209* Вправа 209Алгебра 8 клас Тарасенкова 2025 · § 5 · стор. 60

209. Доведіть, що значення виразу не залежить від значень змінної x на її ОДЗ.

1) ${\displaystyle (\frac{x^2-2x+4}{4x^2-1}\cdot \frac{2x^2+x}{x^3+8}-\frac{x+2}{2x^2-x})\cdot \frac{x^2+2x}{4}-\frac{x+4}{3-6x}}$;

Добуток у дужках:

${\displaystyle \frac{\cancel{\left(x^2-2x+4\right)}\cdot x\cancel{\left(2x+1\right)}}{(2x-1)\cancel{\left(2x+1\right)}(x+2)\cancel{\left(x^2-2x+4\right)}}=}$${\displaystyle \frac{x}{(2x-1)(x+2)}}$;

дія в дужках:

${\displaystyle \frac{x\cdot x-(x+2)\left(x+2\right)}{x(2x-1)(x+2)}=}$${\displaystyle \frac{x^2-x^2-4x-4}{x(2x-1)(x+2)}=}$${\displaystyle \frac{-4(x+1)}{x(2x-1)(x+2)}}$;

множення:

${\displaystyle \frac{-\stackrel{1}{\cancel{4}}(x+1)}{\cancel{x}(2x-1)\cancel{\left(x+2\right)}}\cdot \frac{\cancel{x}\cancel{\left(x+2\right)}}{\underset{1}{\cancel{4}}}=}$${\displaystyle -\frac{x+1}{2x-1}}$;

віднімання (${\displaystyle -\frac{x+4}{3-6x}=}$${\displaystyle \frac{x+4}{3(2x-1)}}$):

${\displaystyle \frac{-3(x+1)+x+4}{3(2x-1)}=}$${\displaystyle \frac{-2x+1}{3(2x-1)}=}$${\displaystyle \frac{-\cancel{\left(2x-1\right)}}{3\cancel{\left(2x-1\right)}}=}$${\displaystyle -\frac{1}{3}}$;

2) ${\displaystyle (\frac{x+5}{x^2-81}+\frac{x+7}{x^2-18x+81})\cdot {\left(\frac{x-9}{x+3}\right)}^2+\frac{x+7}{x+9}}$;

дія в дужках:

${\displaystyle \frac{(x+5)\left(x-9\right)+(x+7)\left(x+9\right)}{{(x-9)}^2(x+9)}=}$${\displaystyle \frac{x^2-4x-45+x^2+16x+63}{{(x-9)}^2(x+9)}=}$${\displaystyle \frac{2x^2+12x+18}{{(x-9)}^2(x+9)}=}$${\displaystyle \frac{2{(x+3)}^2}{{(x-9)}^2(x+9)}}$;

${\displaystyle \frac{2\cancel{{\left(x+3\right)}^2}}{\cancel{{\left(x-9\right)}^2}(x+9)}\cdot \frac{\cancel{{\left(x-9\right)}^2}}{\cancel{{\left(x+3\right)}^2}}=}$${\displaystyle \frac{2}{x+9}}$;

${\displaystyle \frac{2}{x+9}+\frac{x+7}{x+9}=}$${\displaystyle \frac{x+9}{x+9}=}$${\displaystyle 1}$.

Значення виразів сталі (${\displaystyle -\frac{1}{3}}$ і 1) і не залежать від x. Що і потрібно було довести.