828* Вправа 828Алгебра 8 клас Тарасенкова 2025 · § 20 · стор. 244

828. За яких значень m квадратні тричлени х² + mх + 8 і х² + х + m мають у розкладі один і той самий лінійний множник?

Нехай ${\displaystyle x=}$${\displaystyle a}$ — спільний корінь обох тричленів:

${\displaystyle a^2+ma+8=}$${\displaystyle 0}$; ${\displaystyle a^2+a+m=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle a^2+ma+8=}$${\displaystyle a^2+a+m}$;

${\displaystyle ma+8-a-m=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle a(m-1)+8-m=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle am-a=}$${\displaystyle m-8}$;

${\displaystyle am-m=}$${\displaystyle a-8}$;

${\displaystyle m(a-1)=}$${\displaystyle a-8}$; ${\displaystyle m=}$${\displaystyle \frac{a-8}{a-1}}$, ${\displaystyle a\ne 1}$;

Підставимо значення ${\displaystyle m}$ у рівняння ${\displaystyle a^2+a+m=}$${\displaystyle 0}$:

${\displaystyle a^2+a+\frac{a-8}{a-1}=}$${\displaystyle 0}$ | ${\displaystyle \cdot \left(a-1\right)}$

${\displaystyle (a^2+a)\cdot (a-1)+\frac{(a-8)\cdot \cancel{\left(a-1\right)}}{\cancel{\left(a-1\right)}}=}$${\displaystyle 0\cdot (a-1)}$;

${\displaystyle (a^2+a)(a-1)+a-8=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle a^3-a^2+a^2-a+a-8=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle a^3-8=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle a^3=}$${\displaystyle 8}$; ${\displaystyle a=}$${\displaystyle 2}$;

${\displaystyle m=}$${\displaystyle \frac{2-8}{2-1}=}$${\displaystyle \frac{-6}{1}=}$${\displaystyle -6}$.

Відповідь: ${\displaystyle m=}$${\displaystyle -6}$.