Перевірте, як засвоїли матеріал розділу 4Геометрія 8 клас Бурда 2025 · стор. 200

КЗ №1. Сформулюйте та доведіть теорему Піфагора.

Теорема Піфагора. У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: ${\displaystyle c^2=}$${\displaystyle a^2+b^2}$.

Доведення. Проведемо висоту ${\displaystyle CH}$ до гіпотенузи. За властивістю середніх пропорційних ${\displaystyle a^2=}$${\displaystyle c\cdot a_c}$, ${\displaystyle b^2=}$${\displaystyle c\cdot b_c}$.

Додамо: ${\displaystyle a^2+b^2=}$${\displaystyle c\cdot (a_c+b_c)=}$${\displaystyle c\cdot c=}$${\displaystyle c^2}$.

КЗ №2. Назвіть властивості похилих.

Якщо з однієї точки до прямої проведено перпендикуляр і похилі, то:

1) перпендикуляр коротший за будь-яку похилу;

2) рівні похилі мають рівні проекції, і навпаки;

3) з двох похилих більша та, що має більшу проекцію, і навпаки.

КЗ №3. Дайте означення синуса, косинуса й тангенса гострого кута прямокутного трикутника.

Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи: ${\displaystyle \sin A=}$${\displaystyle \frac{a}{c}}$.

Косинусом — відношення прилеглого катета до гіпотенузи: ${\displaystyle \cos A=}$${\displaystyle \frac{b}{c}}$.

Тангенсом — відношення протилежного катета до прилеглого: ${\displaystyle \mathrm{tg}A=}$${\displaystyle \frac{a}{b}}$.

КЗ №4. Поясніть, як за однією зі сторін прямокутного трикутника і гострим кутом знайти дві інші його сторони.

Якщо відома гіпотенуза ${\displaystyle c}$ і кут ${\displaystyle A}$: ${\displaystyle a=}$${\displaystyle c\sin A}$, ${\displaystyle b=}$${\displaystyle c\cos A}$.

Якщо відомий катет ${\displaystyle b}$, прилеглий до кута ${\displaystyle A}$: ${\displaystyle a=}$${\displaystyle b\mathrm{tg}A}$, ${\displaystyle c=}$${\displaystyle \frac{b}{\cos A}}$.

Якщо відомий катет ${\displaystyle a}$, протилежний куту ${\displaystyle A}$: ${\displaystyle c=}$${\displaystyle \frac{a}{\sin A}}$, ${\displaystyle b=}$${\displaystyle \frac{a}{\mathrm{tg}A}}$.

КЗ №5. Як за двома сторонами прямокутного трикутника знайти його гострі кути?

Знаходимо одну з тригонометричних функцій кута через відомі сторони, а кут — за таблицею або калькулятором:

за двома катетами: ${\displaystyle \mathrm{tg}A=}$${\displaystyle \frac{a}{b}}$;

за гіпотенузою і катетом: ${\displaystyle \sin A=}$${\displaystyle \frac{a}{c}}$ або ${\displaystyle \cos A=}$${\displaystyle \frac{b}{c}}$.

Другий гострий кут: ${\displaystyle \mathrm{\angle }B=}$${\displaystyle 90°-\mathrm{\angle }A}$.

КЗ №6. Назвіть види задач на розв’язування прямокутних трикутників та поясніть, як їх розв’язувати.

Розв’язати прямокутний трикутник — знайти всі його невідомі сторони й кути. Основні види задач:

1) за гіпотенузою і гострим кутом: ${\displaystyle \mathrm{\angle }B=}$${\displaystyle 90°-\mathrm{\angle }A}$, ${\displaystyle a=}$${\displaystyle c\sin A}$, ${\displaystyle b=}$${\displaystyle c\cos A}$;

2) за катетом і гострим кутом: другий кут — ${\displaystyle 90°-\mathrm{\angle }A}$, інші сторони — через ${\displaystyle \mathrm{tg}}$, ${\displaystyle \sin }$ або ${\displaystyle \cos }$;

3) за двома катетами: ${\displaystyle c=}$${\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}}$, ${\displaystyle \mathrm{tg}A=}$${\displaystyle \frac{a}{b}}$, ${\displaystyle \mathrm{\angle }B=}$${\displaystyle 90°-\mathrm{\angle }A}$;

4) за гіпотенузою і катетом: ${\displaystyle b=}$${\displaystyle \sqrt{c^2-a^2}}$, ${\displaystyle \sin A=}$${\displaystyle \frac{a}{c}}$, ${\displaystyle \mathrm{\angle }B=}$${\displaystyle 90°-\mathrm{\angle }A}$.

1. Знайдіть бічну сторону рівнобедреного трикутника, якщо його основа дорівнює 10 см, а висота — 12 см. А. 22 см. Б. 14 см. В. 13 см. Г. 15 см.

Дано: △ABC; AB = BC; AC = 10 см; BH = 12 см – висота.

Знайти: AB.

Розв'язання

AH = HC (висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є медіаною).

AH = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · 10 = 5 (см).

У △AHB (∠H = 90°) за теоремою Піфагора:

AB = ${\displaystyle \sqrt{{\mathbf{AH}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{+}\mathbf{BH}}^{\mathbf{2}}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{{\mathbf{5}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{+}\mathbf{12}}^{\mathbf{2}}}}$ =

= ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{25}\mathbf{+}\mathbf{144}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{169}}}$ = 13 (см).

Відповідь: В.

2. Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо катет дорівнює 8 см, а прилеглий до нього кут — 60°. А. 10 см. Б. 48 см. В. 14 см. Г. 16 см.

Дано: △ABC (∠A = 90°); AC = 8 см; ∠C = 60°.

Знайти: BC.

Розв'язання

У △ABC (∠A = 90°): cos C = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}}{\mathbf{BC}}}$;

BC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}}{\mathbf{cos}\mathbf{C}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{8}}{\mathbf{cos}{\mathbf{60}}^{\mathbf{\circ }}}}$ = 8 : ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ = 16 (см).

Відповідь: Г.

3. Діагональ прямокутника дорівнює 2 см й утворює зі стороною кут 30°. Знайдіть сторони прямокутника. А. 1 см і ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ см. Б. 2 см і 1 см. В. 2 см і ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ см. Г. 3 см і 1 см.

Дано: ABCD – прямокутник; AC = 2 см; ∠CAD = 30°.

Знайти: CD, AD.

Розв'язання

У △ADC (∠D = 90°):

CD = AC · sin ∠CAD = 2 · sin 30° = 2 · ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ = 1 (см);

AD = AC · cos ∠CAD = 2 · cos 30° = 2 · ${\displaystyle \frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ (см).

Відповідь: А.

4. Знайдіть основу рівнобедреного трикутника, якщо висота, проведена до основи, дорівнює h, а кут між бічними сторонами — α. А. h · sin α. Б. h · cos ${\displaystyle \frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}$. В. 2h · tg α. Г. 2h · tg ${\displaystyle \frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}$.

Дано: △ABC; AB = BC; ∠ABC = α; BH = h – висота.

Знайти: AC.

Розв'язання

∠ABH = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠ABC = ${\displaystyle \frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}$ (висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є бісектрисою).

AC = 2 · AH (висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є медіаною).

У △AHB (∠H = 90°): tg ∠ABH = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AH}}{\mathbf{BH}}}$;

AH = BH · tg ∠ABH = h · tg ${\displaystyle \frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}$.

AC = 2 · AH = 2h · tg ${\displaystyle \frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}$.

Відповідь: Г.

5. Основи прямокутної трапеції дорівнюють 5 см і 14 см, а більша бічна сторона — 15 см. Знайдіть меншу діагональ трапеції. А. 12 см. Б. 13 см. В. 22 см. Г. 20 см.

Дано: ABCD – прямокутна трапеція; AB ⊥ AD; BC = 5 см; AD = 14 см; CD = 15 см.

Знайти: меншу діагональ.

Розв'язання

Проведемо висоту CK.

ABCK – прямокутник, тому AK = BC = 5 см, CK = AB.

KD = AD – AK = 14 – 5 = 9 (см).

У △CKD (∠K = 90°): CK = ${\displaystyle \sqrt{{\mathbf{CD}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{-}\mathbf{KD}}^{\mathbf{2}}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{{\mathbf{15}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{-}\mathbf{9}}^{\mathbf{2}}}}$ =

= ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{225}\mathbf{-}\mathbf{81}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{144}}}$ = 12 (см).

AB = CK = 12 см.

У △ABC (∠B = 90°): AC = ${\displaystyle \sqrt{{\mathbf{AB}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{+}\mathbf{BC}}^{\mathbf{2}}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{{\mathbf{12}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{+}\mathbf{5}}^{\mathbf{2}}}}$ =

= ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{144}\mathbf{+}\mathbf{25}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{169}}}$ = 13 (см).

У △BAD (∠A = 90°): BD = ${\displaystyle \sqrt{{\mathbf{AB}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{+}\mathbf{AD}}^{\mathbf{2}}}}$ =

= ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{144}\mathbf{+}\mathbf{196}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{340}}}$.

${\displaystyle \sqrt{\mathbf{340}}}$ > ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{169}}}$, тому BD > AC.

Отже, менша діагональ AC = 13 см.

Відповідь: Б.