1051 Вправа 1051Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 18 · стор. 208

1051. У рівносторонній трикутник зі стороною 6 см вписано коло (мал. 470). Знайдіть діагональ квадрата, вписаного в дане коло.

Дано: △ABC – рівносторонній, описаний навколо кола; KNML – квадрат, вписаний у коло; AB = 6 см.

Знайти: NL.

Розв'язання

∠A = ∠B = ∠C = 60°.

У △ALB (∠L = 90°):

sin A = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BL}}{\mathbf{AB}}}$;

BL = AB · sin A = 6 · sin 60° =

= 6 · ${\displaystyle \frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}}$ = 3${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ (см).

Центр кола O є точкою перетину медіан.

За властивістю медіан BO : OL = 2 : 1.

OL = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$BL = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$ · 3${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ (см);

NL = 2 · OL = 2${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ (см).

Відповідь: 2${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ см.