1040 Вправа 1040Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 18 · стор. 208

1040. Доведіть, що кожна сторона многокутника менша від його півпериметра.

Дано: ABCDEF – многокутник.

Довести: AB < ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$PABCDEF.

Доведення

PABCDEF = AB + BC + CD + DE + EF + FA.

Проведемо діагоналі AC, AD, AE.

За нерівністю трикутника:

AB < BC + AC (у △ABC);

AC < CD + AD (у △ACD);

AD < DE + AE (у △ADE);

AE < EF + FA (у △AEF).

Тоді AB < BC + CD + AD <

< BC + CD + DE + AE <

< BC + CD + DE + EF + FA.

Додамо до обох частин AB:

2AB < PABCDEF;

AB < ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$PABCDEF.

Аналогічно доводимо для будь-якої сторони будь-якого многокутника.

Що і потрібно було довести.