106 Вправа 106Алгебра 8 клас Тарасенкова 2025 · § 2 · стор. 32

106. Скоротіть дріб.

Групуємо доданки так, щоб утворився квадрат двочлена, а потім — різниця квадратів.

1) ${\displaystyle \frac{a^2-b^2-c^2-2bc}{a^2+b^2-c^2-2ab}=}$${\displaystyle \frac{a^2-(b^2+2bc+c^2)}{(a^2-2ab+b^2)-c^2}=}$${\displaystyle \frac{a^2-{(b+c)}^2}{{(a-b)}^2-c^2}=}$${\displaystyle \frac{\cancel{\left(a-b-c\right)}(a+b+c)}{\cancel{\left(a-b-c\right)}(a-b+c)}=}$${\displaystyle \frac{a+b+c}{a-b+c}}$;

2) ${\displaystyle \frac{(a-b)(c-d)}{(b^2-a^2)(d^2-c^2)}=}$${\displaystyle \frac{(a-b)(c-d)}{(b-a)(b+a)(d-c)(d+c)}=}$${\displaystyle \frac{\cancel{\left(a-b\right)}\cancel{\left(c-d\right)}}{\cancel{\left(a-b\right)}(a+b)\cancel{\left(c-d\right)}(c+d)}=}$${\displaystyle \frac{1}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)}}$;

(у знаменнику ${\displaystyle (b-a)(d-c)=}$${\displaystyle (a-b)(c-d)}$ — два знаки «мінус» дають «плюс»);

3) ${\displaystyle \frac{x^2+xy+yz-z^2}{y^2-x^2+2xz-z^2}=}$${\displaystyle \frac{(x^2-z^2)+y(x+z)}{y^2-{(x-z)}^2}=}$${\displaystyle \frac{(x-z)(x+z)+y(x+z)}{(y-x+z)(y+x-z)}=}$${\displaystyle \frac{(x+z)\cancel{\left(x-z+y\right)}}{(y-x+z)\cancel{\left(y+x-z\right)}}=}$${\displaystyle \frac{x+z}{y-x+z}}$;

4) ${\displaystyle \frac{25-a^2-2ab-b^2}{a^2+ab+5b-25}=}$${\displaystyle \frac{25-{(a+b)}^2}{(a^2-25)+b(a+5)}=}$${\displaystyle \frac{(5-a-b)(5+a+b)}{(a+5)(a-5)+b(a+5)}=}$${\displaystyle \frac{(5-a-b)(5+a+b)}{(a+5)(a+b-5)}=}$${\displaystyle \frac{-\cancel{\left(a+b-5\right)}(a+b+5)}{(a+5)\cancel{\left(a+b-5\right)}}=}$${\displaystyle -\frac{a+b+5}{a+5}}$.