254 Вправа 254Алгебра 8 клас Тарасенкова 2025 · § 7 · стор. 76

254. Розв’яжіть рівняння:

1) ${\displaystyle 2x+\frac{3x^2+x}{3x^2+2}-2=}$${\displaystyle 2x-1}$;

ОДЗ: ${\displaystyle 3x^2+2\ne 0}$ — виконується для будь-якого ${\displaystyle x}$, бо ${\displaystyle 3x^2+2>0}$;

${\displaystyle 2x+\frac{3x^2+x}{3x^2+2}-2=}$${\displaystyle 2x-1}$;

${\displaystyle \frac{3x^2+x}{3x^2+2}=}$${\displaystyle -1+2}$;

${\displaystyle \frac{3x^2+x}{3x^2+2}=}$${\displaystyle 1}$;

${\displaystyle 3x^2+x=}$${\displaystyle 1\cdot (3x^2+2)}$;

${\displaystyle 3x^2+x=}$${\displaystyle 3x^2+2}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle 2}$;

2) ${\displaystyle \frac{x+6}{x^2-6x}=}$${\displaystyle \frac{x-36}{2x^2-72}+\frac{x-6}{2x^2+12x}}$;

${\displaystyle \frac{x+6}{x(x-6)}=}$${\displaystyle \frac{x-36}{2(x-6)(x+6)}+\frac{x-6}{2x(x+6)}}$;

ОДЗ: ${\displaystyle x(x-6)(x+6)\ne 0}$;

${\displaystyle x\ne 0}$; ${\displaystyle x\ne 6}$; ${\displaystyle x\ne -6}$;

${\displaystyle \frac{{x+6}^{\mathrm{\setminus }2\left(x+6\right)}}{x(x-6)}=}$${\displaystyle \frac{{x-36}^{\mathrm{\setminus }x}}{2(x-6)(x+6)}+\frac{{x-6}^{\mathrm{\setminus }x-6}}{2x(x+6)}}$;

${\displaystyle \frac{2(x+6)(x+6)}{2x(x-6)(x+6)}=}$${\displaystyle \frac{x(x-36)+(x-6)(x-6)}{2x(x-6)(x+6)}}$;

${\displaystyle 2(x+6)(x+6)=}$${\displaystyle x(x-36)+(x-6)(x-6)}$;

${\displaystyle 2(x^2+12x+36)=}$${\displaystyle x^2-36x+x^2-12x+36}$;

${\displaystyle 2x^2+24x+72=}$${\displaystyle 2x^2-48x+36}$;

${\displaystyle 24x+48x=}$${\displaystyle 36-72}$;

${\displaystyle 72x=}$${\displaystyle -36}$ | ${\displaystyle :72}$

${\displaystyle x=}$${\displaystyle -\frac{\stackrel{1}{\cancel{36}}}{\underset{2}{\cancel{72}}}}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle -0,5}$;

3) ${\displaystyle \frac{x}{4+x}-\frac{4+x}{x-4}=}$${\displaystyle \frac{64}{16-x^2}}$;

${\displaystyle \frac{x}{x+4}-\frac{x+4}{x-4}=}$${\displaystyle -\frac{64}{(x-4)(x+4)}}$;

ОДЗ: ${\displaystyle (x-4)(x+4)\ne 0}$;

${\displaystyle x\ne 4}$; ${\displaystyle x\ne -4}$;

${\displaystyle \frac{x^{\mathrm{\setminus }x-4}}{x+4}-\frac{{x+4}^{\mathrm{\setminus }x+4}}{x-4}=}$${\displaystyle -\frac{64}{(x-4)(x+4)}}$;

${\displaystyle \frac{x(x-4)-(x+4)(x+4)}{(x-4)(x+4)}=}$${\displaystyle \frac{-64}{(x-4)(x+4)}}$;

${\displaystyle x(x-4)-(x+4)(x+4)=}$${\displaystyle -64}$;

${\displaystyle x^2-4x-x^2-8x-16=}$${\displaystyle -64}$;

${\displaystyle -12x=}$${\displaystyle -64+16}$;

${\displaystyle -12x=}$${\displaystyle -48}$ | ${\displaystyle :\left(-12\right)}$

${\displaystyle x=}$${\displaystyle 4}$ — не задовольняє ОДЗ;

коренів немає;

У відповідях підручника — 4, але при x = 4 знаменники x – 4 і 16 – x² дорівнюють нулю, тому рівняння коренів не має.

4) ${\displaystyle \frac{2}{x+3}-\frac{4}{x+1}=}$${\displaystyle \frac{x-1}{(x+3)(x+1)}}$;

ОДЗ: ${\displaystyle (x+3)(x+1)\ne 0}$;

${\displaystyle x\ne -3}$; ${\displaystyle x\ne -1}$;

${\displaystyle \frac{2^{\mathrm{\setminus }x+1}}{x+3}-\frac{4^{\mathrm{\setminus }x+3}}{x+1}=}$${\displaystyle \frac{x-1}{(x+3)(x+1)}}$;

${\displaystyle \frac{2(x+1)-4(x+3)}{(x+3)(x+1)}=}$${\displaystyle \frac{x-1}{(x+3)(x+1)}}$;

${\displaystyle 2(x+1)-4(x+3)=}$${\displaystyle x-1}$;

${\displaystyle 2x+2-4x-12=}$${\displaystyle x-1}$;

${\displaystyle -2x-10=}$${\displaystyle x-1}$;

${\displaystyle -2x-x=}$${\displaystyle -1+10}$;

${\displaystyle -3x=}$${\displaystyle 9}$ | ${\displaystyle :\left(-3\right)}$

${\displaystyle x=}$${\displaystyle -3}$ — не задовольняє ОДЗ;

коренів немає.

У відповідях підручника — –3, але при x = –3 знаменник x + 3 дорівнює нулю, тому рівняння коренів не має.