1010 Вправа 1010Алгебра 8 клас Бевз 2025 · § 19 · стор. 187

1010. Вирази a через b, якщо задано співвідношення: а) 3a² − 4ab + b² = 0; б) ((6a + b)/(2a − 3b))² − 4·(6a + b)/(2a − 3b) = 5.

а) Розглянемо рівність як квадратне рівняння відносно ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle 3a^2-4b\cdot a+b^2=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle {\left(4b\right)}^2-4\cdot 3\cdot b^2=}$${\displaystyle 16b^2-12b^2=}$${\displaystyle 4b^2}$;

${\displaystyle a_{1,2}=}$${\displaystyle \frac{4b\pm 2b}{6}}$;

${\displaystyle a_1=}$${\displaystyle \frac{6b}{6}=}$${\displaystyle b}$;

${\displaystyle a_2=}$${\displaystyle \frac{2b}{6}=}$${\displaystyle \frac{b}{3}}$;

б) ${\displaystyle {\left(\frac{6a+b}{2a-3b}\right)}^2-4\cdot \frac{6a+b}{2a-3b}=}$${\displaystyle 5}$;

заміна ${\displaystyle \frac{6a+b}{2a-3b}=}$${\displaystyle t}$, ${\displaystyle 2a\ne 3b}$:

${\displaystyle t^2-4t=}$${\displaystyle 5}$;

${\displaystyle t^2-4t-5=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle a=}$${\displaystyle 1,b=}$${\displaystyle -4,c=}$${\displaystyle -5}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle b^2-4ac=}$${\displaystyle {(-4)}^2-4\cdot 1\cdot (-5)=}$${\displaystyle 16+20=}$${\displaystyle 36}$;

${\displaystyle D>0}$, два корені:

${\displaystyle t_{1,2}=}$${\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=}$${\displaystyle \frac{4\pm \sqrt{36}}{2}=}$${\displaystyle \frac{4\pm 6}{2}}$;

${\displaystyle t_1=}$${\displaystyle \frac{4+6}{2}=}$${\displaystyle 5}$;

${\displaystyle t_2=}$${\displaystyle \frac{4-6}{2}=}$${\displaystyle -1}$;

1) ${\displaystyle \frac{6a+b}{2a-3b}=}$${\displaystyle 5}$;

${\displaystyle 6a+b=}$${\displaystyle 10a-15b}$;

${\displaystyle 4a=}$${\displaystyle 16b}$;

${\displaystyle a=}$${\displaystyle 4b}$ (${\displaystyle b\ne 0}$);

2) ${\displaystyle \frac{6a+b}{2a-3b}=}$${\displaystyle -1}$;

${\displaystyle 6a+b=}$${\displaystyle -2a+3b}$;

${\displaystyle 8a=}$${\displaystyle 2b}$;

${\displaystyle a=}$${\displaystyle \frac{b}{4}}$ (${\displaystyle b\ne 0}$).