1053 Вправа 1053Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 18 · стор. 209

1053. У кожному з двох многокутників усі кути рівні. Кут першого многокутника: 1) удвічі менший від кута другого многокутника; 2) дорівнює зовнішньому куту другого многокутника. Яку кількість вершин має кожний многокутник?

Нехай n – кількість вершин першого многокутника, m – другого.

Кут першого многокутника: ${\displaystyle \frac{{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{(}\mathbf{n}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}}{\mathbf{n}}}$ = 180° – ${\displaystyle \frac{{\mathbf{360}}^{\mathbf{\circ }}}{\mathbf{n}}}$;

кут другого: 180° – ${\displaystyle \frac{{\mathbf{360}}^{\mathbf{\circ }}}{\mathbf{m}}}$; його зовнішній кут: ${\displaystyle \frac{{\mathbf{360}}^{\mathbf{\circ }}}{\mathbf{m}}}$.

1) 2(180° – ${\displaystyle \frac{{\mathbf{360}}^{\mathbf{\circ }}}{\mathbf{n}}}$) = 180° – ${\displaystyle \frac{{\mathbf{360}}^{\mathbf{\circ }}}{\mathbf{m}}}$;

180° = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{720}}^{\mathbf{\circ }}}{\mathbf{n}}}$ – ${\displaystyle \frac{{\mathbf{360}}^{\mathbf{\circ }}}{\mathbf{m}}}$.

Звідси ${\displaystyle \frac{{\mathbf{720}}^{\mathbf{\circ }}}{\mathbf{n}}}$ > 180°, n < 4, тобто n = 3.

180° = 240° – ${\displaystyle \frac{{\mathbf{360}}^{\mathbf{\circ }}}{\mathbf{m}}}$;

${\displaystyle \frac{{\mathbf{360}}^{\mathbf{\circ }}}{\mathbf{m}}}$ = 60°;

m = 6.

2) 180° – ${\displaystyle \frac{{\mathbf{360}}^{\mathbf{\circ }}}{\mathbf{n}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{360}}^{\mathbf{\circ }}}{\mathbf{m}}}$;

${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n}}}$ + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{m}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$.

Оскільки m ≥ 3, то ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{m}}}$ ≤ ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$, тому ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n}}}$ ≥ ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}}$, тобто n ≤ 6.

n = 3: m = 6;

n = 4: m = 4;

n = 5: ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{m}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{10}}}$ – не підходить;

n = 6: m = 3.

Відповідь: 1) 3 і 6; 2) 3 і 6; 4 і 4; 6 і 3.