1002 Вправа 1002Алгебра 8 клас Бевз 2025 · § 19 · стор. 187

1002. При яких значеннях m рівняння матиме один корінь? а) x² + 4x + m = 0; б) x² + mx + 4 = 0; в) mx² + 8mx + 1 = 0; г) mx² + 20x + m = 0.

Квадратне рівняння має один корінь, якщо ${\displaystyle D=}$${\displaystyle 0}$. Якщо коефіцієнт при ${\displaystyle x^2}$ залежить від ${\displaystyle m}$, окремо розглядаємо ${\displaystyle m=}$${\displaystyle 0}$.

а) ${\displaystyle D=}$${\displaystyle 4^2-4\cdot 1\cdot m=}$${\displaystyle 16-4m}$;

${\displaystyle 16-4m=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle m=}$${\displaystyle 4}$;

б) ${\displaystyle D=}$${\displaystyle m^2-4\cdot 1\cdot 4=}$${\displaystyle m^2-16}$;

${\displaystyle m^2-16=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle m=}$${\displaystyle \pm 4}$;

в) якщо ${\displaystyle m=}$${\displaystyle 0}$: ${\displaystyle 0\cdot x^2+0\cdot x+1=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle 1=}$${\displaystyle 0}$ — коренів немає;

якщо ${\displaystyle m\ne 0}$: ${\displaystyle D=}$${\displaystyle {\left(8m\right)}^2-4\cdot m\cdot 1=}$${\displaystyle 64m^2-4m=}$${\displaystyle 4m(16m-1)}$;

${\displaystyle 4m(16m-1)=}$${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle m\ne 0}$, тому ${\displaystyle m=}$${\displaystyle \frac{1}{16}}$;

г) якщо ${\displaystyle m=}$${\displaystyle 0}$: ${\displaystyle 20x=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle 0}$ — один корінь, ${\displaystyle m=}$${\displaystyle 0}$;

якщо ${\displaystyle m\ne 0}$: ${\displaystyle D=}$${\displaystyle 20^2-4\cdot m\cdot m=}$${\displaystyle 400-4m^2}$;

${\displaystyle 400-4m^2=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle m^2=}$${\displaystyle 100}$;

${\displaystyle m=}$${\displaystyle \pm 10}$.

(Якщо вимагати, щоб рівняння було квадратним, то ${\displaystyle m=}$${\displaystyle \pm 10}$.)