200 Вправа 200Алгебра 8 клас Бевз 2025 · § 4 · стор. 41

200. Доведи, що при кожному допустимому a значення виразу (a³ + 3a)/(a + 2) − (3a² − 14a + 16)/(a² − 4) + 2a є додатним числом.

${\displaystyle \frac{a^3+3a}{a+2}-\frac{3a^2-14a+16}{a^2-4}+2a}$=

=${\displaystyle \frac{{a^3+3a}^{\mathrm{\setminus }a-2}}{a+2}-\frac{3a^2-14a+16}{(a-2)(a+2)}+\frac{{2a}^{\mathrm{\setminus }\left(a-2\right)\left(a+2\right)}}{1}}$=

=${\displaystyle \frac{(a^3+3a)(a-2)-(3a^2-14a+16)+2a(a-2)(a+2)}{(a-2)(a+2)}}$=

=${\displaystyle \frac{a^4-2a^3+3a^2-6a-3a^2+14a-16+2a^3-8a}{(a-2)(a+2)}}$=

=${\displaystyle \frac{a^4-16}{(a-2)(a+2)}=}$${\displaystyle \frac{(a^2+4)\cancel{\left(a-2\right)\left(a+2\right)}}{\cancel{\left(a-2\right)\left(a+2\right)}}=}$${\displaystyle a^2+4}$;

${\displaystyle a^2+3>0}$ при будь-якому ${\displaystyle a}$, тому значення виразу додатне.