111* Вправа 111Алгебра 8 клас Тарасенкова 2025 · § 2 · стор. 33

111. Скоротіть дріб: 1) (x² − 3x + 2)/(x² − 5x + 6); 2) (3x² + 12x + 9)/(3x⁴ + 15x² + 18); 3) (x⁸ + x⁴ + 1)/(x⁴ + x² + 1).

1) Розкладаємо способом групування:

${\displaystyle x^2-3x+2=}$${\displaystyle x^2-x-2x+2=}$${\displaystyle x(x-1)-2(x-1)=}$${\displaystyle (x-1)(x-2)}$;

${\displaystyle x^2-5x+6=}$${\displaystyle x^2-2x-3x+6=}$${\displaystyle x(x-2)-3(x-2)=}$${\displaystyle (x-2)(x-3)}$.

${\displaystyle \frac{x^2-3x+2}{x^2-5x+6}=}$${\displaystyle \frac{(x-1)\cancel{\left(x-2\right)}}{\cancel{\left(x-2\right)}(x-3)}=}$${\displaystyle \frac{x-1}{x-3}}$;

2) ${\displaystyle \frac{3x^2+12x+9}{3x^4+15x^2+18}=}$${\displaystyle \frac{\stackrel{1}{\cancel{3}}(x^2+4x+3)}{\underset{1}{\cancel{3}}(x^4+5x^2+6)}=}$${\displaystyle \frac{(x+1)(x+3)}{(x^2+2)(x^2+3)}}$ — більше спільних:

${\displaystyle =}$${\displaystyle \frac{x^2+4x+3}{x^4+5x^2+6}}$;

3) Виділяємо в чисельнику повний квадрат:

${\displaystyle x^8+x^4+1=}$${\displaystyle x^8+2x^4+1-x^4=}$${\displaystyle {(x^4+1)}^2-{\left(x^2\right)}^2=}$${\displaystyle (x^4+1-x^2)(x^4+1+x^2)}$.

${\displaystyle \frac{x^8+x^4+1}{x^4+x^2+1}=}$${\displaystyle \frac{(x^4-x^2+1)\cancel{\left(x^4+x^2+1\right)}}{\cancel{x^4+x^2+1}}=}$${\displaystyle x^4-x^2+1}$.