1054 Вправа 1054Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 18 · стор. 209

1054. Доведіть, що вписаний многокутник, у якому всі сторони рівні, має: 1) рівні кути; 2) рівні зовнішні кути.

Дано: ABCDE – многокутник, вписаний у коло з центром O; AB = BC = CD = DE = EA.

Довести: 1) ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E; 2) зовнішні кути рівні.

Доведення

1) Проведемо радіуси OA, OB, OC, OD, OE.

OA = OB = OC = OD = OE (радіуси);

AB = BC = CD = DE = EA (за умовою).

△AOB = △BOC = △COD = △DOE = △EOA (за трьома сторонами).

Ці трикутники рівнобедрені й рівні, тому всі кути при їхніх основах рівні:

∠OAB = ∠OBA = ∠OBC = ∠OCB = … = φ.

Тоді ∠B = ∠OBA + ∠OBC = 2φ.

Аналогічно ∠C = ∠D = ∠E = ∠A = 2φ.

Отже, усі кути многокутника рівні.

2) Зовнішній кут при кожній вершині дорівнює 180° – 2φ, тому всі зовнішні кути рівні.

Для n-кутника доведення аналогічне.

Що і потрібно було довести.