233* Вправа 233Алгебра 8 клас Тарасенкова 2025 · § 6 · стор. 67

233. Доведіть, що значення виразу не залежить від значень змінної x на її ОДЗ:

1) Перша дужка:

${\displaystyle \frac{{(x+1)}^2+3{(x-1)}^2}{{(x-1)}^2}=}$${\displaystyle \frac{4x^2-4x+4}{{(x-1)}^2}=}$${\displaystyle \frac{4(x^2-x+1)}{{(x-1)}^2}}$;

друга дужка:

${\displaystyle \frac{{(x-1)}^2+3{(x+1)}^2}{{(x+1)}^2}=}$${\displaystyle \frac{4x^2+4x+4}{{(x+1)}^2}=}$${\displaystyle \frac{4(x^2+x+1)}{{(x+1)}^2}}$;

ділення:

${\displaystyle \frac{4(x^2-x+1)}{{(x-1)}^2}\cdot \frac{{\left(x+1\right)}^2}{4\left(x^2+x+1\right)}\cdot \frac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=}$${\displaystyle \frac{\stackrel{1}{\cancel{4}}\cancel{\left(x^2-x+1\right)}\cancel{\left(x+1\right)}(x+1)\cancel{\left(x-1\right)}\cancel{\left(x^2+x+1\right)}}{\cancel{\left(x-1\right)}(x-1)\cdot \underset{1}{\cancel{4}}\cancel{\left(x^2+x+1\right)}\cancel{\left(x+1\right)}\cancel{\left(x^2-x+1\right)}}=}$${\displaystyle \frac{x+1}{x-1}}$;

${\displaystyle \frac{x+1}{x-1}-\frac{2x}{x-1}=}$${\displaystyle \frac{1-x}{x-1}=}$${\displaystyle -1}$;

2) Перша дужка:

${\displaystyle \frac{{(1+x)}^2-{(1-x)}^2}{1-x^2}-\frac{4x^2}{1-x^2}=}$${\displaystyle \frac{4x-4x^2}{1-x^2}=}$${\displaystyle \frac{4x\cancel{\left(1-x\right)}}{\cancel{\left(1-x\right)}(1+x)}=}$${\displaystyle \frac{4x}{1+x}}$;

друга дужка (${\displaystyle x^3+x^2=}$${\displaystyle x^2(x+1)}$):

${\displaystyle \frac{(2-2x)\left(x+1\right)+2x^2\left(x+1\right)-2}{x^2(x+1)}=}$${\displaystyle \frac{2x+2-2x^2-2x+2x^3+2x^2-2}{x^2(x+1)}=}$${\displaystyle \frac{2x^3}{x^2(x+1)}=}$${\displaystyle \frac{2x}{x+1}}$;

${\displaystyle \frac{4x}{1+x}\cdot \frac{x+1}{2x}=}$${\displaystyle \frac{2\cdot \cancel{2x}\cancel{\left(x+1\right)}}{\cancel{\left(x+1\right)}\cancel{2x}}=}$${\displaystyle 2}$.

ОДЗ: 1) ${\displaystyle x\ne \pm 1}$; 2) ${\displaystyle x\ne 0}$, ${\displaystyle x\ne \pm 1}$.

Значення виразів сталі (−1 і 2) і не залежать від x. Що і потрібно було довести.