1057 Вправа 1057Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 18 · стор. 209

1057. Рівнобічну трапецію з кутом при основі 54° вписано в коло. Кут між діагоналями трапеції, який лежить проти бічної сторони, дорівнює 36°. Де розташований центр кола, вписаного в дану трапецію?

Дано: ABCD – рівнобічна трапеція (BC ∥ AD), вписана в коло; ∠A = 54°; O – точка перетину діагоналей; ∠AOB = 36°.

Знайти: де розташований центр кола, вписаного в трапецію.

Розв'язання

∠OAD = ∠ODA (△AOD – рівнобедрений).

∠AOB = ∠OAD + ∠ODA (зовнішній кут △AOD).

∠OAD = ∠ODA = 36° : 2 = 18°.

∠BAC = 54° – 18° = 36°;

∠BCA = ∠CAD = 18° (внутрішні різносторонні кути при BC ∥ AD і січній AC).

У △ABC: ∠BAC > ∠BCA,

тому BC > AB (проти більшого кута лежить більша сторона).

Коло можна вписати в трапецію, лише якщо

AB + CD = BC + AD.

Проєкції бічних сторін на AD дорівнюють

AB · cos 54°, тому

AD = BC + 2AB · cos 54°.

Тоді рівність AB + CD = BC + AD означає:

2AB = 2BC + 2AB · cos 54°;

BC = AB · (1 – cos 54°) < AB,

що суперечить нерівності BC > AB.

Отже, у дану трапецію коло вписати не можна – центра вписаного кола не існує.

Центр O1 кола, у яке вписано трапецію, – це центр кола, описаного навколо △ACD.

∠ACD = 180° – (18° + 54°) = 108° – тупий, тому O1 лежить поза △ACD, з іншого боку від AD, ніж вершина C, тобто поза трапецією.

Відповідь: коло в дану трапецію вписати не можна; центр кола, описаного навколо трапеції, лежить поза трапецією (за більшою основою AD).