178* Вправа 178Алгебра 8 клас Тарасенкова 2025 · § 4 · стор. 52

178. Спростіть вираз 1/(x(x + 1)) + 1/((x + 1)(x + 2)) + 1/((x + 2)(x + 3)) + … + 1/((x + 99)(x + 100)).

Кожен доданок: ${\displaystyle \frac{1}{(x+k)(x+k+1)}=}$${\displaystyle \frac{1}{x+k}-\frac{1}{x+k+1}}$ (перевірка: ${\displaystyle \frac{(x+k+1)-(x+k)}{(x+k)(x+k+1)}}$).

${\displaystyle (\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})+(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2})+\dots }$

${\displaystyle +(\frac{1}{x+99}-\frac{1}{x+100})=}$

Усі середні доданки взаємно знищуються, залишаються перший і останній:

${\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{x+100}=}$${\displaystyle \frac{x+100-x}{x(x+100)}=}$${\displaystyle \frac{100}{x\left(x+100\right)}}$.

Відповідь: ${\displaystyle \frac{100}{x\left(x+100\right)}}$.