347 Вправа 347Алгебра 8 клас Бевз 2025 · § 7 · стор. 70

347. Доведи, що при будь-якому значенні a > 1 число 1/(1 − a) + 1/(1 + a) + 2/(1 + a²) + 4/(1 + a⁴) + 8/(1 + a⁸) є від’ємним.

1) ${\displaystyle \frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}=}$${\displaystyle \frac{1^{\mathrm{\setminus }a+1}}{1-a}+\frac{1^{\mathrm{\setminus }1-a}}{a+1}=}$${\displaystyle \frac{a+1+1-a}{(1-a)(a+1)}}$=

=${\displaystyle \frac{2}{(1-a)(a+1)}=}$${\displaystyle \frac{2}{1-a^2}}$;

2) ${\displaystyle \frac{2}{(a+1)(1-a)}+\frac{2}{1+a^2}=}$${\displaystyle \frac{2^{\mathrm{\setminus }{a}^2+1}}{(1-a)(a+1)}+\frac{2^{\mathrm{\setminus }\left(1-a\right)\left(a+1\right)}}{a^2+1}}$=

=${\displaystyle \frac{2(a^2+1)+2(1-a)(a+1)}{(1-a)(a+1)(a^2+1)}=}$${\displaystyle \frac{2a^2+2+2-2a^2}{(1-a)(a+1)(a^2+1)}}$=

=${\displaystyle \frac{4}{(1-a)(a+1)(a^2+1)}=}$${\displaystyle \frac{4}{1-a^4}}$;

3) ${\displaystyle \frac{4}{(a+1)(a^2+1)(1-a)}+\frac{4}{1+a^4}}$=

=${\displaystyle \frac{4^{\mathrm{\setminus }{a}^4+1}}{(1-a)(a+1)(a^2+1)}+\frac{4^{\mathrm{\setminus }\left(1-a\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)}}{a^4+1}}$=

=${\displaystyle \frac{4(a^4+1)+4(1-a)(a+1)(a^2+1)}{(1-a)(a+1)(a^2+1)(a^4+1)}}$=

=${\displaystyle \frac{4a^4+4+4-4a^4}{(1-a)(a+1)(a^2+1)(a^4+1)}}$=

=${\displaystyle \frac{8}{(1-a)(a+1)(a^2+1)(a^4+1)}=}$${\displaystyle \frac{8}{1-a^8}}$;

4) ${\displaystyle \frac{8}{(a+1)(a^2+1)(a^4+1)(1-a)}+\frac{8}{1+a^8}}$=

=${\displaystyle \frac{8^{\mathrm{\setminus }{a}^8+1}}{(1-a)(a+1)(a^2+1)(a^4+1)}+\frac{8^{\mathrm{\setminus }\left(1-a\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\left(a^4+1\right)}}{a^8+1}}$=

=${\displaystyle \frac{8(a^8+1)+8(1-a)(a+1)(a^2+1)(a^4+1)}{(1-a)(a+1)(a^2+1)(a^4+1)(a^8+1)}}$=

=${\displaystyle \frac{8a^8+8+8-8a^8}{(1-a)(a+1)(a^2+1)(a^4+1)(a^8+1)}}$=

=${\displaystyle \frac{16}{(1-a)(a+1)(a^2+1)(a^4+1)(a^8+1)}=}$${\displaystyle \frac{16}{1-a^{16}}}$;

Якщо ${\displaystyle a>1}$, то ${\displaystyle a^{16}>1}$, ${\displaystyle 1-a^{16}<0}$, тому дріб від’ємний.