Підсумкові завдання (с. 126–129): відповідіГеометрія 8 клас Бевз 2025 · стор. 126

Стор. 126. 1-А Задачі за готовими малюнками. MN ∥ AC, BM = 3, MN = 7, AC = 21. Знайти: AM.

MN ∥ AC, тому △MBN ~ △ABC (основна теорема про подібність трикутників).

${\displaystyle \frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{BA}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{AC}}}$;

${\displaystyle \frac{3}{\mathrm{BA}}}$ = ${\displaystyle \frac{7}{21}}$;

BA = ${\displaystyle \frac{3\cdot 21}{7}}$ = 9.

AM = BA – BM = 9 – 3 = 6.

Відповідь: 6.

Стор. 126. 1-Б Задачі за готовими малюнками. KP ∥ AC, AC = 5, PK = 3. Знайти: PC : BC, PB : PC.

∠PBK = ∠CBA — вертикальні, ∠BPK = ∠BCA — внутрішні різносторонні при KP ∥ AC і січній PC.

Отже, △PBK ~ △CBA (за двома кутами), k = ${\displaystyle \frac{\mathrm{PK}}{\mathrm{AC}}}$ = ${\displaystyle \frac{3}{5}}$.

${\displaystyle \frac{\mathrm{PB}}{\mathrm{BC}}}$ = ${\displaystyle \frac{3}{5}}$. Нехай PB = 3x, BC = 5x, тоді PC = PB + BC = 8x.

PC : BC = 8x : 5x = 8 : 5;

PB : PC = 3x : 8x = 3 : 8.

Відповідь: 8 : 5; 3 : 8.

Стор. 126. 2-А Задачі за готовими малюнками. AB ∥ CD. Довести: OC · OB = OA · OD.

∠AOB = ∠COD — вертикальні;

∠ABO = ∠CDO — внутрішні різносторонні при AB ∥ CD і січній BD.

Отже, △AOB ~ △COD (за двома кутами).

Тоді ${\displaystyle \frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OD}}}$, звідки OA · OD = OC · OB, що й треба було довести.

Стор. 126. 2-Б Задачі за готовими малюнками. ▱ABCD, BH ⊥ AD, BK ⊥ CD, BK : BH = 1 : 2. Знайти: AB : BC.

△ABH і △CBK — прямокутні (∠H = ∠K = 90°), ∠A = ∠C — протилежні кути паралелограма.

Отже, △ABH ~ △CBK (за гострим кутом).

${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{BK}}}$ = ${\displaystyle \frac{2}{1}}$.

Відповідь: AB : BC = 2 : 1.

Стор. 126. 3-А Задачі за готовими малюнками. AC ⊥ CB, CH ⊥ AB, AH = 1, HB = 4. Знайти: AC, CB, HC.

AB = AH + HB = 1 + 4 = 5.

AC² = AB · AH = 5 · 1 = 5; AC = ${\displaystyle \sqrt{5}}$.

CB² = AB · HB = 5 · 4 = 20; CB = 2${\displaystyle \sqrt{5}}$.

HC² = AH · HB = 1 · 4 = 4; HC = 2.

Відповідь: ${\displaystyle \sqrt{5}}$; 2${\displaystyle \sqrt{5}}$; 2.

Стор. 126. 3-Б Задачі за готовими малюнками. O — точка перетину медіан, MN ∥ AC, BM = 5, MN = 7. Знайти: AB, AC.

Нехай BK — медіана △ABC; вона проходить через O, і BO : OK = 2 : 1, тому BO : BK = 2 : 3.

MN ∥ AC, тому △MBN ~ △ABC, k = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{BK}}}$ = ${\displaystyle \frac{2}{3}}$.

AB = BM : ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ = 5 · ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ = 7,5;

AC = MN : ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ = 7 · ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ = 10,5.

Відповідь: 7,5; 10,5.

Стор. 126. 4-А Задачі за готовими малюнками. AB = BC, AB : AC = 8 : 6, BK = 22, O — центр вписаного кола. Знайти: OK.

BK — висота і медіана рівнобедреного △ABC, тому AK = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AC.

AB : AK = 8 : 3. AO — бісектриса кута A трикутника ABK.

За властивістю бісектриси: ${\displaystyle \frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{OK}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AK}}}$ = ${\displaystyle \frac{8}{3}}$.

OK = ${\displaystyle \frac{3}{11}}$BK = ${\displaystyle \frac{3\cdot 22}{11}}$ = 6.

Відповідь: 6.

Стор. 126. 4-Б Задачі за готовими малюнками. AK : KB = 3 : 1, OD = 10, OK = KB. Знайти: CK, KD.

CD — діаметр, OC = OD = 10, CD = 20.

Нехай KB = x, тоді OK = x, AK = 3x, CK = 10 – x, KD = 10 + x.

За властивістю хорд: AK · KB = CK · KD;

3x · x = (10 – x)(10 + x);

3x² = 100 – x²;

4x² = 100;

x = 5.

CK = 10 – 5 = 5; KD = 10 + 5 = 15.

Відповідь: 5; 15.

Стор. 127. В1 №1 Самостійна робота. Варіант 1. На сторонах AB і AC △ABC взято точки M і N так, що MN ∥ BC. Знайди MN, якщо AM = 6 см, BM = 4 см, BC = 15 см.

AB = AM + BM = 6 + 4 = 10 (см).

MN ∥ BC, тому △AMN ~ △ABC.

${\displaystyle \frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{BC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}}$;

${\displaystyle \frac{\mathrm{MN}}{15}}$ = ${\displaystyle \frac{6}{10}}$;

MN = ${\displaystyle \frac{15\cdot 6}{10}}$ = 9 (см).

Відповідь: 9 см.

Стор. 127. В1 №2 Самостійна робота. Варіант 1. Хорди AB і CD перетинаються в точці M так, що AM = 8 см, BM = 12 см, CM = 6 см. Знайди MD.

За властивістю хорд: AM · BM = CM · MD;

8 · 12 = 6 · MD;

MD = ${\displaystyle \frac{96}{6}}$ = 16 (см).

Відповідь: 16 см.

Стор. 127. В1 №3 Самостійна робота. Варіант 1. Укажи трикутник, подібний △ABC, і доведи, що вони подібні (мал. 12.18).

△ABC ~ △ATK:

∠A — спільний, ∠ACB = ∠AKT = 90°.

Отже, △ABC ~ △ATK за гострим кутом.

Так само △ABC ~ △PBK (∠B — спільний, ∠ACB = ∠PKB = 90°).

Стор. 127. В1 №4 Самостійна робота. Варіант 1. У △ABC сторона AB на 15 см менша від BC. Знайди периметр трикутника, якщо бісектриса ∠B ділить сторону AC на відрізки 4 см і 14 см.

BD — бісектриса, AD = 4 см, DC = 14 см, AC = 18 см.

За властивістю бісектриси: ${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DC}}}$ = ${\displaystyle \frac{4}{14}}$ = ${\displaystyle \frac{2}{7}}$.

Нехай AB = 2x, BC = 7x. BC – AB = 15;

7x – 2x = 15;

5x = 15;

x = 3.

AB = 6 см; BC = 21 см.

P = 6 + 21 + 18 = 45 (см).

Відповідь: 45 см.

Стор. 127. В2 №1 Самостійна робота. Варіант 2. На сторонах AB і BC △ABC взято точки E і F так, що EF ∥ AC. Знайди AB, якщо EF = 5 см, BE = 4 см, AC = 8 см.

EF ∥ AC, тому △EBF ~ △ABC.

${\displaystyle \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{BA}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{AC}}}$;

${\displaystyle \frac{4}{\mathrm{AB}}}$ = ${\displaystyle \frac{5}{8}}$;

AB = ${\displaystyle \frac{4\cdot 8}{5}}$ = 6,4 (см).

Відповідь: 6,4 см.

Стор. 127. В2 №2 Самостійна робота. Варіант 2. Хорди KM і DE перетинаються в точці B так, що KB = 3 см, BM = 16 см, BE = 12 см. Знайди BD.

За властивістю хорд: KB · BM = DB · BE;

3 · 16 = BD · 12;

BD = ${\displaystyle \frac{48}{12}}$ = 4 (см).

Відповідь: 4 см.

Стор. 127. В2 №3 Самостійна робота. Варіант 2. Укажи трикутник, подібний △AKT, і доведи, що вони подібні (мал. 12.18).

△AKT ~ △ACB:

∠A — спільний, ∠AKT = ∠ACB = 90°.

Отже, △AKT ~ △ACB за гострим кутом.

Так само △AKT ~ △PCT (∠T — спільний, ∠AKT = ∠PCT = 90°).

Стор. 127. В2 №4 Самостійна робота. Варіант 2. У △ABC AB = 12 см, BC = 24 см, AC = 30 см. Знайди відрізки, на які бісектриса ∠B ділить сторону AC.

BD — бісектриса. За властивістю бісектриси:

${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}}$ = ${\displaystyle \frac{12}{24}}$ = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Нехай AD = x, DC = 2x;

x + 2x = 30;

x = 10.

AD = 10 см; DC = 20 см.

Відповідь: 10 см і 20 см.

Стор. 127. В3 №1 Самостійна робота. Варіант 3. На сторонах AC і BC △ABC взято точки K і P так, що PK ∥ AB. Знайди AB, якщо CK = 5 см, AK = 4 см, PK = 3 см.

AC = CK + AK = 5 + 4 = 9 (см).

PK ∥ AB, тому △KCP ~ △ACB.

${\displaystyle \frac{\mathrm{CK}}{\mathrm{CA}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{KP}}{\mathrm{AB}}}$;

${\displaystyle \frac{5}{9}}$ = ${\displaystyle \frac{3}{\mathrm{AB}}}$;

AB = ${\displaystyle \frac{3\cdot 9}{5}}$ = 5,4 (см).

Відповідь: 5,4 см.

Стор. 127. В3 №2 Самостійна робота. Варіант 3. Хорди AB і KP перетинаються в точці C так, що KC = 8 см, CP = 10 см, CB = 5 см. Знайди AC.

За властивістю хорд: AC · CB = KC · CP;

AC · 5 = 8 · 10;

AC = ${\displaystyle \frac{80}{5}}$ = 16 (см).

Відповідь: 16 см.

Стор. 127. В3 №3 Самостійна робота. Варіант 3. Укажи трикутник, подібний △KBP, і доведи, що вони подібні (мал. 12.18).

△KBP ~ △CTP:

∠KPB = ∠CPT — вертикальні, ∠BKP = ∠TCP = 90°.

Отже, △KBP ~ △CTP за гострим кутом.

Так само △KBP ~ △CBA (∠B — спільний, ∠BKP = ∠BCA = 90°).

Стор. 127. В3 №4 Самостійна робота. Варіант 3. У △ABC сторона AC на 6 см більша за AB. Знайди периметр трикутника, якщо бісектриса ∠A ділить сторону BC на відрізки 5 см і 10 см.

AD — бісектриса, BD = 5 см, DC = 10 см, BC = 15 см.

За властивістю бісектриси: ${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}}$ = ${\displaystyle \frac{5}{10}}$ = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Нехай AB = x, AC = 2x. AC – AB = 6;

2x – x = 6;

x = 6.

AB = 6 см; AC = 12 см.

P = 6 + 12 + 15 = 33 (см).

Відповідь: 33 см.

Стор. 127. В4 №1 Самостійна робота. Варіант 4. На сторонах AB і BC △ABC взято точки D і E так, що DE ∥ AC. Знайди BE, якщо AD = 7 см, BD = 3 см, BC = 15 см.

AB = AD + BD = 7 + 3 = 10 (см).

DE ∥ AC, тому △DBE ~ △ABC.

${\displaystyle \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BA}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{BC}}}$;

${\displaystyle \frac{3}{10}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BE}}{15}}$;

BE = ${\displaystyle \frac{3\cdot 15}{10}}$ = 4,5 (см).

Відповідь: 4,5 см.

Стор. 127. В4 №2 Самостійна робота. Варіант 4. Хорди EF і CD перетинаються в точці L так, що EL = 15 см, CL = 10 см, LD = 12 см. Знайди LF.

За властивістю хорд: EL · LF = CL · LD;

15 · LF = 10 · 12;

LF = ${\displaystyle \frac{120}{15}}$ = 8 (см).

Відповідь: 8 см.

Стор. 127. В4 №3 Самостійна робота. Варіант 4. Укажи трикутник, подібний △CPT, і доведи, що вони подібні (мал. 12.18).

△CPT ~ △KPB:

∠CPT = ∠KPB — вертикальні, ∠PCT = ∠PKB = 90°.

Отже, △CPT ~ △KPB за гострим кутом.

Так само △CPT ~ △KAT (∠T — спільний, ∠PCT = ∠AKT = 90°).

Стор. 127. В4 №4 Самостійна робота. Варіант 4. У △ABC AB = 20 см, BC = 6 см, AC = 24 см. Знайди відрізки, на які бісектриса ∠C ділить сторону AB.

CD — бісектриса. За властивістю бісектриси:

${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}}$ = ${\displaystyle \frac{24}{6}}$ = ${\displaystyle \frac{4}{1}}$.

Нехай DB = x, AD = 4x;

4x + x = 20;

x = 4.

AD = 16 см; DB = 4 см.

Відповідь: 16 см і 4 см.

Стор. 128. №1 Тестові завдання. Знайди AO, якщо OC : CD = 5 : 3, BO = 16 см (мал. 12.19, AC ∥ BD). А 10 см; Б 6 см; В 12 см; Г 5 см.

За узагальненою теоремою Фалеса:

OA : AB = OC : CD = 5 : 3.

Тоді OA : OB = 5 : 8;

AO = ${\displaystyle \frac{5}{8}}$ · 16 = 10 (см).

Відповідь: А.

Стор. 128. №2 Тестові завдання. Знайди відношення AO : AB, якщо AC : BD = 3 : 5 (мал. 12.19, AC ∥ BD). А 3 : 2; Б 2 : 3; В 3 : 5; Г 5 : 3.

△OAC ~ △OBD, тому OA : OB = AC : BD = 3 : 5.

Нехай OA = 3x, OB = 5x, тоді AB = 2x.

AO : AB = 3 : 2.

Відповідь: А.

Стор. 128. №3 Тестові завдання. OA : AB = 3 : 2. Яке з тверджень хибне (мал. 12.19, AC ∥ BD)? А OC : CD = 3 : 2; Б OA : OB = 3 : 5; В AC : BD = 3 : 2; Г OD : OC = 5 : 3.

OA : AB = 3 : 2, тоді OA : OB = 3 : 5 і OC : CD = 3 : 2, OD : OC = 5 : 3.

△OAC ~ △OBD, тому AC : BD = OA : OB = 3 : 5, а не 3 : 2.

Хибне твердження — В.

Відповідь: В.

Стор. 128. №4 Тестові завдання. AO = 4 см, AB = 3 см. Знайди периметр △OAC, якщо P△BOD = 21 см (мал. 12.19, AC ∥ BD). А 12 см; Б 36,75 см; В 28 см; Г 15,75 см.

OB = AO + AB = 4 + 3 = 7 (см).

△OAC ~ △OBD, k = ${\displaystyle \frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OB}}}$ = ${\displaystyle \frac{4}{7}}$.

P△OAC = ${\displaystyle \frac{4}{7}}$ · 21 = 12 (см).

Відповідь: А.

Стор. 128. №5 Тестові завдання. Знайди коефіцієнт подібності трикутників OBD і OAC, якщо OA = 10 см, AB = 6 см (мал. 12.19, AC ∥ BD). А k = ${\displaystyle \frac{5}{3}}$; Б k = ${\displaystyle \frac{3}{5}}$; В k = ${\displaystyle \frac{8}{3}}$; Г k = ${\displaystyle \frac{8}{5}}$.

OB = OA + AB = 10 + 6 = 16 (см).

k = ${\displaystyle \frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OA}}}$ = ${\displaystyle \frac{16}{10}}$ = ${\displaystyle \frac{8}{5}}$.

Відповідь: Г.

Стор. 128. №6 Тестові завдання. AC = 5 см, BD = 7 см. Знайди CD, якщо OD = 14 см (мал. 12.19, AC ∥ BD). А 10 см; Б 8${\displaystyle \frac{1}{6}}$ см; В 4 см; Г 5${\displaystyle \frac{5}{6}}$ см.

△OAC ~ △OBD, тому ${\displaystyle \frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{OD}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BD}}}$ = ${\displaystyle \frac{5}{7}}$;

OC = ${\displaystyle \frac{5}{7}}$ · 14 = 10 (см).

CD = OD – OC = 14 – 10 = 4 (см).

Відповідь: В.

Стор. 128. №7 Тестові завдання. Медіани AA₁ і BB₁ △ABC перетинаються в точці O. Знайди відношення A₁O : A₁A. А 1 : 2; Б 2 : 1; В 3 : 1; Г 1 : 3.

AO : OA₁ = 2 : 1, тому A₁O = ${\displaystyle \frac{1}{3}}$A₁A.

A₁O : A₁A = 1 : 3.

Відповідь: Г.

Стор. 128. №8 Тестові завдання. Сторони трикутника дорівнюють 6 см, 18 см і 20 см. У якому відношенні ділить сторону бісектриса, проведена з вершини найбільшого кута? А 1 : 3; Б 3 : 5; В 5 : 9; Г 1 : 2.

Найбільший кут лежить проти найбільшої сторони 20 см; його прилеглі сторони — 6 см і 18 см.

Бісектриса ділить сторону 20 см на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам:

6 : 18 = 1 : 3.

Відповідь: А.

Стор. 128. №9 Тестові завдання. AM — бісектриса △ABC (∠C = 90°, M ∈ BC). Який знак слід поставити замість *: CM * MB? А <; Б >; В =; Г ≤.

За властивістю бісектриси: ${\displaystyle \frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{MB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}}$.

AC — катет, AB — гіпотенуза, AC < AB, тому CM < MB.

Відповідь: А.

Стор. 128. №10 Тестові завдання. Проєкції катетів на гіпотенузу в прямокутному трикутнику дорівнюють 2 см і 8 см. Знайди довжину висоти, проведеної з вершини прямого кута. А 10 см; Б 16 см; В 4 см; Г 5 см.

CH² = AH · HB = 2 · 8 = 16; CH = 4 см.

Відповідь: В.

Стор. 129. №1 Типові задачі для тематичного контролю. △ABC ~ △A₁B₁C₁. Знайди сторону AC, якщо AB = 15 см, A₁B₁ = 30 см, A₁C₁ = 48 см. А 48 см; Б 24 см; В 60 см; Г 96 см.

${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{A}₁\mathrm{C}₁}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A}₁\mathrm{B}₁}}$;

${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{48}}$ = ${\displaystyle \frac{15}{30}}$;

AC = 24 см.

Відповідь: Б.

Стор. 129. №2 Типові задачі для тематичного контролю. Сторони трикутника дорівнюють 3 см, 5 см і 7 см. Знайди найменшу сторону подібного йому трикутника, периметр якого дорівнює 75 см. А 49 см; Б 35 см; В 21 см; Г 15 см.

P = 3 + 5 + 7 = 15 (см).

Відношення периметрів подібних трикутників дорівнює коефіцієнту подібності:

k = ${\displaystyle \frac{75}{15}}$ = 5.

Найменша сторона: 3 · 5 = 15 (см).

Відповідь: Г.

Стор. 129. №3 Типові задачі для тематичного контролю. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 6 см і 10 см, а бічні сторони 4 см. На скільки треба продовжити бічні сторони, щоб вони перетнулися? А 24 см; Б 2,4 см; В 6 см; Г 1,5 см.

Нехай продовження бічних сторін перетинаються в точці O, OB = x.

BC ∥ AD, тому △OBC ~ △OAD.

${\displaystyle \frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OA}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AD}}}$;

${\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+4}}$ = ${\displaystyle \frac{6}{10}}$;

10x = 6x + 24;

4x = 24;

x = 6.

Відповідь: В.

Стор. 129. №4 Типові задачі для тематичного контролю. Хорди AB і CK кола перетинаються в точці E так, що AE : BE = 2 : 3, CE = AE і KE = 12 см. Установи відповідність між відрізками (1–3) та їх довжинами (А–Д). 1 AE; 2 BE; 3 CK. А 4 см; Б 8 см; В 6 см; Г 12 см; Д 20 см.

За властивістю хорд: AE · BE = CE · KE. CE = AE, тому BE = KE = 12 см.

AE : BE = 2 : 3;

AE = ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ · 12 = 8 (см);

CE = 8 см.

CK = CE + KE = 8 + 12 = 20 (см).

Відповідь: 1 – Б; 2 – Г; 3 – Д.

Стор. 129. №5 Типові задачі для тематичного контролю. Через точку O перетину діагоналей трапеції ABCD проведено пряму, яка перетинає основи AD і BC у точках M і N відповідно. Доведи, що △AOM ~ △CON.

∠AOM = ∠CON — вертикальні;

∠MAO = ∠NCO — внутрішні різносторонні при AD ∥ BC і січній AC.

Отже, △AOM ~ △CON за двома кутами, що й треба було довести.

Стор. 129. №6 Типові задачі для тематичного контролю. З вершини B прямокутника ABCD опущено перпендикуляр BK на діагональ AC. Знайди AC, якщо BK = 12 см і AK : KC = 4 : 9.

△ABC — прямокутний (∠B = 90°), BK — висота, проведена до гіпотенузи.

BK² = AK · KC. Нехай AK = 4x, KC = 9x.

12² = 4x · 9x;

36x² = 144;

x² = 4;

x = 2.

AK = 8 см;

KC = 18 см;

AC = 8 + 18 = 26 (см).

Відповідь: 26 см.

Стор. 129. №7 Типові задачі для тематичного контролю. З вершини тупого кута паралелограма на його сторони опущено перпендикуляри завдовжки 5 см і 8 см. Знайди сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює 78 см.

ABCD — паралелограм, ∠B — тупий, BK ⊥ AD, BF ⊥ CD, BK = 5 см, BF = 8 см.

△ABK ~ △CBF (∠K = ∠F = 90°, ∠A = ∠C — протилежні кути паралелограма).

${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BK}}{\mathrm{BF}}}$ = ${\displaystyle \frac{5}{8}}$. Нехай AB = 5x, BC = 8x.

2(5x + 8x) = 78;

26x = 78;

x = 3.

AB = CD = 15 см; BC = AD = 24 см.

Відповідь: 15 см і 24 см.

Стор. 129. №8 Типові задачі для тематичного контролю. У △ABC (мал. 12.20) зі сторонами AB = 12 см і AC = 15 см вписано паралелограм так, що один кут у них спільний. Знайди сторони паралелограма, якщо одна з них на 6 см більша за другу.

AMNP — паралелограм, M ∈ AB, N ∈ BC, P ∈ AC; MN ∥ AC, MN = AP, AM = PN.

MN ∥ AC, тому △MBN ~ △ABC: ${\displaystyle \frac{\mathrm{MB}}{\mathrm{AB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{AC}}}$.

1 випадок: AM = x, MN = x + 6, MB = 12 – x.

${\displaystyle \frac{12-\mathrm{x}}{12}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{x}+6}{15}}$;

15(12 – x) = 12(x + 6);

180 – 15x = 12x + 72;

27x = 108;

x = 4.

AM = 4 см; MN = 10 см.

2 випадок: MN = y, AM = y + 6, MB = 6 – y.

${\displaystyle \frac{6-\mathrm{y}}{12}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{y}}{15}}$;

15(6 – y) = 12y;

90 = 27y;

y = 3${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

MN = 3${\displaystyle \frac{1}{3}}$ см; AM = 9${\displaystyle \frac{1}{3}}$ см.

Відповідь: 4 см і 10 см (як на мал. 12.20) або 9${\displaystyle \frac{1}{3}}$ см і 3${\displaystyle \frac{1}{3}}$ см.

Стор. 129. №9 Типові задачі для тематичного контролю. Додаткове завдання. У трикутник вписано півколо, яке дотикається до двох сторін трикутника і центр якого ділить третю сторону на відрізки 7,5 см і 10,5 см. Знайди сторони трикутника, якщо його периметр 42 см.

Нехай O — центр півкола, O ∈ AC, AO = 7,5 см, OC = 10,5 см, AC = 18 см. OK ⊥ AB, OF ⊥ BC, OK = OF.

Точка O рівновіддалена від сторін кута B, тому BO — бісектриса кута B.

За властивістю бісектриси: ${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{OC}}}$ = ${\displaystyle \frac{7,5}{10,5}}$ = ${\displaystyle \frac{5}{7}}$.

AB + BC = 42 – 18 = 24 (см). Нехай AB = 5x, BC = 7x;

12x = 24;

x = 2.

AB = 10 см; BC = 14 см; AC = 18 см.

Відповідь: 10 см, 14 см, 18 см.