125° Вправа 125Алгебра 8 клас Тарасенкова 2025 · § 3 · стор. 39

125. Зведіть до спільного знаменника дроби.

Знаменники відрізняються знаком. Використовуємо: ${\displaystyle \frac{A}{b-a}=}$${\displaystyle \frac{A}{-(a-b)}=}$${\displaystyle -\frac{A}{a-b}}$.

1) ${\displaystyle \frac{2}{a-1}}$ і ${\displaystyle \frac{3}{1-a}}$;

${\displaystyle \frac{2}{a-1}}$ — без змін;

${\displaystyle \frac{3}{1-a}=}$${\displaystyle \frac{3}{-(a-1)}=}$${\displaystyle \frac{-3}{a-1}}$;

2) ${\displaystyle \frac{1}{a-2}}$ і ${\displaystyle \frac{2}{8-4a}}$;

${\displaystyle 8-4a=}$${\displaystyle 4(2-a)}$;

${\displaystyle \frac{1}{a-2}=}$${\displaystyle \frac{{-1}^{\mathrm{\setminus }4}}{2-a}=}$${\displaystyle \frac{-1\cdot 4}{(2-a)\cdot 4}=}$${\displaystyle \frac{-4}{8-4a}}$;

${\displaystyle \frac{2}{8-4a}}$ — без змін;

3) ${\displaystyle \frac{1}{1-2x}}$ і ${\displaystyle \frac{5}{6x-3}}$;

${\displaystyle 6x-3=}$${\displaystyle 3(2x-1)}$;

${\displaystyle \frac{1}{1-2x}=}$${\displaystyle \frac{{-1}^{\mathrm{\setminus }3}}{2x-1}=}$${\displaystyle \frac{-1\cdot 3}{(2x-1)\cdot 3}=}$${\displaystyle \frac{-3}{6x-3}}$;

${\displaystyle \frac{5}{6x-3}}$ — без змін;

4) ${\displaystyle \frac{2}{3x-1}}$ і ${\displaystyle \frac{6}{-6x+2}}$;

${\displaystyle -6x+2=}$${\displaystyle -(6x-2)=}$${\displaystyle -2(3x-1)}$;

${\displaystyle \frac{2^{\mathrm{\setminus }2}}{3x-1}=}$${\displaystyle \frac{2\cdot 2}{(3x-1)\cdot 2}=}$${\displaystyle \frac{4}{6x-2}}$;

${\displaystyle \frac{6}{-6x+2}=}$${\displaystyle \frac{-6}{6x-2}}$;

5) ${\displaystyle -\frac{3}{y-3}}$ і ${\displaystyle \frac{1}{9-3y}}$;

${\displaystyle 9-3y=}$${\displaystyle 3(3-y)}$;

${\displaystyle -\frac{3}{y-3}=}$${\displaystyle \frac{3^{\mathrm{\setminus }3}}{3-y}=}$${\displaystyle \frac{3\cdot 3}{(3-y)\cdot 3}=}$${\displaystyle \frac{9}{9-3y}}$;

${\displaystyle \frac{1}{9-3y}}$ — без змін;

6) ${\displaystyle \frac{2}{1-4x}}$ і ${\displaystyle \frac{7}{4-16x}}$;

${\displaystyle 4-16x=}$${\displaystyle 4(1-4x)}$;

${\displaystyle \frac{2^{\mathrm{\setminus }4}}{1-4x}=}$${\displaystyle \frac{2\cdot 4}{(1-4x)\cdot 4}=}$${\displaystyle \frac{8}{4-16x}}$;

${\displaystyle \frac{7}{4-16x}}$ — без змін;

7) ${\displaystyle \frac{a}{a-b}}$ і ${\displaystyle \frac{b}{b-a}}$;

${\displaystyle \frac{a}{a-b}}$ — без змін;

${\displaystyle \frac{b}{b-a}=}$${\displaystyle \frac{-b}{a-b}}$;

8) ${\displaystyle \frac{x}{x-2y}}$ і ${\displaystyle \frac{2y}{6y-3x}}$;

${\displaystyle 6y-3x=}$${\displaystyle -3(x-2y)}$;

${\displaystyle \frac{x^{\mathrm{\setminus }3}}{x-2y}=}$${\displaystyle \frac{x\cdot 3}{(x-2y)\cdot 3}=}$${\displaystyle \frac{3x}{3x-6y}}$;

${\displaystyle \frac{2y}{6y-3x}=}$${\displaystyle \frac{-2y}{3x-6y}}$;

9) ${\displaystyle \frac{2m}{7m-14}}$ і ${\displaystyle \frac{-1}{10-5m}}$;

${\displaystyle 7m-14=}$${\displaystyle 7(m-2)}$; ${\displaystyle 10-5m=}$${\displaystyle -5(m-2)}$;

${\displaystyle \frac{{2m}^{\mathrm{\setminus }5}}{7(m-2)}=}$${\displaystyle \frac{2m\cdot 5}{7(m-2)\cdot 5}=}$${\displaystyle \frac{10m}{35\left(m-2\right)}}$;

${\displaystyle \frac{-1}{-5(m-2)}=}$${\displaystyle \frac{1^{\mathrm{\setminus }7}}{5(m-2)}=}$${\displaystyle \frac{1\cdot 7}{5(m-2)\cdot 7}=}$${\displaystyle \frac{7}{35\left(m-2\right)}}$;

10) ${\displaystyle \frac{-x}{6x-3y}}$ і ${\displaystyle \frac{-y}{5y-10x}}$;

${\displaystyle 6x-3y=}$${\displaystyle 3(2x-y)}$; ${\displaystyle 5y-10x=}$${\displaystyle -5(2x-y)}$;

${\displaystyle \frac{{-x}^{\mathrm{\setminus }5}}{3(2x-y)}=}$${\displaystyle \frac{-x\cdot 5}{3(2x-y)\cdot 5}=}$${\displaystyle \frac{-5x}{15\left(2x-y\right)}}$;

${\displaystyle \frac{-y}{-5(2x-y)}=}$${\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\setminus }3}}{5(2x-y)}=}$${\displaystyle \frac{y\cdot 3}{5(2x-y)\cdot 3}=}$${\displaystyle \frac{3y}{15\left(2x-y\right)}}$.

125. Зведіть до спільного знаменника дроби.

Знаменники відрізняються знаком. Використовуємо: ${\displaystyle \frac{A}{b-a}=}$${\displaystyle \frac{A}{-(a-b)}=}$${\displaystyle -\frac{A}{a-b}}$.

$1-a=-(a-1)$, тому ${\displaystyle \frac{3}{1-a}}={\displaystyle \frac{-3}{a-1}}$. Спільний знаменник $a-1$.

1) ${\displaystyle \frac{2}{a-1}}$ і ${\displaystyle \frac{3}{1-a}}$;

${\displaystyle \frac{2}{a-1}}$ — без змін;

${\displaystyle \frac{3}{1-a}=}$${\displaystyle \frac{3}{-(a-1)}=}$${\displaystyle \frac{-3}{a-1}}$;

$8-4a=4(2-a)$, а $a-2=-(2-a)$. Перший дріб записуємо як ${\displaystyle \frac{-1}{2-a}}$ і множимо на $4$.

2) ${\displaystyle \frac{1}{a-2}}$ і ${\displaystyle \frac{2}{8-4a}}$;

${\displaystyle 8-4a=}$${\displaystyle 4(2-a)}$;

${\displaystyle \frac{1}{a-2}=}$${\displaystyle \frac{{-1}^{\mathrm{\setminus }4}}{2-a}=}$${\displaystyle \frac{-1\cdot 4}{(2-a)\cdot 4}=}$${\displaystyle \frac{-4}{8-4a}}$;

${\displaystyle \frac{2}{8-4a}}$ — без змін;

$6x-3=3(2x-1)$, а $1-2x=-(2x-1)$. Перший дріб — ${\displaystyle \frac{-1}{2x-1}}$, множник $3$.

3) ${\displaystyle \frac{1}{1-2x}}$ і ${\displaystyle \frac{5}{6x-3}}$;

${\displaystyle 6x-3=}$${\displaystyle 3(2x-1)}$;

${\displaystyle \frac{1}{1-2x}=}$${\displaystyle \frac{{-1}^{\mathrm{\setminus }3}}{2x-1}=}$${\displaystyle \frac{-1\cdot 3}{(2x-1)\cdot 3}=}$${\displaystyle \frac{-3}{6x-3}}$;

${\displaystyle \frac{5}{6x-3}}$ — без змін;

$-6x+2=-2(3x-1)$: виносимо і мінус, і 2. Спільний знаменник $6x-2$, множник для першого дробу — $2$.

4) ${\displaystyle \frac{2}{3x-1}}$ і ${\displaystyle \frac{6}{-6x+2}}$;

${\displaystyle -6x+2=}$${\displaystyle -(6x-2)=}$${\displaystyle -2(3x-1)}$;

${\displaystyle \frac{2^{\mathrm{\setminus }2}}{3x-1}=}$${\displaystyle \frac{2\cdot 2}{(3x-1)\cdot 2}=}$${\displaystyle \frac{4}{6x-2}}$;

${\displaystyle \frac{6}{-6x+2}=}$${\displaystyle \frac{-6}{6x-2}}$;

$9-3y=3(3-y)$. Мінус перед першим дробом переносимо в знаменник: $-{\displaystyle \frac{3}{y-3}}={\displaystyle \frac{3}{3-y}}$. Множник $3$.

5) ${\displaystyle -\frac{3}{y-3}}$ і ${\displaystyle \frac{1}{9-3y}}$;

${\displaystyle 9-3y=}$${\displaystyle 3(3-y)}$;

${\displaystyle -\frac{3}{y-3}=}$${\displaystyle \frac{3^{\mathrm{\setminus }3}}{3-y}=}$${\displaystyle \frac{3\cdot 3}{(3-y)\cdot 3}=}$${\displaystyle \frac{9}{9-3y}}$;

${\displaystyle \frac{1}{9-3y}}$ — без змін;

$4-16x=4(1-4x)$ — множник для першого дробу $4$.

6) ${\displaystyle \frac{2}{1-4x}}$ і ${\displaystyle \frac{7}{4-16x}}$;

${\displaystyle 4-16x=}$${\displaystyle 4(1-4x)}$;

${\displaystyle \frac{2^{\mathrm{\setminus }4}}{1-4x}=}$${\displaystyle \frac{2\cdot 4}{(1-4x)\cdot 4}=}$${\displaystyle \frac{8}{4-16x}}$;

${\displaystyle \frac{7}{4-16x}}$ — без змін;

$b-a=-(a-b)$, тому ${\displaystyle \frac{b}{b-a}}={\displaystyle \frac{-b}{a-b}}$.

7) ${\displaystyle \frac{a}{a-b}}$ і ${\displaystyle \frac{b}{b-a}}$;

${\displaystyle \frac{a}{a-b}}$ — без змін;

${\displaystyle \frac{b}{b-a}=}$${\displaystyle \frac{-b}{a-b}}$;

$6y-3x=-3(x-2y)$. Спільний знаменник $3x-6y$; перший дріб множимо на $3$.

8) ${\displaystyle \frac{x}{x-2y}}$ і ${\displaystyle \frac{2y}{6y-3x}}$;

${\displaystyle 6y-3x=}$${\displaystyle -3(x-2y)}$;

${\displaystyle \frac{x^{\mathrm{\setminus }3}}{x-2y}=}$${\displaystyle \frac{x\cdot 3}{(x-2y)\cdot 3}=}$${\displaystyle \frac{3x}{3x-6y}}$;

${\displaystyle \frac{2y}{6y-3x}=}$${\displaystyle \frac{-2y}{3x-6y}}$;

$7m-14=7(m-2)$, $10-5m=-5(m-2)$. У другому дробі два мінуси дають плюс. Спільний знаменник $35(m-2)$, множники $5$ і $7$.

9) ${\displaystyle \frac{2m}{7m-14}}$ і ${\displaystyle \frac{-1}{10-5m}}$;

${\displaystyle 7m-14=}$${\displaystyle 7(m-2)}$; ${\displaystyle 10-5m=}$${\displaystyle -5(m-2)}$;

${\displaystyle \frac{{2m}^{\mathrm{\setminus }5}}{7(m-2)}=}$${\displaystyle \frac{2m\cdot 5}{7(m-2)\cdot 5}=}$${\displaystyle \frac{10m}{35\left(m-2\right)}}$;

${\displaystyle \frac{-1}{-5(m-2)}=}$${\displaystyle \frac{1^{\mathrm{\setminus }7}}{5(m-2)}=}$${\displaystyle \frac{1\cdot 7}{5(m-2)\cdot 7}=}$${\displaystyle \frac{7}{35\left(m-2\right)}}$;

$6x-3y=3(2x-y)$, $5y-10x=-5(2x-y)$. Спільний знаменник $15(2x-y)$, множники $5$ і $3$.

10) ${\displaystyle \frac{-x}{6x-3y}}$ і ${\displaystyle \frac{-y}{5y-10x}}$;

${\displaystyle 6x-3y=}$${\displaystyle 3(2x-y)}$; ${\displaystyle 5y-10x=}$${\displaystyle -5(2x-y)}$;

${\displaystyle \frac{{-x}^{\mathrm{\setminus }5}}{3(2x-y)}=}$${\displaystyle \frac{-x\cdot 5}{3(2x-y)\cdot 5}=}$${\displaystyle \frac{-5x}{15\left(2x-y\right)}}$;

${\displaystyle \frac{-y}{-5(2x-y)}=}$${\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\setminus }3}}{5(2x-y)}=}$${\displaystyle \frac{y\cdot 3}{5(2x-y)\cdot 3}=}$${\displaystyle \frac{3y}{15\left(2x-y\right)}}$.