470 Вправа 470Алгебра 8 клас Бевз 2025 · § 9 · стор. 93

470. Доведи, що значення виразу ((a⁻¹ + b⁻¹)/(a⁻² + b⁻²))⁻¹ · ((b/(3a))⁻¹ − (a/(3b))⁻¹)⁻¹ · 3(a⁻¹ + b⁻¹)/(ab)⁻¹ є сталим числом при всіх допустимих значеннях змінних.

1) ${\displaystyle {\left(\frac{a^{-1}+b^{-1}}{a^{-2}+b^{-2}}\right)}^{-1}=}$${\displaystyle \frac{a^{-2}+b^{-2}}{a^{-1}+b^{-1}}}$=

=${\displaystyle \frac{a^2+b^2}{a^2{b}^2}:\frac{a+b}{ab}=}$${\displaystyle \frac{a^2+b^2}{ab(a+b)}}$;

2) ${\displaystyle {(\frac{3a}{b}-\frac{3b}{a})}^{-1}=}$${\displaystyle {\left(\frac{3(a^2-b^2)}{ab}\right)}^{-1}=}$${\displaystyle \frac{ab}{3(a-b)(a+b)}}$;

3) ${\displaystyle \frac{3(a^{-1}+b^{-1})}{{\left(ab\right)}^{-1}}=}$${\displaystyle 3\cdot \frac{a+b}{ab}\cdot ab=}$${\displaystyle 3(a+b)}$;

4) ${\displaystyle \frac{a^2+b^2}{ab(a+b)}\cdot \frac{ab}{3(a-b)(a+b)}\cdot 3(a+b)}$=

=${\displaystyle \frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)}=}$${\displaystyle \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}}$;

З різницею в другій дужці значення залежить від ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ (наприклад, при ${\displaystyle a=}$${\displaystyle 2}$;

${\displaystyle b=}$${\displaystyle 1}$ воно ${\displaystyle \frac{5}{3}}$, а при ${\displaystyle a=}$${\displaystyle 3}$;

${\displaystyle b=}$${\displaystyle 1}$ — ${\displaystyle \frac{5}{4}}$).

Ймовірно, у другій дужці має бути знак «+»: тоді ${\displaystyle {(\frac{3a}{b}+\frac{3b}{a})}^{-1}=}$${\displaystyle \frac{ab}{3(a^2+b^2)}}$ і

${\displaystyle \frac{\cancel{a^2+b^2}}{\cancel{ab}\left(a+b\right)}\cdot \frac{\cancel{ab}}{3\cancel{\left(a^2+b^2\right)}}\cdot 3\left(a+b\right)=}$${\displaystyle 1}$ — стале число.