1058 Вправа 1058Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 18 · стор. 209

1058. Найпростіше мансардне покриття утворює у вертикальному розрізі половину восьмикутника, у якому всі сторони рівні й усі кути рівні (мал. 471). Знайдіть ширину перекриття BD, сторону восьмикутника та висоту мансардної кімнати ABDE, якщо AE = 6 м.

Дано: восьмикутник; AB = BC = CD = DE;

∠B = ∠C = ∠D; AE = 6 м.

Знайти: BD; AB; BH.

Розв'язання

R = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AE = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · 6 = 3 (м);

α = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{(}\mathbf{n}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}}{\mathbf{n}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{\cdot }\mathbf{(}\mathbf{8}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}}{\mathbf{8}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{\cdot }\mathbf{6}}{\mathbf{8}}}$ = 135°.

∠BAO = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{135}}^{\mathbf{\circ }}}{\mathbf{2}}}$ = 67,5° (AE – вісь симетрії восьмикутника).

△BOC – рівнобедрений (OB = OC – радіуси).

∠BOC = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{360}}^{\mathbf{\circ }}}{\mathbf{8}}}$ = 45°.

△COD – рівнобедрений (OC = OD – радіуси).

∠COD = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{360}}^{\mathbf{\circ }}}{\mathbf{8}}}$ = 45°.

∠BOD = ∠BOC + ∠COD = 45° + 45° = 90°.

Отже, △BOD – прямокутний.

BD = ${\displaystyle \sqrt{{\mathbf{OB}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{+}\mathbf{OD}}^{\mathbf{2}}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{{\mathbf{3}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{+}\mathbf{3}}^{\mathbf{2}}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{18}}}$ = 3${\displaystyle \sqrt{\mathbf{2}}}$ (м);

OP – медіана прямокутного △BOD, проведена до гіпотенузи, тому

OP = BP = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$BD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{3}\sqrt{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}}$ (м);

BHOP – прямокутник, тому BH = OP = ${\displaystyle \frac{\mathbf{3}\sqrt{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}}$ м.

У △AHB (∠H = 90°):

∠BAH = 67,5°;

sin ∠BAH = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BH}}{\mathbf{AB}}}$;

AB = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BH}}{\mathbf{sin}\angle \mathbf{BAH}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{3}\sqrt{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}\mathbf{\cdot }\mathbf{sin}\mathbf{67}\mathbf{,}{\mathbf{5}}^{\mathbf{\circ }}}}$ ≈

≈ ${\displaystyle \frac{\mathbf{3}\sqrt{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}\mathbf{\cdot }\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{9239}}}$ ≈ 2,3 (м).

Відповідь: BD = 3${\displaystyle \sqrt{\mathbf{2}}}$ м; AB ≈ 2,3 м; BH = 1,5${\displaystyle \sqrt{\mathbf{2}}}$ м.