Перевірте, як засвоїли матеріал розділу 2Геометрія 8 клас Бурда 2025 · стор. 106

КЗ №1. Доведіть теорему про суму кутів чотирикутника.

Теорема. Сума кутів чотирикутника дорівнює ${\displaystyle 360°}$.

Доведення. Нехай ${\displaystyle ABCD}$ — опуклий чотирикутник. Діагональ ${\displaystyle AC}$ ділить його на два трикутники ${\displaystyle ABC}$ і ${\displaystyle ACD}$.

Сума кутів кожного трикутника дорівнює ${\displaystyle 180°}$, а кути чотирикутника складаються з кутів цих трикутників.

Отже, ${\displaystyle \mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B+\mathrm{\angle }C+\mathrm{\angle }D=}$${\displaystyle 180°+180°=}$${\displaystyle 360°}$.

КЗ №2. Який чотирикутник називається паралелограмом?

Паралелограмом називається чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

${\displaystyle ABCD}$ — паралелограм, якщо ${\displaystyle AB\parallel CD}$ і ${\displaystyle BC\parallel AD}$.

КЗ №3. Назвіть властивості паралелограма.

У паралелограмі:

1) протилежні сторони рівні;

2) протилежні кути рівні;

3) сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює ${\displaystyle 180°}$;

4) діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

КЗ №4. Які ознаки паралелограма?

Чотирикутник є паралелограмом, якщо:

1) дві його протилежні сторони паралельні й рівні;

2) його протилежні сторони попарно рівні;

3) його діагоналі точкою перетину діляться навпіл;

4) його протилежні кути попарно рівні.

КЗ №5. Що таке прямокутник; ромб; квадрат; трапеція; рівнобічна трапеція?

Прямокутник — паралелограм, у якого всі кути прямі.

Ромб — паралелограм, у якого всі сторони рівні.

Квадрат — прямокутник, у якого всі сторони рівні.

Трапеція — чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші не паралельні.

Рівнобічна трапеція — трапеція, у якої бічні сторони рівні.

КЗ №6. Сформулюйте та доведіть теореми про властивості діагоналей прямокутника; ромба.

Прямокутник: діагоналі прямокутника рівні.

Доведення: ${\displaystyle \mathrm{△}ABD=}$${\displaystyle \mathrm{△}DCA}$ за двома катетами (${\displaystyle AB=}$${\displaystyle DC}$, ${\displaystyle AD}$ — спільний, ${\displaystyle \mathrm{\angle }A=}$${\displaystyle \mathrm{\angle }D=}$${\displaystyle 90°}$), тому ${\displaystyle BD=}$${\displaystyle AC}$.

Ромб: діагоналі ромба перпендикулярні й ділять його кути навпіл.

Доведення: у ромбі ${\displaystyle ABCD}$ трикутник ${\displaystyle ABC}$ рівнобедрений (${\displaystyle AB=}$${\displaystyle BC}$), а ${\displaystyle BO}$ — його медіана, бо діагоналі паралелограма діляться навпіл. Медіана рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є висотою і бісектрисою, тому ${\displaystyle BD\perp AC}$ і ${\displaystyle \mathrm{\angle }ABO=}$${\displaystyle \mathrm{\angle }CBO}$.

КЗ №7. Які властивості квадрата?

Квадрат має всі властивості прямокутника і ромба:

1) усі сторони рівні, усі кути прямі;

2) діагоналі рівні, перпендикулярні, точкою перетину діляться навпіл;

3) діагоналі ділять кути квадрата навпіл, тобто утворюють зі сторонами кути по ${\displaystyle 45°}$.

КЗ №8. Доведіть теореми про властивості середньої лінії трикутника; трапеції.

Середня лінія трикутника паралельна третій стороні й дорівнює її половині.

Доведення: нехай ${\displaystyle MN}$ — середня лінія ${\displaystyle \mathrm{△}ABC}$ (${\displaystyle M\in AB}$, ${\displaystyle N\in BC}$). Продовжимо ${\displaystyle MN}$ за точку ${\displaystyle N}$ на ${\displaystyle NK=}$${\displaystyle MN}$. ${\displaystyle \mathrm{△}MBN=}$${\displaystyle \mathrm{△}KCN}$ (за двома сторонами й кутом між ними), тому ${\displaystyle CK=}$${\displaystyle MB=}$${\displaystyle AM}$ і ${\displaystyle CK\parallel AB}$. Отже, ${\displaystyle AMKC}$ — паралелограм, звідки ${\displaystyle MN\parallel AC}$ і ${\displaystyle MN=}$${\displaystyle \frac{1}{2}MK=}$${\displaystyle \frac{1}{2}AC}$.

Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі: ${\displaystyle m=}$${\displaystyle \frac{a+b}{2}}$.

Доведення: проведемо пряму через вершину ${\displaystyle B}$ і середину ${\displaystyle N}$ бічної сторони ${\displaystyle CD}$ до перетину з прямою ${\displaystyle AD}$ у точці ${\displaystyle K}$. Тоді ${\displaystyle \mathrm{△}BCN=}$${\displaystyle \mathrm{△}KDN}$, тож ${\displaystyle BN=}$${\displaystyle NK}$, ${\displaystyle DK=}$${\displaystyle BC}$. Отже, ${\displaystyle MN}$ — середня лінія ${\displaystyle \mathrm{△}ABK}$, тому ${\displaystyle MN\parallel AD}$ і ${\displaystyle MN=}$${\displaystyle \frac{AK}{2}=}$${\displaystyle \frac{AD+BC}{2}}$.

КЗ №9. Який кут називається центральним?

Центральним кутом називається кут з вершиною в центрі кола.

Градусна міра центрального кута дорівнює градусній мірі дуги, на яку він спирається.

КЗ №10. Який кут називається вписаним у коло?

Вписаним кутом називається кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають коло.

КЗ №11. Доведіть, що вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку він спирається.

Розглянемо випадок, коли одна сторона вписаного кута ${\displaystyle ABC}$ проходить через центр ${\displaystyle O}$ кола.

${\displaystyle \mathrm{△}OBC}$ рівнобедрений (${\displaystyle OB=}$${\displaystyle OC}$), тому ${\displaystyle \mathrm{\angle }OBC=}$${\displaystyle \mathrm{\angle }OCB}$.

Центральний кут ${\displaystyle AOC}$ — зовнішній кут ${\displaystyle \mathrm{△}OBC}$, тому ${\displaystyle \mathrm{\angle }AOC=}$${\displaystyle \mathrm{\angle }OBC+\mathrm{\angle }OCB=}$${\displaystyle 2\mathrm{\angle }ABC}$.

Отже, ${\displaystyle \mathrm{\angle }ABC=}$${\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{\angle }AOC=}$${\displaystyle \frac{1}{2}⌣AC}$.

Якщо центр лежить усередині або поза кутом, проводимо діаметр ${\displaystyle BD}$ і знаходимо кут як суму або різницю двох таких кутів.

КЗ №12. Який чотирикутник називається вписаним у коло; описаним навколо кола?

Вписаним у коло називається чотирикутник, усі вершини якого лежать на колі.

Описаним навколо кола називається чотирикутник, усі сторони якого дотикаються до кола.

КЗ №13. Які властивості вписаного чотирикутника; описаного чотирикутника?

Вписаний чотирикутник: сума його протилежних кутів дорівнює ${\displaystyle 180°}$: ${\displaystyle \mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }C=}$${\displaystyle \mathrm{\angle }B+\mathrm{\angle }D=}$${\displaystyle 180°}$.

Описаний чотирикутник: суми його протилежних сторін рівні: ${\displaystyle AB+CD=}$${\displaystyle BC+AD}$.

КЗ №14. Яка ознака вписаного чотирикутника; описаного чотирикутника?

Якщо сума протилежних кутів чотирикутника дорівнює ${\displaystyle 180°}$, то навколо нього можна описати коло.

Якщо суми протилежних сторін опуклого чотирикутника рівні, то в нього можна вписати коло.

№ 1. 1. Знайдіть тупий кут паралелограма, якщо його гострий кут дорівнює 30°. А. 60°. Б. 120°. В. 150°. Г. 180°.

Тупий кут дорівнює 180° – 30° = 150°

(сума кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180°).

Відповідь: В.

№ 1. 2. За якої з наведених умов чотирикутник є паралелограмом? А. Дві протилежні сторони – рівні. Б. Одна з діагоналей ділить іншу навпіл. В. Дві протилежні сторони – паралельні. Г. Діагоналі діляться точкою їх перетину навпіл.

Ознака паралелограма: якщо діагоналі чотирикутника точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник – паралелограм.

Відповідь: Г.

№ 1. 3. Діагональ прямокутника дорівнює 10 см й утворює зі стороною кут 30°. Знайдіть меншу сторону прямокутника. А. 15 см. Б. 5 см. В. 20 см. Г. 6 см.

CD – менша сторона, бо в прямокутному △ACD кут 30° – менший гострий кут, тому навпроти нього лежить менша сторона.

Катет CD лежить проти кута 30°, тому

CD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AC = 10 : 2 = 5 (см).

Відповідь: Б.

№ 1. 4. Знайдіть гострий кут ромба, якщо його периметр дорівнює 24 см, а висота – 3 см. А. 60°. Б. 90°. В. 30°. Г. 45°.

ABCD – ромб, PABCD = 24 см, тому

AB = AD = 24 : 4 = 6 (см).

BK ⊥ AD, BK = 3 см.

У прямокутному △ABK: BK = 3 см – катет,

AB = 6 см – гіпотенуза.

Катет BK дорівнює половині гіпотенузи, отже, він лежить навпроти кута 30°.

Тому ∠A = 30°.

Відповідь: В.

№ 1. 5. Бісектриса кута A паралелограма ABCD перетинає сторону BC в точці K. Знайдіть периметр паралелограма, якщо BK = 12 см, KC = 8 см. А. 20 см. Б. 40 см. В. 44 см. Г. 64 см.

BC ∥ AD, AK – січна, тому ∠BKA = ∠KAD (внутрішні різносторонні кути).

∠KAD = ∠BAK (AK – бісектриса ∠A).

Звідси ∠BAK = ∠BKA, тому △BKA – рівнобедрений.

AB = BK = 12 см.

BC = BK + KC = 12 + 8 = 20 (см).

PABCD = (12 + 20) · 2 = 64 (см).

Відповідь: Г.

№ 2. 1. Знайдіть вписаний кут, якщо дуга, на яку він спирається, дорівнює 150°. А. 150°. Б. 75°. В. 90°. Г. 85°.

Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку він спирається:

α = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · 150° = 75°.

Відповідь: Б.

№ 2. 2. Точки M і N – середини сторін AB і BC трикутника ABC. Знайдіть сторону AC трикутника, якщо MN = 4 см. А. 8 см. Б. 12 см. В. 2 см. Г. 6 см.

MN – середня лінія △ABC, тому

MN ∥ AC,

MN = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AC.

Тоді AC = 2MN = 2 · 4 = 8 (см).

Відповідь: А.

№ 2. 3. Сума двох протилежних сторін описаного чотирикутника дорівнює 10 см. Знайдіть периметр чотирикутника. А. 10 см. Б. 20 см. В. 30 см. Г. 40 см.

Суми протилежних сторін описаного чотирикутника рівні, тому

P = 2 · 10 = 20 (см).

Відповідь: Б.

№ 2. 4. Кути A, B і C вписаного чотирикутника ABCD відносяться як 1 : 2 : 3. Знайдіть кут D. А. 30°. Б. 60°. В. 120°. Г. 90°.

Нехай ∠A = x, ∠B = 2x, ∠C = 3x.

Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює 180°, тому ∠A + ∠C = 180°:

x + 3x = 180°;

4x = 180°;

x = 45°.

∠B = 2x = 2 · 45° = 90°.

∠B + ∠D = 180°, тому

∠D = 180° – ∠B = 180° – 90° = 90°.

Відповідь: Г.

№ 2. 5. Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою гострого кута, а основи дорівнюють 5 см і 12 см. Знайдіть периметр трапеції. А. 17 см. Б. 22 см. В. 25 см. Г. 27 см.

∠BAC = ∠CAD (AC – бісектриса ∠A).

∠CAD = ∠BCA (внутрішні різносторонні кути при BC ∥ AD і січній AC).

Звідси ∠BAC = ∠BCA, тому △ABC – рівнобедрений.

AB = BC = 5 см.

CD = AB = 5 см (трапеція рівнобічна).

PABCD = AB + BC + CD + AD = 5 + 5 + 5 + 12 = 27 (см).

Відповідь: Г.