1006 Вправа 1006Алгебра 8 клас Бевз 2025 · § 19 · стор. 187

1006. При яких значеннях m рівняння матиме три корені? а) (5x² − 2x − 3)(x² − mx + 4) = 0; б) (x² + 3x − 10)(mx² − 6x + 1) = 0.

Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один множник дорівнює нулю. Перший множник дає два корені; потрібно, щоб другий додав рівно один новий корінь.

а)

${\displaystyle 5x^2-2x-3=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle a=}$${\displaystyle 5,b=}$${\displaystyle -2,c=}$${\displaystyle -3}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle b^2-4ac=}$${\displaystyle {(-2)}^2-4\cdot 5\cdot (-3)=}$${\displaystyle 4+60=}$${\displaystyle 64}$;

${\displaystyle D>0}$, два корені:

${\displaystyle x_{1,2}=}$${\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=}$${\displaystyle \frac{2\pm \sqrt{64}}{10}=}$${\displaystyle \frac{2\pm 8}{10}}$;

${\displaystyle x_1=}$${\displaystyle \frac{2+8}{10}=}$${\displaystyle 1}$;

${\displaystyle x_2=}$${\displaystyle \frac{2-8}{10}=}$${\displaystyle -0,6}$;

Другий множник: ${\displaystyle x^2-mx+4=}$${\displaystyle 0}$.

1) він має один корінь: ${\displaystyle D=}$${\displaystyle m^2-16=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle m=}$${\displaystyle \pm 4}$;

тоді ${\displaystyle x=}$${\displaystyle \frac{m}{2}=}$${\displaystyle \pm 2}$ — новий корінь; ${\displaystyle m=}$${\displaystyle \pm 4}$;

2) він має два корені, один з яких 1 або ${\displaystyle -0,6}$:

${\displaystyle x=}$${\displaystyle 1}$: ${\displaystyle 1-m+4=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle m=}$${\displaystyle 5}$;

${\displaystyle x^2-5x+4=}$${\displaystyle 0}$, корені ${\displaystyle 1}$ і ${\displaystyle 4}$ — разом три корені; ${\displaystyle m=}$${\displaystyle 5}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle -0,6}$: ${\displaystyle 0,36+0,6m+4=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle 0,6m=}$${\displaystyle -4,36}$;

${\displaystyle m=}$${\displaystyle -\frac{436}{60}=}$${\displaystyle -\frac{109}{15}=}$${\displaystyle -7\frac{4}{15}}$;

${\displaystyle x^2+\frac{109}{15}x+4=}$${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mid \cdot 15}$, ${\displaystyle 15x^2+109x+60=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle 11881-3600=}$${\displaystyle 8281=}$${\displaystyle 91^2}$;

${\displaystyle x_{1,2}=}$${\displaystyle \frac{-109\pm 91}{30}}$;

${\displaystyle x_1=}$${\displaystyle -0,6}$;

${\displaystyle x_2=}$${\displaystyle -\frac{200}{30}=}$${\displaystyle -6\frac{2}{3}}$ — новий; ${\displaystyle m=}$${\displaystyle -7\frac{4}{15}}$;

б)

${\displaystyle x^2+3x-10=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle a=}$${\displaystyle 1,b=}$${\displaystyle 3,c=}$${\displaystyle -10}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle b^2-4ac=}$${\displaystyle 3^2-4\cdot 1\cdot (-10)=}$${\displaystyle 9+40=}$${\displaystyle 49}$;

${\displaystyle D>0}$, два корені:

${\displaystyle x_{1,2}=}$${\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=}$${\displaystyle \frac{-3\pm \sqrt{49}}{2}=}$${\displaystyle \frac{-3\pm 7}{2}}$;

${\displaystyle x_1=}$${\displaystyle \frac{-3+7}{2}=}$${\displaystyle 2}$;

${\displaystyle x_2=}$${\displaystyle \frac{-3-7}{2}=}$${\displaystyle -5}$;

Другий множник: ${\displaystyle m{x}^2-6x+1=}$${\displaystyle 0}$.

1) ${\displaystyle m=}$${\displaystyle 0}$: ${\displaystyle -6x+1=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle \frac{1}{6}}$ — новий корінь; ${\displaystyle m=}$${\displaystyle 0}$;

2) ${\displaystyle m\ne 0}$, ${\displaystyle D=}$${\displaystyle 36-4m=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle m=}$${\displaystyle 9}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle \frac{6}{2\cdot 9}=}$${\displaystyle \frac{1}{3}}$ — новий корінь; ${\displaystyle m=}$${\displaystyle 9}$;

3) один із коренів дорівнює 2 або ${\displaystyle -5}$:

${\displaystyle x=}$${\displaystyle 2}$: ${\displaystyle 4m-12+1=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle m=}$${\displaystyle \frac{11}{4}=}$${\displaystyle 2\frac{3}{4}}$;

${\displaystyle \frac{11}{4}{x}^2-6x+1=}$${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mid \cdot 4}$, ${\displaystyle 11x^2-24x+4=}$${\displaystyle 0}$, корені ${\displaystyle 2}$ і ${\displaystyle \frac{2}{11}}$; ${\displaystyle m=}$${\displaystyle 2\frac{3}{4}}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle -5}$: ${\displaystyle 25m+30+1=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle m=}$${\displaystyle -\frac{31}{25}=}$${\displaystyle -1\frac{6}{25}}$;

${\displaystyle -\frac{31}{25}{x}^2-6x+1=}$${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mid \cdot \left(-25\right)}$, ${\displaystyle 31x^2+150x-25=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle 22500+3100=}$${\displaystyle 25600=}$${\displaystyle 160^2}$;

${\displaystyle x_{1,2}=}$${\displaystyle \frac{-150\pm 160}{62}}$;

${\displaystyle x_1=}$${\displaystyle \frac{10}{62}=}$${\displaystyle \frac{5}{31}}$ — новий, ${\displaystyle x_2=}$${\displaystyle -5}$;

${\displaystyle m=}$${\displaystyle -1\frac{6}{25}}$.

(Якщо вимагати, щоб другий множник був квадратним тричленом, то ${\displaystyle m=}$${\displaystyle 0}$ не розглядаємо.)