1288 Вправа 1288Алгебра 8 клас Бевз 2025 · § 26 · стор. 250

1288. Кілька точок розміщено на площині так, що жодні три з них не лежать на одній прямій. Якщо кожну з них сполучити відрізками зі всіма іншими даними точками, то утвориться 153 відрізки. Скільки дано точок?

Нехай точок ${\displaystyle n}$. З кожної виходить ${\displaystyle n-1}$ відрізок; кожен відрізок пораховано двічі:

${\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}=}$${\displaystyle 153\mid \cdot 2}$;

${\displaystyle n^2-n=}$${\displaystyle 306}$;

${\displaystyle n^2-n-306=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle a=}$${\displaystyle 1,b=}$${\displaystyle -1,c=}$${\displaystyle -306}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle b^2-4ac=}$${\displaystyle {(-1)}^2-4\cdot 1\cdot (-306)=}$${\displaystyle 1+1224=}$${\displaystyle 1225}$;

${\displaystyle D>0}$, два корені:

${\displaystyle n_{1,2}=}$${\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=}$${\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{1225}}{2}=}$${\displaystyle \frac{1\pm 35}{2}}$;

${\displaystyle n_1=}$${\displaystyle \frac{1+35}{2}=}$${\displaystyle 18}$;

${\displaystyle n_2=}$${\displaystyle \frac{1-35}{2}=}$${\displaystyle -17}$;

${\displaystyle n=}$${\displaystyle -17}$ — не підходить.

Відповідь: 18 точок.