1055 Вправа 1055Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 18 · стор. 209

1055. Скільки вершин у вписаному многокутнику з рівними сторонами, якщо його кут: 1) дорівнює зовнішньому куту; 2) удвічі більший за зовнішній кут; 3) відноситься до зовнішнього кута як 5 : 2?

Кути такого многокутника рівні (див. задачу 1054), тому рівні й зовнішні кути.

Сума зовнішніх кутів, узятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360°.

Тому n = 360° : β, де β – зовнішній кут.

Кут многокутника α і зовнішній кут β суміжні: α + β = 180°.

1) α = β;

2β = 180°;

β = 90°;

n = 360° : 90° = 4.

2) α = 2β;

3β = 180°;

β = 60°;

n = 360° : 60° = 6.

3) α = 5x, β = 2x;

5x + 2x = 180°;

x = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}}{\mathbf{7}}}$;

β = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{360}}^{\mathbf{\circ }}}{\mathbf{7}}}$;

n = 360° : ${\displaystyle \frac{{\mathbf{360}}^{\mathbf{\circ }}}{\mathbf{7}}}$ = 7.

Відповідь: 1) 4; 2) 6; 3) 7.