306* Вправа 306Алгебра 8 клас Тарасенкова 2025 · § 8 · стор. 87

306. За якого цілого значення n виконується нерівність:

1) ${\displaystyle {(-7)}^{-2}<3^n<{0,5}^{-3}}$;

${\displaystyle {(-7)}^{-2}=}$${\displaystyle \frac{1}{49}}$; ${\displaystyle {0,5}^{-3}=}$${\displaystyle {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}=}$${\displaystyle 2^3=}$${\displaystyle 8}$.

Маємо: ${\displaystyle \frac{1}{49}<3^n<8}$.

Степені числа 3: ${\displaystyle 3^{-4}=}$${\displaystyle \frac{1}{81}}$, ${\displaystyle 3^{-3}=}$${\displaystyle \frac{1}{27}}$, ${\displaystyle 3^{-2}=}$${\displaystyle \frac{1}{9}}$, ${\displaystyle 3^{-1}=}$${\displaystyle \frac{1}{3}}$, ${\displaystyle 3^0=}$${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 3^1=}$${\displaystyle 3}$, ${\displaystyle 3^2=}$${\displaystyle 9}$.

${\displaystyle \frac{1}{81}<\frac{1}{49}<\frac{1}{27}}$, тому ${\displaystyle n\ge -3}$; ${\displaystyle 3<8<9}$, тому ${\displaystyle n\le 1}$.

${\displaystyle n=}$${\displaystyle -3;-2;-1;0;1}$.

2) ${\displaystyle {0,2}^{-2}\le 5^{-2n}\le {625}^2}$;

${\displaystyle {0,2}^{-2}=}$${\displaystyle {\left(\frac{1}{5}\right)}^{-2}=}$${\displaystyle 5^2}$; ${\displaystyle {625}^2=}$${\displaystyle {\left(5^4\right)}^2=}$${\displaystyle 5^8}$.

${\displaystyle 5^2\le 5^{-2n}\le 5^8}$, тому

${\displaystyle 2\le -2n\le 8}$ | ${\displaystyle :\left(-2\right)}$

(при діленні на від’ємне число знаки нерівності змінюються)

${\displaystyle -1\ge n\ge -4}$; ${\displaystyle n=}$${\displaystyle -4;-3;-2;-1}$.