715 Вправа 715Алгебра 8 клас Бевз 2025 · § 14 · стор. 138

715. Доведи, що ірраціональним є число: а) √2; б) √3; в) √6.

Доводимо від супротивного (як у підручнику для ${\displaystyle \sqrt{2}}$).

а) Нехай ${\displaystyle \sqrt{2}=}$${\displaystyle \frac{m}{n}}$ — нескоротний дріб, ${\displaystyle m\in N}$, ${\displaystyle n\in N}$.

Тоді ${\displaystyle 2=}$${\displaystyle \frac{m^2}{n^2}}$;

${\displaystyle m^2=}$${\displaystyle 2n^2}$ — число ${\displaystyle m^2}$ парне, отже, і ${\displaystyle m}$ парне: ${\displaystyle m=}$${\displaystyle 2k}$;

${\displaystyle 4k^2=}$${\displaystyle 2n^2}$;

${\displaystyle n^2=}$${\displaystyle 2k^2}$ — ${\displaystyle n}$ теж парне;

дріб ${\displaystyle \frac{m}{n}}$ можна скоротити на 2 — суперечність. Отже, ${\displaystyle \sqrt{2}}$ — ірраціональне;

б) Нехай ${\displaystyle \sqrt{3}=}$${\displaystyle \frac{m}{n}}$ — нескоротний дріб.

Тоді ${\displaystyle m^2=}$${\displaystyle 3n^2}$ — ${\displaystyle m^2}$ ділиться на 3, отже, і ${\displaystyle m}$ ділиться на 3: ${\displaystyle m=}$${\displaystyle 3k}$;

(якщо ${\displaystyle m=}$${\displaystyle 3k\pm 1}$, то ${\displaystyle m^2=}$${\displaystyle 9k^2\pm 6k+1}$ на 3 не ділиться)

${\displaystyle 9k^2=}$${\displaystyle 3n^2}$;

${\displaystyle n^2=}$${\displaystyle 3k^2}$ — ${\displaystyle n}$ теж ділиться на 3;

дріб можна скоротити на 3 — суперечність. Отже, ${\displaystyle \sqrt{3}}$ — ірраціональне;

в) Нехай ${\displaystyle \sqrt{6}=}$${\displaystyle \frac{m}{n}}$ — нескоротний дріб.

Тоді ${\displaystyle m^2=}$${\displaystyle 6n^2}$ — ${\displaystyle m^2}$ парне, отже, ${\displaystyle m=}$${\displaystyle 2k}$;

${\displaystyle 4k^2=}$${\displaystyle 6n^2}$;

${\displaystyle 3n^2=}$${\displaystyle 2k^2}$ — число ${\displaystyle 3n^2}$ парне, отже, ${\displaystyle n}$ парне;

дріб можна скоротити на 2 — суперечність. Отже, ${\displaystyle \sqrt{6}}$ — ірраціональне.