1009 Вправа 1009Алгебра 8 клас Бевз 2025 · § 19 · стор. 187

1009. Покажи, що рівняння ax² + bx + c = 0 навіть за умови, що a = 0, можна розв’язувати за формулою x1,2 = 2c/(−b ± √(b² − 4ac)).

1) Нехай ${\displaystyle a\ne 0}$. Помножимо чисельник і знаменник формули коренів на ${\displaystyle -b\mp \sqrt{D}}$:

${\displaystyle x=}$${\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=}$${\displaystyle \frac{(-b\pm \sqrt{D})(-b\mp \sqrt{D})}{2a(-b\mp \sqrt{D})}}$=;

=${\displaystyle \frac{b^2-D}{2a(-b\mp \sqrt{D})}=}$${\displaystyle \frac{b^2-b^2+4ac}{2a(-b\mp \sqrt{D})}}$=;

=${\displaystyle \frac{4ac}{2a(-b\mp \sqrt{D})}=}$${\displaystyle \frac{2c}{-b\mp \sqrt{b^2-4ac}}}$;

тобто це ті самі корені (лише знак ${\displaystyle \pm }$ змінився на протилежний).

2) Нехай ${\displaystyle a=}$${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle b\ne 0}$: рівняння ${\displaystyle bx+c=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle -\frac{c}{b}}$.

Формула дає ${\displaystyle x=}$${\displaystyle \frac{2c}{-b\pm \sqrt{b^2}}=}$${\displaystyle \frac{2c}{-b\pm \left|b\right|}}$;

один зі знаменників дорівнює ${\displaystyle -2b}$: ${\displaystyle x=}$${\displaystyle \frac{2c}{-2b}=}$${\displaystyle -\frac{c}{b}}$ — правильний корінь;

другий дорівнює 0 — такого кореня немає.

Отже, формула працює і при a = 0.