573 Вправа 573Алгебра 8 клас Бевз 2025 · § 11 · стор. 111

573. Вкажи значення a, за якого система рівнянь xy = 6, y = ax + 2 має: а) один розв’язок; б) два розв’язки; в) не має жодного розв’язку.

Підставимо ${\displaystyle y=}$${\displaystyle ax+2}$ у перше рівняння:

${\displaystyle x(ax+2)=}$${\displaystyle 6}$;

${\displaystyle a{x}^2+2x-6=}$${\displaystyle 0}$.

Випадок a = 0 (пряма ${\displaystyle y=}$${\displaystyle 2}$):

${\displaystyle 2x=}$${\displaystyle 6}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle 3}$ — один розв’язок ${\displaystyle (3;2)}$.

Випадок a ≠ 0.

Поділимо на ${\displaystyle a}$ і виділимо повний квадрат:

${\displaystyle x^2+\frac{2}{a}x-\frac{6}{a}=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle x^2+2\cdot \frac{1}{a}x+\frac{1}{a^2}=}$${\displaystyle \frac{6}{a}+\frac{1}{a^2}}$;

${\displaystyle {(x+\frac{1}{a})}^2=}$${\displaystyle \frac{6a+1}{a^2}}$;

— якщо ${\displaystyle 6a+1=}$${\displaystyle 0}$, тобто ${\displaystyle a=}$${\displaystyle -\frac{1}{6}}$, — один корінь (пряма дотикається до гіперболи);

— якщо ${\displaystyle 6a+1>0}$, тобто ${\displaystyle a>-\frac{1}{6}}$, ${\displaystyle a\ne 0}$, — два корені;

— якщо ${\displaystyle 6a+1<0}$, тобто ${\displaystyle a<-\frac{1}{6}}$, — коренів немає.

Відповідь: а) a = 0 або a = −1/6; б) a > −1/6, a ≠ 0; в) a < −1/6.