100° Вправа 100Алгебра 8 клас Тарасенкова 2025 · § 2 · стор. 31

100. Скоротіть дріб.

1) ${\displaystyle \frac{7x^3-7x^2}{x^2-x}=}$${\displaystyle \frac{7x^2(x-1)}{x(x-1)}=}$${\displaystyle \frac{7x\cdot \cancel{x\left(x-1\right)}}{\cancel{x\left(x-1\right)}}=}$${\displaystyle 7x}$;

2) ${\displaystyle \frac{4y^3-8y^2}{2y^5-y^6}=}$${\displaystyle \frac{4y^2(y-2)}{y^5(2-y)}=}$${\displaystyle \frac{4\cancel{y^2}\cancel{\left(y-2\right)}}{-\cancel{y^2}\cdot y^3\cancel{\left(y-2\right)}}=}$${\displaystyle -\frac{4}{y^3}}$;

3) ${\displaystyle \frac{3a^3+9a^5}{a^2+3a^4}=}$${\displaystyle \frac{3a^3(1+3a^2)}{a^2(1+3a^2)}=}$${\displaystyle \frac{3a\cancel{a^2}\cancel{\left(1+3a^2\right)}}{\cancel{a^2}\cancel{\left(1+3a^2\right)}}=}$${\displaystyle 3a}$;

4) ${\displaystyle \frac{3x^2-x^3}{9x-3x^2}=}$${\displaystyle \frac{x^2(3-x)}{3x(3-x)}=}$${\displaystyle \frac{x\cancel{x}\cancel{\left(3-x\right)}}{3\cancel{x}\cancel{\left(3-x\right)}}=}$${\displaystyle \frac{x}{3}}$;

5) ${\displaystyle \frac{y^3-5y}{5y^2-y^4}=}$${\displaystyle \frac{y(y^2-5)}{y^2(5-y^2)}=}$${\displaystyle \frac{\cancel{y}\cancel{\left(y^2-5\right)}}{-\cancel{y}\cdot y\cancel{\left(y^2-5\right)}}=}$${\displaystyle -\frac{1}{y}}$;

6) ${\displaystyle \frac{9a^6-9a^5}{a^3-a^4}=}$${\displaystyle \frac{9a^5(a-1)}{a^3(1-a)}=}$${\displaystyle \frac{9a^2\cancel{a^3}\cancel{\left(a-1\right)}}{-\cancel{a^3}\cancel{\left(a-1\right)}}=}$${\displaystyle -9a^2}$.

100. Скоротіть дріб.

Виносимо за дужки: у чисельнику $7x^2$, у знаменнику $x$. Спільний множник $x(x-1)$ — на нього й скорочуємо.

1) ${\displaystyle \frac{7x^3-7x^2}{x^2-x}=}$${\displaystyle \frac{7x^2(x-1)}{x(x-1)}=}$${\displaystyle \frac{7x\cdot \cancel{x\left(x-1\right)}}{\cancel{x\left(x-1\right)}}=}$${\displaystyle 7x}$;

$4y^3-8y^2=4y^2(y-2)$, $2y^5-y^6=y^5(2-y)$. Дужки $(y-2)$ і $(2-y)$ відрізняються лише знаком: $2-y=-(y-2)$. Тому у відповіді з'являється «мінус».

2) ${\displaystyle \frac{4y^3-8y^2}{2y^5-y^6}=}$${\displaystyle \frac{4y^2(y-2)}{y^5(2-y)}=}$${\displaystyle \frac{4\cancel{y^2}\cancel{\left(y-2\right)}}{-\cancel{y^2}\cdot y^3\cancel{\left(y-2\right)}}=}$${\displaystyle -\frac{4}{y^3}}$;

$3a^3+9a^5=3a^3(1+3a^2)$, $a^2+3a^4=a^2(1+3a^2)$. Скорочуємо на $a^2(1+3a^2)$.

3) ${\displaystyle \frac{3a^3+9a^5}{a^2+3a^4}=}$${\displaystyle \frac{3a^3(1+3a^2)}{a^2(1+3a^2)}=}$${\displaystyle \frac{3a\cancel{a^2}\cancel{\left(1+3a^2\right)}}{\cancel{a^2}\cancel{\left(1+3a^2\right)}}=}$${\displaystyle 3a}$;

Виносимо $x^2$ і $3x$. Спільний множник $x(3-x)$.

4) ${\displaystyle \frac{3x^2-x^3}{9x-3x^2}=}$${\displaystyle \frac{x^2(3-x)}{3x(3-x)}=}$${\displaystyle \frac{x\cancel{x}\cancel{\left(3-x\right)}}{3\cancel{x}\cancel{\left(3-x\right)}}=}$${\displaystyle \frac{x}{3}}$;

$5-y^2=-(y^2-5)$, тому після скорочення на $y(y^2-5)$ лишається мінус.

5) ${\displaystyle \frac{y^3-5y}{5y^2-y^4}=}$${\displaystyle \frac{y(y^2-5)}{y^2(5-y^2)}=}$${\displaystyle \frac{\cancel{y}\cancel{\left(y^2-5\right)}}{-\cancel{y}\cdot y\cancel{\left(y^2-5\right)}}=}$${\displaystyle -\frac{1}{y}}$;

$1-a=-(a-1)$: мінус виходить перед дробом, далі скорочуємо на $a^3(a-1)$.

6) ${\displaystyle \frac{9a^6-9a^5}{a^3-a^4}=}$${\displaystyle \frac{9a^5(a-1)}{a^3(1-a)}=}$${\displaystyle \frac{9a^2\cancel{a^3}\cancel{\left(a-1\right)}}{-\cancel{a^3}\cancel{\left(a-1\right)}}=}$${\displaystyle -9a^2}$.