802* Вправа 802Алгебра 8 клас Тарасенкова 2025 · § 19 · стор. 236

802. Рівняння x² + px + q = 0 з цілими коефіцієнтами p і q має корінь 1 + √3. Знайдіть інший корінь рівняння.

Нехай ${\displaystyle x_1=}$${\displaystyle 1+\sqrt{3}}$, ${\displaystyle x_2}$ — інший корінь.

За теоремою Вієта ${\displaystyle x_1+x_2=}$${\displaystyle -p}$ — ціле число, тому

${\displaystyle x_2=}$${\displaystyle -p-1-\sqrt{3}=}$${\displaystyle k-\sqrt{3}}$, де ${\displaystyle k=}$${\displaystyle -p-1}$ — ціле;

${\displaystyle x_1\cdot x_2=}$${\displaystyle (1+\sqrt{3})(k-\sqrt{3})=}$${\displaystyle k-\sqrt{3}+k\sqrt{3}-3=}$${\displaystyle (k-3)+(k-1)\sqrt{3}=}$${\displaystyle q}$ — ціле число.

Якби ${\displaystyle k-1\ne 0}$, то ${\displaystyle \sqrt{3}=}$${\displaystyle \frac{q-k+3}{k-1}}$ було б раціональним.

Отже, ${\displaystyle k=}$${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle x_2=}$${\displaystyle 1-\sqrt{3}}$.

Перевірка: ${\displaystyle p=}$${\displaystyle -(x_1+x_2)=}$${\displaystyle -2}$; ${\displaystyle q=}$${\displaystyle x_1\cdot x_2=}$${\displaystyle 1-3=}$${\displaystyle -2}$ — цілі.

Відповідь: ${\displaystyle 1-\sqrt{3}}$.