323 Вправа 323Алгебра 8 клас Бевз 2025 · § 7 · стор. 67

323. Задача Ейлера (1707–1783). Доведи тотожність p³ = (p³ · (p³ − 2q³)/(p³ + q³)) + (q³ · (2p³ − q³)/(p³ + q³)) + q³.

Права частина:

1) ${\displaystyle \frac{p^3(p^3-2q^3)+q^3(2p^3-q^3)}{p^3+q^3}=}$${\displaystyle \frac{p^6-2p^3{q}^3+2p^3{q}^3-q^6}{p^3+q^3}}$=

=${\displaystyle \frac{p^6-q^6}{p^3+q^3}=}$${\displaystyle \frac{(p^3-q^3)\cancel{\left(p^3+q^3\right)}}{\cancel{\left(p^3+q^3\right)}}=}$${\displaystyle p^3-q^3}$;

2) ${\displaystyle p^3-q^3+q^3=}$${\displaystyle p^3}$;

тотожність доведено.