766 Вправа 766Алгебра 8 клас Тарасенкова 2025 · § 18 · стор. 227

766. У міській агломерації, що охоплює кілька міст, кожне місто має одне шляхове сполучення з усіма іншими містами. Скільки міст налічує ця міська агломерація, якщо загалом у ній налічується 21 дорога?

Нехай міст ${\displaystyle n}$; з кожного виходить ${\displaystyle n-1}$ дорога, кожна дорога рахується двічі:

${\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}=}$${\displaystyle 21}$ | ${\displaystyle \cdot 2}$

${\displaystyle \frac{n(n-1)\cdot \cancel{2}}{\cancel{2}}=}$${\displaystyle 21\cdot 2}$;

${\displaystyle n(n-1)=}$${\displaystyle 42}$;

${\displaystyle n^2-n=}$${\displaystyle 42}$;

${\displaystyle n^2-n-42=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle {(-1)}^2-4\cdot 1\cdot (-42)=}$${\displaystyle 1+168=}$${\displaystyle 169}$;

${\displaystyle n_{1,2}=}$${\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{169}}{2\cdot 1}=}$${\displaystyle \frac{1\pm 13}{2}}$;

${\displaystyle n_1=}$${\displaystyle \frac{1+13}{2}=}$${\displaystyle 7}$;

${\displaystyle n_2=}$${\displaystyle \frac{1-13}{2}=}$${\displaystyle -6}$;

${\displaystyle n=}$${\displaystyle -6}$ — не підходить, бо ${\displaystyle n>0}$.

Відповідь: ${\displaystyle 7}$ міст.