Перевірте, як засвоїли матеріал розділу 3Геометрія 8 клас Бурда 2025 · стор. 158

КЗ №1. Які трикутники називаються подібними?

Подібними називаються трикутники, у яких відповідні кути рівні, а відповідні сторони пропорційні.

КЗ №2. Як записати, що два трикутники подібні з коефіцієнтом k?

${\displaystyle \mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}_1{B}_1{C}_1}$, де ${\displaystyle \frac{AB}{A_1{B}_1}=}$${\displaystyle \frac{BC}{B_1{C}_1}=}$${\displaystyle \frac{AC}{A_1{C}_1}=}$${\displaystyle k}$.

Число ${\displaystyle k}$ називають коефіцієнтом подібності.

КЗ №3. Поясніть, як скласти відношення відповідних сторін двох подібних трикутників.

Відповідні сторони лежать проти рівних кутів. Записуємо трикутники так, щоб вершини з рівними кутами стояли на однакових місцях (${\displaystyle \mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}_1{B}_1{C}_1}$), і ділимо сторону першого трикутника на відповідну сторону другого:

${\displaystyle \frac{AB}{A_1{B}_1}=}$${\displaystyle \frac{BC}{B_1{C}_1}=}$${\displaystyle \frac{AC}{A_1{C}_1}}$.

КЗ №4. Чому дорівнює коефіцієнт подібності рівних трикутників?

Відповідні сторони рівних трикутників рівні, тому їх відношення дорівнює ${\displaystyle 1}$: ${\displaystyle k=}$${\displaystyle 1}$.

КЗ №5. Що можна сказати про відношення периметрів подібних трикутників?

Відношення периметрів подібних трикутників дорівнює коефіцієнту подібності: ${\displaystyle \frac{P}{P_1}=}$${\displaystyle k}$.

КЗ №6. Як формулюється узагальнена теорема Фалеса?

Узагальнена теорема Фалеса: паралельні прямі, що перетинають сторони кута, відтинають на них пропорційні відрізки.

${\displaystyle \frac{O{A}_1}{O{A}_2}=}$${\displaystyle \frac{O{B}_1}{O{B}_2}}$.

КЗ №7. Сформулюйте наслідок з узагальненої теореми Фалеса.

Пряма, паралельна стороні трикутника, відтинає від нього трикутник, подібний даному.

Також відрізки сторін кута між паралельними прямими пропорційні: ${\displaystyle \frac{A_1{A}_2}{B_1{B}_2}=}$${\displaystyle \frac{O{A}_1}{O{B}_1}}$.

КЗ №8. Поясніть, як довести подібність трикутників за означенням.

Треба показати, що всі три пари відповідних кутів рівні і всі три відношення відповідних сторін рівні між собою: ${\displaystyle \mathrm{\angle }A=}$${\displaystyle \mathrm{\angle }{A}_1}$, ${\displaystyle \mathrm{\angle }B=}$${\displaystyle \mathrm{\angle }{B}_1}$, ${\displaystyle \mathrm{\angle }C=}$${\displaystyle \mathrm{\angle }{C}_1}$ і ${\displaystyle \frac{AB}{A_1{B}_1}=}$${\displaystyle \frac{BC}{B_1{C}_1}=}$${\displaystyle \frac{AC}{A_1{C}_1}}$.

КЗ №9. Сформулюйте та доведіть ознаку подібності трикутників за двома кутами.

Ознака. Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам другого трикутника, то такі трикутники подібні.

Доведення. Нехай ${\displaystyle \mathrm{\angle }A=}$${\displaystyle \mathrm{\angle }{A}_1}$, ${\displaystyle \mathrm{\angle }B=}$${\displaystyle \mathrm{\angle }{B}_1}$; тоді й ${\displaystyle \mathrm{\angle }C=}$${\displaystyle \mathrm{\angle }{C}_1}$. Відкладемо на ${\displaystyle AB}$ відрізок ${\displaystyle A{B}_2=}$${\displaystyle A_1{B}_1}$ і проведемо ${\displaystyle B_2{C}_2\parallel BC}$. Тоді ${\displaystyle \mathrm{△}A{B}_2{C}_2=}$${\displaystyle \mathrm{△}{A}_1{B}_1{C}_1}$ (за стороною і прилеглими кутами), а за наслідком з узагальненої теореми Фалеса ${\displaystyle \mathrm{△}A{B}_2{C}_2\sim \mathrm{△}ABC}$. Отже, ${\displaystyle \mathrm{△}{A}_1{B}_1{C}_1\sim \mathrm{△}ABC}$.

КЗ №10. Чому рівносторонні трикутники подібні?

У рівносторонніх трикутниках усі кути по ${\displaystyle 60°}$. Отже, два кути одного дорівнюють двом кутам другого, і трикутники подібні за ознакою за двома кутами.

КЗ №11. Поясніть, як довести подібність двох трикутників.

Треба перевірити одну з ознак подібності:

1) два кути одного трикутника дорівнюють двом кутам другого;

2) дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого, а кути між ними рівні;

3) три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам другого.

КЗ №12. Сформулюйте ознаку подібності трикутників за двома сторонами й кутом між ними.

Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника і кути між цими сторонами рівні, то такі трикутники подібні:

${\displaystyle \frac{AB}{A_1{B}_1}=}$${\displaystyle \frac{AC}{A_1{C}_1}}$ і ${\displaystyle \mathrm{\angle }A=}$${\displaystyle \mathrm{\angle }{A}_1}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}_1{B}_1{C}_1}$.

КЗ №13. Чому прямокутні трикутники з пропорційними катетами подібні?

Кути між катетами — прямі, тобто рівні. Катети пропорційні, тому трикутники подібні за двома сторонами й кутом між ними.

КЗ №14. Сформулюйте ознаку подібності трикутників за трьома сторонами.

Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники подібні:

${\displaystyle \frac{AB}{A_1{B}_1}=}$${\displaystyle \frac{BC}{B_1{C}_1}=}$${\displaystyle \frac{AC}{A_1{C}_1}}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}_1{B}_1{C}_1}$.

КЗ №15. Сформулюйте теорему про властивість медіан трикутника та наслідок з неї.

Теорема. Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну медіану у відношенні ${\displaystyle 2:1}$, рахуючи від вершини.

Наслідок. Відрізок медіани від вершини до точки перетину становить ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ медіани, а від точки перетину до сторони — ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ медіани.

КЗ №16. Яку властивість має бісектриса кута трикутника?

Бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам:

якщо ${\displaystyle AL}$ — бісектриса ${\displaystyle \mathrm{△}ABC}$, то ${\displaystyle \frac{BL}{LC}=}$${\displaystyle \frac{AB}{AC}}$.

КЗ №17. Які відрізки називають проекціями катетів на гіпотенузу? Як їх позначають?

Якщо з вершини прямого кута ${\displaystyle C}$ провести висоту ${\displaystyle CH}$ до гіпотенузи ${\displaystyle AB}$, то відрізки ${\displaystyle AH}$ і ${\displaystyle BH}$ гіпотенузи називають проекціями катетів ${\displaystyle AC}$ і ${\displaystyle BC}$ на гіпотенузу.

Позначають: ${\displaystyle a_c}$ — проекція катета ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b_c}$ — проекція катета ${\displaystyle b}$.

КЗ №18. Що таке середнє пропорційне між двома відрізками? Яка його властивість?

Середнім пропорційним між відрізками ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ називається відрізок ${\displaystyle x}$, для якого ${\displaystyle \frac{a}{x}=}$${\displaystyle \frac{x}{b}}$.

Властивість: ${\displaystyle x^2=}$${\displaystyle ab}$, тобто ${\displaystyle x=}$${\displaystyle \sqrt{ab}}$.

КЗ №19. Сформулюйте властивості середніх пропорційних відрізків у прямокутному трикутнику.

1) Висота, проведена до гіпотенузи, є середнім пропорційним між проекціями катетів на гіпотенузу: ${\displaystyle h_c^2=}$${\displaystyle a_c\cdot b_c}$.

2) Катет є середнім пропорційним між гіпотенузою і своєю проекцією на гіпотенузу: ${\displaystyle a^2=}$${\displaystyle c\cdot a_c}$, ${\displaystyle b^2=}$${\displaystyle c\cdot b_c}$.

КЗ №20. Чому дорівнює відношення проекцій катетів на гіпотенузу в прямокутному трикутнику?

Відношення проекцій катетів на гіпотенузу дорівнює відношенню квадратів катетів:

${\displaystyle \frac{a_c}{b_c}=}$${\displaystyle \frac{a^2}{b^2}}$, бо ${\displaystyle a^2=}$${\displaystyle c\cdot a_c}$ і ${\displaystyle b^2=}$${\displaystyle c\cdot b_c}$.

1. △A1B1C1 ∽ △ABC. Кут A дорівнює 60°, а кут B на 20° менший від кута A. Знайдіть кут C1. А. 40°. Б. 80°. В. 100°. Г. 120°.

∠B = 60° – 20° = 40°.

∠C = 180° – (60° + 40°) = 80° (сума кутів трикутника).

∠C1 = ∠C = 80° (відповідні кути подібних трикутників рівні).

Відповідь: Б.

2. У трикутниках KLM і DEF: ∠K = ∠D = 90°, ∠M = ∠F = 30°, DF = 5KM. Чому дорівнює DE, якщо KL = 10 см? А. 2 см. Б. 15 см. В. 25 см. Г. 50 см.

△KLM ∽ △DEF (за двома кутами):

∠K = ∠D = 90°;

∠M = ∠F = 30°.

k = ${\displaystyle \frac{\mathbf{DF}}{\mathbf{KM}}}$ = 5.

DE = k · KL = 5 · 10 = 50 (см).

Відповідь: Г.

3. У трикутнику зі сторонами 7 см, 15 см і 20 см проведено бісектрису меншого кута. На які відрізки бісектриса поділила протилежну сторону? А. 1,5 см і 2 см. Б. 3,5 см і 3,5 см. В. 2 см і 5 см. Г. 3 см і 4 см.

Менший кут трикутника лежить проти меншої сторони BC = 7 см, тобто це ∠A.

AL – бісектриса ∠A.

${\displaystyle \frac{\mathbf{BL}}{\mathbf{LC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{AC}}}$ (властивість бісектриси трикутника).

Нехай BL = x см, тоді LC = (7 – x) см.

${\displaystyle \frac{\mathbf{x}}{\mathbf{7}\mathbf{-}\mathbf{x}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{15}}{\mathbf{20}}}$;

${\displaystyle \frac{\mathbf{x}}{\mathbf{7}\mathbf{-}\mathbf{x}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}}$;

4x = 21 – 3x;

7x = 21;

x = 3.

BL = 3 см;

LC = 7 – 3 = 4 (см).

Відповідь: Г.

4. Діагоналі AC і BD трапеції ABCD перетинаються в точці O. AD : BC = 3 : 2, AC = 30 см. Знайдіть довжини відрізків AO і OC. А. 10 см і 15 см. Б. 6 см і 9,5 см. В. 12 см і 18 см. Г. 18 см і 12 см.

△AOD ∽ △COB (за двома кутами):

∠OAD = ∠OCB (внутрішні різносторонні при AD ∥ BC і січній AC);

∠ODA = ∠OBC (внутрішні різносторонні при AD ∥ BC і січній BD).

Тоді AO : OC = AD : BC = 3 : 2.

AO = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}}{\mathbf{3}\mathbf{+}\mathbf{2}}}$ · 3 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{30}}{\mathbf{5}}}$ · 3 = 18 (см);

OC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}}{\mathbf{3}\mathbf{+}\mathbf{2}}}$ · 2 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{30}}{\mathbf{5}}}$ · 2 = 12 (см).

Відповідь: Г.

5. У трикутнику ABC висота AH завдовжки 12 см проведена до сторони BC і відтинає на ній відрізок BH = 9 см. Знайдіть відстань від точки H до сторони AB завдовжки 15 см. А. 5,4 см. Б. 7,2 см. В. 9,6 см. Г. 12 см.

△AHB – прямокутний (AH – висота).

HK ⊥ AB.

AK і KB – проєкції катетів AH і HB на гіпотенузу AB.

AH2 = AB · AK (катет – середнє пропорційне між гіпотенузою та його проєкцією на гіпотенузу).

AK = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{AH}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{AB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{144}}{\mathbf{15}}}$ = 9,6 (см);

KB = AB – AK = 15 – 9,6 = 5,4 (см).

HK2 = AK · KB (висота – середнє пропорційне між проєкціями катетів на гіпотенузу).

HK2 = 9,6 · 5,4 = 51,84;

HK = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{51}\mathbf{,}\mathbf{84}}}$ = 7,2 (см).

Відповідь: Б.