321 Вправа 321Алгебра 8 клас Бевз 2025 · § 7 · стор. 67

321. Доведи рівності, які Евклід (III ст. до н. е.) довів геометричним способом для додатних a і b.

а) ${\displaystyle ab+{(\frac{a+b}{2}-b)}^2=}$${\displaystyle {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2}$;

1) ${\displaystyle \frac{a+b}{2}-b=}$${\displaystyle \frac{a+b-2b}{2}=}$${\displaystyle \frac{a-b}{2}}$;

2) ${\displaystyle ab+{\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2=}$${\displaystyle ab+\frac{a^2-2ab+b^2}{4}}$=

=${\displaystyle \frac{4ab+a^2-2ab+b^2}{4}=}$${\displaystyle \frac{a^2+2ab+b^2}{4}}$=

=${\displaystyle \frac{{(a+b)}^2}{4}=}$${\displaystyle {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2}$;

тотожність доведено;

б) ${\displaystyle a^2+b^2=}$${\displaystyle 2({\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2+{(\frac{a+b}{2}-b)}^2)}$;

права частина: ${\displaystyle 2(\frac{{(a+b)}^2}{4}+\frac{{(a-b)}^2}{4})}$=

=${\displaystyle \frac{a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2}{2}=}$${\displaystyle \frac{2a^2+2b^2}{2}=}$${\displaystyle a^2+b^2}$;

тотожність доведено.