105 Вправа 105Алгебра 8 клас Тарасенкова 2025 · § 2 · стор. 32

105. Скоротіть дріб.

Використовуємо суму й різницю кубів: ${\displaystyle a^3\pm b^3=}$${\displaystyle (a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)}$.

1) ${\displaystyle \frac{x^3-1}{x^3-x^2}=}$${\displaystyle \frac{\cancel{\left(x-1\right)}(x^2+x+1)}{x^2\cancel{\left(x-1\right)}}=}$${\displaystyle \frac{x^2+x+1}{x^2}}$;

2) ${\displaystyle \frac{y^4-4}{2y^3+2y^2+2y}=}$${\displaystyle \frac{(y^2-2)(y^2+2)}{2y(y^2+y+1)}}$ — спільних:

Імовірно, у підручнику друкарська помилка і в чисельнику y⁴ − y. Тоді:

${\displaystyle \frac{y^4-y}{2y^3+2y^2+2y}=}$${\displaystyle \frac{\cancel{y}(y-1)\cancel{\left(y^2+y+1\right)}}{2\cancel{y}\cancel{\left(y^2+y+1\right)}}=}$${\displaystyle \frac{y-1}{2}}$;

3) ${\displaystyle \frac{a{b}^2+a^3-a^{2}b}{a^{3}b+b^4}=}$${\displaystyle \frac{a(a^2-ab+b^2)}{b(a^3+b^3)}=}$${\displaystyle \frac{a\cancel{\left(a^2-ab+b^2\right)}}{b(a+b)\cancel{\left(a^2-ab+b^2\right)}}=}$${\displaystyle \frac{a}{b\left(a+b\right)}}$;

4) ${\displaystyle \frac{a^3-2a^2+4a}{a^3+8}=}$${\displaystyle \frac{a\cancel{\left(a^2-2a+4\right)}}{(a+2)\cancel{\left(a^2-2a+4\right)}}=}$${\displaystyle \frac{a}{a+2}}$.