1289 Вправа 1289Алгебра 8 клас Бевз 2025 · § 26 · стор. 250

1289. Скільки сторін має опуклий многокутник, якщо у ньому всього 135 діагоналей?

Нехай сторін ${\displaystyle n}$. З кожної вершини виходить ${\displaystyle n-3}$ діагоналі (не до себе і не до двох сусідніх); кожну пораховано двічі:

${\displaystyle \frac{n(n-3)}{2}=}$${\displaystyle 135\mid \cdot 2}$;

${\displaystyle n^2-3n=}$${\displaystyle 270}$;

${\displaystyle n^2-3n-270=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle a=}$${\displaystyle 1,b=}$${\displaystyle -3,c=}$${\displaystyle -270}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle b^2-4ac=}$${\displaystyle {(-3)}^2-4\cdot 1\cdot (-270)=}$${\displaystyle 9+1080=}$${\displaystyle 1089}$;

${\displaystyle D>0}$, два корені:

${\displaystyle n_{1,2}=}$${\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=}$${\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{1089}}{2}=}$${\displaystyle \frac{3\pm 33}{2}}$;

${\displaystyle n_1=}$${\displaystyle \frac{3+33}{2}=}$${\displaystyle 18}$;

${\displaystyle n_2=}$${\displaystyle \frac{3-33}{2}=}$${\displaystyle -15}$;

${\displaystyle n=}$${\displaystyle -15}$ — не підходить.

Відповідь: 18 сторін.