Перевірте, як засвоїли матеріал розділу 5Геометрія 8 клас Бурда 2025 · стор. 248

КЗ №1. Що таке многокутник; n-кутник? Як його позначають?

Многокутником називається проста замкнена ламана разом з частиною площини, яку вона обмежує.

Многокутник з ${\displaystyle n}$ вершинами називають n-кутником. Позначають, записуючи вершини по порядку: ${\displaystyle A_1{A}_2\dots A_n}$.

КЗ №2. Які елементи многокутника?

Елементи многокутника: вершини, сторони, кути, а також діагоналі.

КЗ №3. Що таке зовнішній кут многокутника; діагональ; периметр?

Зовнішній кут многокутника — кут, суміжний із кутом многокутника.

Діагональ — відрізок, що сполучає дві несусідні вершини.

Периметр — сума довжин усіх сторін.

КЗ №4. Сформулюйте та доведіть теорему про суму кутів многокутника.

Теорема. Сума кутів опуклого ${\displaystyle n}$-кутника дорівнює ${\displaystyle 180°(n-2)}$.

Доведення. Проведемо з однієї вершини всі діагоналі. Вони ділять ${\displaystyle n}$-кутник на ${\displaystyle n-2}$ трикутники, і кути многокутника складаються з кутів цих трикутників.

Отже, сума кутів дорівнює ${\displaystyle 180°\cdot (n-2)}$.

КЗ №5. Який многокутник називається вписаним у коло; описаним навколо кола?

Вписаним у коло називається многокутник, усі вершини якого лежать на колі.

Описаним навколо кола називається многокутник, усі сторони якого дотикаються до кола.

КЗ №6. Поясніть, що таке площа фігури.

Площа фігури — величина, яка показує, скільки разів одиничний квадрат (квадрат зі стороною ${\displaystyle 1}$) та його частини вміщуються в цій фігурі.

КЗ №7. Які основні властивості площі?

1) Рівні фігури мають рівні площі.

2) Якщо фігуру поділено на частини, то її площа дорівнює сумі площ цих частин.

3) Площа квадрата зі стороною ${\displaystyle 1}$ дорівнює одиниці площі.

КЗ №8. За якою формулою знаходять площу квадрата?

Площа квадрата зі стороною ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle S=}$${\displaystyle a^2}$.

КЗ №9. Виведіть формули площі прямокутника; паралелограма; трикутника; трапеції.

Прямокутник: ${\displaystyle S=}$${\displaystyle ab}$ (виводиться з площі квадрата зі стороною ${\displaystyle a+b}$, складеного з двох таких прямокутників і квадратів зі сторонами ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$).

Паралелограм: ${\displaystyle S=}$${\displaystyle a{h}_a}$. Відрізаємо прямокутний трикутник, відтятий висотою, і прикладаємо його до протилежної сторони — дістаємо прямокутник зі сторонами ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle h_a}$.

Трикутник: ${\displaystyle S=}$${\displaystyle \frac{1}{2}a{h}_a}$. Трикутник доповнюється рівним йому до паралелограма з тією самою основою і висотою.

Трапеція: ${\displaystyle S=}$${\displaystyle \frac{a+b}{2}\cdot h}$. Діагональ ділить трапецію на два трикутники з основами ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ та спільною висотою ${\displaystyle h}$: ${\displaystyle S=}$${\displaystyle \frac{1}{2}ah+\frac{1}{2}bh}$.

КЗ №10. Чому дорівнює відношення площ подібних трикутників?

Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності: ${\displaystyle \frac{S}{S_1}=}$${\displaystyle k^2}$.

КЗ №11. Як знайти площу поверхні прямокутного паралелепіпеда; куба?

Прямокутний паралелепіпед з вимірами ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$: ${\displaystyle S=}$${\displaystyle 2(ab+bc+ac)}$.

Куб з ребром ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle S=}$${\displaystyle 6a^2}$.

КЗ №12. Як знайти площу бічної і повної поверхонь піраміди?

Площа бічної поверхні піраміди дорівнює сумі площ її бічних граней (трикутників).

Площа повної поверхні дорівнює сумі площі бічної поверхні і площі основи: ${\displaystyle S_{\text{повн}}=}$${\displaystyle S_{\text{біч}}+S_{\text{осн}}}$.

1. Знайдіть суму кутів шестикутника. А. 60°. Б. 120°. В. 540°. Г. 720°.

S = 180° · (n – 2) – сума кутів опуклого n-кутника.

S = 180° · (6 – 2) = 180° · 4 = 720°.

Відповідь: Г.

2. Квадрат і прямокутник мають рівні площі. Периметр квадрата дорівнює 24 см, а одна зі сторін прямокутника – 4 см. Знайдіть іншу сторону прямокутника. А. 6 см. Б. 9 см. В. 20 см. Г. 36 см.

Pкв. = 24 см;

aкв. = ${\displaystyle \frac{\mathbf{24}}{\mathbf{4}}}$ = 6 (см);

Sкв. = 62 = 36 (см²).

Sпр. = Sкв. = 36 см²;

a · b = 36; a = 4 см;

b = ${\displaystyle \frac{\mathbf{36}}{\mathbf{4}}}$ = 9 (см).

Відповідь: Б.

3. Площа рівнобедреного трикутника ABC з основою AC дорівнює 4800 см². Знайдіть висоти, проведені до бічних сторін трикутника, якщо AB = 100 см. А. 24 см і 48 см. Б. 48 см і 48 см. В. 48 см і 96 см. Г. 96 см і 96 см.

AB = BC = 100 см; S△ABC = 4800 см²; AK і CF – висоти, проведені до бічних сторін.

S△ABC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$BC · AK;

AK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}\mathbf{S}}{\mathbf{BC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}\mathbf{\cdot }\mathbf{4800}}{\mathbf{100}}}$ = 96 (см).

S△ABC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AB · CF;

CF = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}\mathbf{S}}{\mathbf{AB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}\mathbf{\cdot }\mathbf{4800}}{\mathbf{100}}}$ = 96 (см).

Відповідь: Г.

4. У трапеції ABCD менша основа CD і висота відповідно дорівнюють 7 см і 8 см. Знайдіть площу трапеції, якщо площа трикутника ABC дорівнює 60 см². А. 45 см². Б. 56 см². В. 75 см². Г. 88 см².

ABCD – трапеція; CD = 7 см; DK ⊥ AB; DK = 8 см; S△ABC = 60 см².

Діагональ AC розбиває трапецію на трикутники ADC і ABC:

SABCD = S△ADC + S△ABC.

Висота △ADC, проведена до сторони DC, дорівнює висоті трапеції:

S△ADC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$DC · DK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{7}\mathbf{\cdot }\mathbf{8}}{\mathbf{2}}}$ = 28 (см²);

SABCD = 28 + 60 = 88 (см²).

Відповідь: Г.

5. У ромбі ABCD діагоналі дорівнюють 9 см і 40 см. Більшу діагональ AC точка K ділить у відношенні 3 : 2, рахуючи від вершини A. Знайдіть площу трикутника AKB. А. 90 см². Б. 135 см². В. 180 см². Г. 54 см².

Нехай дано ромб ABCD; AC і BD – діагоналі; O – точка їх перетину.

AC ⊥ BD (діагоналі ромба перпендикулярні);

AC = 40 см; BD = 9 см.

AK : KC = 3 : 2;

AK = 3x; KC = 2x;

3x + 2x = 40;

5x = 40;

x = 8;

AK = 3 · 8 = 24 (см);

KC = 2 · 8 = 16 (см).

BO = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$BD (діагоналі ромба точкою перетину діляться навпіл);

BO = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · 9 = 4,5 (см).

BO ⊥ AK, тому BO – висота △AKB:

S△AKB = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AK · BO = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · 24 · 4,5 = 54 (см²).

Відповідь: Г.