$ · 8 = 256 (см²).

Відповідь: 256 см².

Стор. 223. В3 №4 Самостійна робота. Варіант 3. Знайди площу ромба ABCD, якщо висота AP ділить сторону CD на відрізки CP = 1 см, PD = 12 см.

CD = CP + PD = 1 + 12 = 13 (см); AD = CD = 13 см.

△APD (∠P = 90°):

AP² = AD² – PD² = 169 – 144 = 25; AP = 5 см.

SABCD = CD · AP = 13 · 5 = 65 (см²).

Відповідь: 65 см².

Стор. 223. В4 №1 Самостійна робота. Варіант 4. Знайди периметр прямокутника, якщо його площа дорівнює 56 см², а одна зі сторін 8 см.

b = S : a = 56 : 8 = 7 (см).

P = 2 · (8 + 7) = 30 (см).

Відповідь: 30 см.

Стор. 223. В4 №2 Самостійна робота. Варіант 4. Сторони паралелограма дорівнюють 14 см і 16 см, а більша з висот 8 см. Знайди меншу висоту паралелограма.

Більша висота проведена до меншої сторони:

S = 14 · 8 = 112 (см²).

Менша висота проведена до більшої сторони:

h = S : 16 = 112 : 16 = 7 (см).

Відповідь: 7 см.

Стор. 223. В4 №3 Самостійна робота. Варіант 4. Знайди площу рівнобічної трапеції, якщо її менша основа і бічна сторона дорівнюють відповідно 11 см і 25 см, а діагональ є бісектрисою тупого кута.

ABCD — рівнобічна трапеція, BC = 11 см, AB = CD = 25 см, BD — бісектриса ∠B.

∠CBD = ∠BDA (внутрішні різносторонні), тому ∠ABD = ∠BDA і △ABD — рівнобедрений: AD = AB = 25 см.

Проведемо BH ⊥ AD. AH = (AD – BC) : 2 = (25 – 11) : 2 = 7 (см).

△ABH (∠H = 90°):

BH² = AB² – AH² = 625 – 49 = 576; BH = 24 см.

SABCD = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}+\mathrm{AD}}{2}}$ · BH = ${\displaystyle \frac{11+25}{2}}$ · 24 = 432 (см²).

Відповідь: 432 см².

Стор. 223. В4 №4 Самостійна робота. Варіант 4. Знайди площу ромба ABCD, якщо висота DM ділить сторону AB на відрізки AM = 9 см, BM = 6 см.

AB = AM + BM = 9 + 6 = 15 (см); AD = AB = 15 см.

△AMD (∠M = 90°):

DM² = AD² – AM² = 225 – 81 = 144; DM = 12 см.

SABCD = AB · DM = 15 · 12 = 180 (см²).

Відповідь: 180 см².

Стор. 224. №1 Тестові завдання. Фігури називають рівновеликими, якщо в них рівні: А кути; Б сторони; В периметри; Г площі.

Рівновеликими називають фігури з рівними площами.

Відповідь: Г.

Стор. 224. №2 Тестові завдання. Площа рівнобедреного прямокутного трикутника з катетом 2a дорівнює: А a²; Б 2a²; В 4a²; Г 8a².

S = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 2a · 2a = 2a².

Відповідь: Б.

Стор. 224. №3 Тестові завдання. Висота паралелограма зі стороною a і площею S дорівнює: А a · S; Б a : S; В S : a; Г 2S : a.

S = ah, тому h = S : a.

Відповідь: В.

Стор. 224. №4 Тестові завдання. За якою з формул не визначають площу ромба? А a · h; Б ${\displaystyle \frac{1}{2}}$a · h; В ${\displaystyle \frac{1}{2}}$d₁ · d₂; Г p · r.

Площа ромба: S = ah, S = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$d₁d₂, S = pr (у ромб можна вписати коло). Формула S = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ah — для трикутника.

Відповідь: Б.

Стор. 224. №5 Тестові завдання. Знайди площу трапеції, основи якої 2 см і 8 см, а висота 5 см. А 50 см²; Б 80 см²; В 25 см²; Г 15 см².

S = ${\displaystyle \frac{2+8}{2}}$ · 5 = 25 (см²).

Відповідь: В.

Стор. 224. №6 Тестові завдання. Знайди периметр квадрата, якщо його площа дорівнює 4a². А a; Б 2a; В 4a; Г 8a.

Сторона квадрата ${\displaystyle \sqrt{4\mathrm{a}²}}$ = 2a.

P = 4 · 2a = 8a.

Відповідь: Г.

Стор. 224. №7 Тестові завдання. Площа рівностороннього трикутника зі стороною a дорівнює: А a²${\displaystyle \sqrt{3}}$ : 2; Б 3a²; В a²${\displaystyle \sqrt{3}}$ : 4; Г a²${\displaystyle \sqrt{3}}$.

S = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}²\sqrt{3}}{4}}$.

Відповідь: В.

Стор. 224. №8 Тестові завдання. Знайди площу ромба, діагоналі якого дорівнюють 4 см і 6 см. А 24 см²; Б 12 см²; В 20 см²; Г 8 см².

S = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 4 · 6 = 12 (см²).

Відповідь: Б.

Стор. 224. №9 Тестові завдання. AM — медіана △ABC. Який знак слід поставити замість *: S△ABC * 2S△ABM? А >; Б <; В =; Г не можна встановити.

Медіана ділить трикутник на два рівновеликі трикутники, тому S△ABC = 2S△ABM.

Відповідь: В.

Стор. 224. №10 Тестові завдання. Знайди периметр прямокутника, якщо його сторони відносяться як 2 : 5, а площа дорівнює 90 см². А 126 см; Б 21 см; В 42 см; Г 90 см.

Нехай сторони 2x і 5x, тоді 2x · 5x = 90;

10x² = 90;

x² = 9;

x = 3.

Сторони 6 см і 15 см; P = 2 · (6 + 15) = 42 (см).

Відповідь: В.

Стор. 225. №1 Типові задачі для тематичного контролю. Знайди площу прямокутника, діагональ якого дорівнює 10 см, а одна зі сторін 8 см. А 48 см²; Б 44 см²; В 60 см²; Г 80 см².

△ACD (∠D = 90°):

CD² = AC² – AD² = 100 – 64 = 36; CD = 6 см.

S = AD · CD = 8 · 6 = 48 (см²).

Відповідь: А.

Стор. 225. №2 Типові задачі для тематичного контролю. Знайди площу ромба, діагоналі якого дорівнюють 10 см і 6 см. А 8 см²; Б 32 см²; В 60 см²; Г 30 см².

S = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 10 · 6 = 30 (см²).

Відповідь: Г.

Стор. 225. №3 Типові задачі для тематичного контролю. Середня лінія трапеції дорівнює 15 см, а висота 6 см. Знайди площу трапеції. А 21 см²; Б 90 см²; В 180 см²; Г 45 см².

Площа трапеції дорівнює добутку середньої лінії на висоту.

S = 15 · 6 = 90 (см²).

Відповідь: Б.

Стор. 225. №4 Типові задачі для тематичного контролю. Установи відповідність між фігурами, заданими умовами (1–3), та їх площами (А–Д). 1 квадрат, діагональ якого дорівнює 10 см; 2 ромб, периметр якого 40 см, а одна з діагоналей 12 см; 3 рівнобічна трапеція з основами 10 см і 22 см та діагоналлю 20 см. А 24 см²; Б 50 см²; В 96 см²; Г 100 см²; Д 192 см².

1. S = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$d² = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 10² = 50 (см²) — Б.

2. Сторона ромба 40 : 4 = 10 (см). Половина відомої діагоналі 6 см. Половина другої діагоналі: ${\displaystyle \sqrt{10²-6²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{64}}$ = 8 (см); друга діагональ 16 см.

S = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 12 · 16 = 96 (см²) — В.

3. ABCD — трапеція, BC = 10 см, AD = 22 см, AC = 20 см, CK ⊥ AD.

KD = (22 – 10) : 2 = 6 (см), AK = 22 – 6 = 16 (см).

△ACK (∠K = 90°):

CK² = 400 – 256 = 144; CK = 12 см.

S = ${\displaystyle \frac{10+22}{2}}$ · 12 = 192 (см²) — Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – В, 3 – Д.

Стор. 225. №5 Типові задачі для тематичного контролю. Знайди периметр паралелограма, якщо його площа 120 см², а висоти дорівнюють 5 см і 6 см.

S = a · ha = b · hb.

a = 120 : 5 = 24 (см); b = 120 : 6 = 20 (см).

P = 2 · (24 + 20) = 88 (см).

Відповідь: 88 см.

Стор. 225. №6 Типові задачі для тематичного контролю. Знайди площу рівнобедреного трикутника, бічна сторона і основа якого пропорційні числам 17 і 16, а висота, проведена до основи, дорівнює 30 см.

Нехай AB = BC = 17x, AC = 16x, BK ⊥ AC, BK = 30 см. BK — і медіана: AK = 8x.

△ABK (∠K = 90°):

AB² = AK² + BK²;

289x² = 64x² + 900;

225x² = 900;

x² = 4;

x = 2.

AC = 16 · 2 = 32 (см).

S = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · AC · BK = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 32 · 30 = 480 (см²).

Відповідь: 480 см².

Стор. 225. №7 Типові задачі для тематичного контролю. Менша основа і бічна сторона рівнобічної трапеції відповідно дорівнюють 8 см і 12 см. Знайди площу трапеції, якщо її гострий кут дорівнює 60°.

ABCD — рівнобічна трапеція, BC = 8 см, AB = CD = 12 см, ∠A = 60°.

Проведемо BH ⊥ AD, CK ⊥ AD. △ABH (∠H = 90°): ∠ABH = 30°, тому AH = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AB = 6 см.

BH² = AB² – AH² = 144 – 36 = 108; BH = 6${\displaystyle \sqrt{3}}$ см.

KD = AH = 6 см, HK = BC = 8 см, AD = 6 + 8 + 6 = 20 (см).

SABCD = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}+\mathrm{AD}}{2}}$ · BH = ${\displaystyle \frac{8+20}{2}}$ · 6${\displaystyle \sqrt{3}}$ = 84${\displaystyle \sqrt{3}}$ (см²).

Відповідь: 84${\displaystyle \sqrt{3}}$ см².

Стор. 225. №8 Типові задачі для тематичного контролю. Точка дотику кола, вписаного в рівнобічну трапецію, ділить бічну сторону на відрізки 3 см і 12 см. Знайди площу трапеції.

ABCD — рівнобічна трапеція, K — точка дотику до AB, BK = 3 см, AK = 12 см; N і L — точки дотику до основ BC і AD.

Відрізки дотичних, проведених з однієї точки, рівні:

BN = BK = 3 см, AL = AK = 12 см.

Трапеція симетрична, тому BC = 2BN = 6 см, AD = 2AL = 24 см; AB = 3 + 12 = 15 (см).

Проведемо BH ⊥ AD. AH = (24 – 6) : 2 = 9 (см).

△ABH (∠H = 90°):

BH² = AB² – AH² = 225 – 81 = 144; BH = 12 см.

SABCD = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}+\mathrm{AD}}{2}}$ · BH = ${\displaystyle \frac{6+24}{2}}$ · 12 = 180 (см²).

Відповідь: 180 см².

Стор. 225. №9 Типові задачі для тематичного контролю. Додаткове завдання. Доведи, що площа рівнобічної трапеції дорівнює подвоєному добутку бічної сторони і радіуса вписаного в трапецію кола.

Нехай ABCD — рівнобічна трапеція, AB = CD = c, r — радіус вписаного кола.

Якщо в чотирикутник вписано коло, то суми його протилежних сторін рівні:

BC + AD = AB + CD = 2c.

Висота трапеції дорівнює діаметру вписаного кола:

h = 2r.

S = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}+\mathrm{AD}}{2}}$ · h = ${\displaystyle \frac{2\mathrm{c}}{2}}$ · 2r = 2cr.

Отже, площа трапеції дорівнює подвоєному добутку бічної сторони і радіуса вписаного кола.